Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Viết phương trình $2x + \frac{y}{2} = 1$ thành $2x + \frac{1}{2}y = 1$ ta được phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2 \ne 0,$ $b = \frac{1}{2} \ne 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cách 1: Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 4\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 8\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x=2,$ ta bấm tiếp phím $\boxed{\ =\ },$ màn hình cho kết quả y=1

Vậy cặp số $\left( {2;\,\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..$

Cách 2: Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right..$

Từ phương trình thứ nhất, ta có $x = 4 - 2y$.

Thế $x = 4 - 2y$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$3\left( {4 - 2y} \right) + 2y = 8$ hay $12 - 4y = 8$, suy ra $y = 1.$

Thay $y = 1$ vào $x = 4 - 2y$, ta được $x = 4 - 2 \cdot 1 = 2.$

Vậy $\left( {2;1} \right)$ là cặp nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\3x + 2y = 8\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x - 4 \ne 0$ khi $x \ne 4$ và $x + 3 \ne 0$ khi $x \ne - 3$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x + 2}}{{x - 4}} - 1 = \frac{{30}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)}}$ là $x \ne - 3,x \ne 4.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phát biểu “$x$ không lớn hơn $- 100$” được viết là $x \le - 100.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

⦁ Biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{x - 6\sqrt x + 9}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0$ và $x - 6\sqrt x + 9 \ne 0$.

Ta có: $x - 6\sqrt x + 9 = {\left( {\sqrt x - 3} \right)^2},$ do đó $x - 6\sqrt x + 9 \ne 0$ khi ${\left( {\sqrt x - 3} \right)^2} \ne 0$ hay $x \ne 9.$

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức $\frac{{3\sqrt x + 5}}{{x - 6\sqrt x + 9}}$ là $x \ge 0$và $x \ne 9$.

⦁ Biểu thức $\frac{{2 - 5\sqrt x }}{{4 - x}}$ có điều kiện xác định là: $x \ge 0$ và $4 - x \ne 0$ hay $x \ge 0$ và $x \ne 4.$

⦁ Biểu thức $\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}}$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

⦁ Biểu thức $2\sqrt x \left( {x - 6\sqrt x + 9} \right)$ có điều kiện xác định là $x \ge 0.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {16} + \sqrt[3]{{ - 64}} = \sqrt {{4^2}} + \sqrt[3]{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}} = 4 + \left( { - 4} \right) = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\sqrt {9a} - \sqrt {16a} + \sqrt {64a}$$= 3\sqrt a - 4\sqrt a + 8\sqrt a = 7\sqrt a .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với hai góc nhọn $\alpha$ và $\beta$ bất kì thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ$ thì ta có $\tan \alpha = \cot \beta .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$\sin C = \frac{{AB}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{8}{{\sin 30^\circ }} = 16{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d\left( {O;\,\,d} \right) = 3 < R$, do đó đường thẳng $d$ và đường tròn $\left( {O;4{\rm{ cm}}} \right)$ cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khi $R - R' < OO' < R + R'$ thì hai đường tròn đó cắt nhau. Do đó, số điểm chung là 2 điểm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công thức tính độ dài của cung tròn $n^\circ$ trên đườn tròn bán kính $R{\rm{\;(cm)}}$ là: $l = \frac{n}{{180}} \cdot \pi R{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Suy ra $R = \frac{{180l}}{{n\pi }}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Thay $n = 60,\,\,l = \pi {\rm{\;(cm)}}$ ta được: $R = \frac{{180 \cdot \pi }}{{60 \cdot \pi }} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P$, ta có:

$P = \frac{1}{{\sqrt {25} + 1}} = \frac{1}{{5 + 1}} = \frac{1}{6}.$

Vậy giá trị của biểu thức $P = \frac{1}{6}$ tại $x = 25.$

b) Với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$, ta có:

$Q = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 5\sqrt x + 6}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{3 - \sqrt x }}$

$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 2 + x - 9 - x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$.

Vậy với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$ thì $Q = \frac{1}{{\sqrt x - 2}}$.

c) Với $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$, ta có:

$A = \frac{P}{Q} = \frac{1}{{\sqrt x + 1}}:\frac{1}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}}$.

Để $\left| A \right| > A$ thì $A < 0$ hay $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0$.

Mà $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 1}} < 0$ khi $\sqrt x - 2$ và $\sqrt x + 1$ trái dấu.

