Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax + by = c$ với $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$.

Ta có $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 = 0$ hay $\frac{1}{2}x + \frac{1}{3}y = 1$.

Do đó, $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = \frac{1}{2};\,\,b = \frac{1}{3};\,\,c = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{4x - 1}}{{x + 2}} + 1 = \frac{3}{{x - 3}}$ là $x + 2 \ne 0$ và $x - 3 \ne 0$ hay $x \ne - 2;x \ne 3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất đẳng thức $n \le 3$ có thể được phát biểu là $n$ không lớn hơn $3.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\left( { - \sqrt 5 } \right)^2} = 5;$ $\sqrt {{5^2}} = \sqrt {25} = 5;$

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} = \sqrt {25} = 5;$ $- {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = - 5.$

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sử dụng máy tính cầm tay, ta thực hiện bấm như sau:

$\cot 35^\circ 23'$

$\boxed{\ \tan \ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ ∘,,,\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ ∘,,,\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ {x}^{-1}\ }\ \boxed{\ =}