Nhận thấy $\sqrt x + 1 > 0$ nên $\sqrt x - 2 < 0$, suy ra $\sqrt x < 2$ hay $x < 4.$

Kết hợp điều kiện $x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9$, ta có: $0 \le x < 4$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}$ thì $\left| A \right| > A.$

1. a) Điều kiện xác định: $x \ne 1,\,\,x \ne 0.$

Ta có: $\frac{4}{{x - 1}} - \frac{3}{x} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{4x - 3\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{4x}}{{x\left( {x - 1} \right)}}$

$4x - 3x + 3 = 4x$

$4x - 3x - 4x = - 3$

$- 3x = - 3$

$x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) $\frac{5}{{11}}x - \frac{3}{2}\left( {2x - \frac{2}{3}} \right) \ge 3\left( {x - 2} \right)$

$\frac{5}{{11}}x - 3x + 1 \ge 3x - 6$

$\frac{5}{{11}}x - 3x - 3x \ge - 6 - 1$

$- \frac{{61}}{{11}}x \ge - 7$

$x \le - 7:\left( { - \frac{{61}}{{11}}} \right)$

$x \le \frac{{77}}{{61}}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \frac{{77}}{{61}}.$

Gọi $x,\,\,y$ (đồng) lần lượt là giá niêm yết của một thùng nước ngọt và một túi bánh sandwich $\left( {x > 0,\,\,y > 0} \right)$.

Theo bài, cô Linh đi siêu thị mua 1 thùng nước ngọt và 4 túi bánh mì sandwich với giá niêm yết tổng cộng là 340 000 đồng nên ta có phương trình: $x + 4y = 340\,\,000$ (1)

Giá mỗi thùng nước ngọt sau khi tăng $5\%$ so với giá niêm yết là: $x + 5\% x = 1{,}05x$ (đồng).

Giá mỗi túi bánh mì sandwich được giảm $15\%$ so với giá niêm yết là:

$x - 15\% x = 0{,}85x$ (đồng).

Theo bài, khi thanh toán cô Linh chỉ cần trả tổng cộng $325\,\,000$ đồng nên ta có phương trình: $1{,}05x + 4 \cdot 0{,}85y = 325\,\,000$ hay $1{,}05x + 3{,}4y = 325\,\,000$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 4y = 340\,\,000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\1{,}05x + 3{,}4y = 325\,\,000\end{array} \right.$

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với $1{,}05,$ ta được hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}1{,}05x + 4{,}2y = 357\,\,000\\1{,}05x + 3{,}4y = 325\,\,000\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$0{,}8y = 32\,\,000$ nên $y = 40\,\,000$ (thỏa mãn).

Thay $x = 40\,\,000$ vào phương trình (1), ta được:

$x + 4 \cdot 40\,\,000 = 340\,\,000$ nên $x = 180\,\,000$ (thỏa mãn).

Vậy một thùng nước ngọt và một túi bánh mì sandwich có giá niêm yết lần lượt là $180\,\,000$ đồng và $180\,\,000$ đồng.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách của cồn và bờ sông hai người đứng chính là độ dài đoạn thẳng $CH.$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {CAH} = \frac{{CH}}{{AH}}$ nên $AH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CAH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}$ (1)

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $H$, ta có:

$\tan \widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BH}}$ nên $BH = \frac{{CH}}{{\tan \widehat {CBH}}} = \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$AB = AH + BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }} + \frac{{CH}}{{\tan 28^\circ }} = CH\left( {\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}} \right)$

Do đó, $CH = \frac{{AB}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} = \frac{{250}}{{\frac{1}{{\tan 43^\circ }} + \frac{1}{{\tan 28^\circ }}}} \approx 84{,}66{\rm{ (m)}}{\rm{.}}$

Vậy cồn cách bờ sông hai người đứng khoảng $84{,}66{\rm{ m}}$.

a) Vì $d,\,\,d'$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$ lần lượt tại $A,\,\,B$ nên $d \bot OA,\,\,d' \bot OB$.

Tứ giác $ABDC$ có $AC\,{\rm{//}}\,BD$ (cùng vuông góc với $AB$) nên $ABDC$ là hình thang.

Hình thang $ABDC$ có $\widehat {CAB} = \widehat {ABD} = 90^\circ$ nên $ABDC$ là hình thang vuông.

b)⦁ Ta có $\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {DOB} = 180^\circ$

Suy ra $\widehat {AOC} + \widehat {DOB} = 180^\circ - \widehat {COD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .$

Lại có $\widehat {DOB} + \widehat {ODB} = 90^\circ$ (tổng hai góc nhọn trong $\Delta OBD$ vuông tại $B)$

Do đó $\widehat {AOC} = \widehat {ODB}$.

Xét $\Delta CAO$ và $\Delta OBD$ có: $\widehat {CAO} = \widehat {OBD} = 90^\circ$ và $\widehat {AOC} = \widehat {BDO}$.

Do đó $ΔCAO∽ΔOBD$ (g.g)

Suy ra $\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{AO}}{{BD}}$ nên $CA \cdot BD = OA \cdot OB = {R^2}$

⦁ Vì $ΔCAO∽ΔOBD$ suy ra $\frac{{CA}}{{OB}} = \frac{{CO}}{{OD}}$

Mà $OA = OB = R$ nên $\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}$.

Xét $\Delta CAO$ và $\Delta COD$ có: $\widehat {CAO} = \widehat {COD} = 90^\circ$ và $\frac{{CA}}{{OA}} = \frac{{CO}}{{DO}}$

Do đó $ΔCAO∽ΔCOD$ (c.g.c)

Suy ra $\widehat {ACO} = \widehat {DCO}$ (hai góc tương ứng).

Kẻ $OH \bot CD$ tại $H$.

Xét $\Delta CAO$ và $\Delta CHO$ có:

$\widehat {CAO} = \widehat {CHO} = 90^\circ$, $CO$ là cạnh chung và $\widehat {ACO} = \widehat {DCO}$

Do đó $\Delta CAO = \Delta CHO$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra $AO = HO$ (hai cạnh tương ứng).

Như vậy, $CD \bot OH$ tại $H$ và $H$ thuộc đường tròn $\left( {O;R} \right)$ (do $OH = OA = R)$ nên $CD$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( {O;R} \right)$.

c) Xét $\Delta CAO$ vuông tại $A,$ ta có:

$CA = OA \cdot \cot \widehat {ACO} = R \cdot \cot 60^\circ = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}.$

Theo câu b, ta có $CA \cdot BD = {R^2}$ nên $BD = \frac{{{R^2}}}{{CA}} = \frac{{{R^2}}}{{\frac{{R\sqrt 3 }}{3}}} = R\sqrt 3 .$

Diện tích hình thang vuông $ABDC$ là:

${S_1} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left( {CA + BD} \right) = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot \left( {\frac{{R\sqrt 3 }}{3} + R\sqrt 3 } \right) = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích nửa đường tròn $\left( {O;R} \right)$ đường kính $AB$ là: ${S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Diện tích hình được giới hạn bởi tứ giác $ABDC$ và đường tròn $\left( {O;R} \right)$ là:

$S = {S_1} - {S_2} = \frac{{4{R^2}\sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi {R^2}}}{2} = \frac{{4 \cdot {2^2} \cdot \sqrt 3 }}{3} - \frac{{\pi \cdot {2^2}}}{2} \approx 3{,}0{\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

– Gọi $x$ là số lần giảm giá $10\,\,000$ đồng $\left( {x \in \mathbb{N},\,\,0 \le x < 20} \right).$

Giá bán mỗi sản phẩm sau khi giảm giá là: $200 - 10x$ (nghìn đồng).

Số lượng sản phẩm bán ra sau khi giảm giá là: $100 + 20x$ (chiếc).

Doanh thu $T\left( x \right)$ của cửa hàng được tính bằng cách nhân giá bán mỗi sản phẩm với số lượng sản phẩm bán ra:

$T\left( x \right) = \left( {200 - 10x} \right)\left( {100 + 20x} \right)$

$= 200.\left( {100 + 20x} \right) - 10x\left( {100 + 20x} \right)$

$= 20\,\,000 + 4\,\,000x - 1\,\,000x - 200{x^2}$

$= 20\,\,000 + 3\,\,000x - 200{x^2}$

$= - 200\left( {{x^2} - 15x + {{7{,}5}^2}} \right) + 31\,\,250$

$= - 200{\left( {x - 7{,}5} \right)^2} + 31\,\,250$ (nghìn đồng).

Nhận thấy $- 200{\left( {x - 7{,}5} \right)^2} + 31\,\,250 \le 31\,\,250$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x - 7{,}5 = 0$ khi $x = 7{,}5$.

Do $x$ phải là số nguyên dương nên $x = 7{,}5$ không thỏa mãn.

– Ta thấy rằng $T\left( x \right) = - 200{\left( {x - 7{,}5} \right)^2} + 31\,\,250$ lớn nhất khi ${\left( {x - 7{,}5} \right)^2}$ nhỏ nhất.

Do giá trị của $T\left( x \right)$ phụ thuộc $x - 7{,}5$ và $x$ nguyên nên ta xét các trường hợp sau:

⦁ Với $x - 7{,}5 > 0$ hay $x > 7{,}5$

Mà $x$ nguyên dương và ${\left( {x - 7{,}5} \right)^2}$ nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị $x = 8.$

Khi đó, $T\left( 8 \right) = 31\,\,200$ (nghìn đồng).

⦁ Với $x - 7{,}5 < 0$ hay $x < 7{,}5$

Mà $x$ nguyên dương và ${\left( {x - 7{,}5} \right)^2}$ nhỏ nhất, nên ta lấy giá trị $x = 7.$

Khi đó, $T\left( 7 \right) = 31\,\,200$ (nghìn đồng).

Nhận thấy cả hai giá trị $x = 7,\,\,x = 8$ đều cho doanh thu $T = 31\,\,200$ (nghìn đồng) hay $T = 31\,\,200\,\,000$ đồng. Do đó, cửa hàng nên giảm giá $70\,\,000$ đồng hoặc $80\,\,000$ đồng để thu được doanh thu cao nhất.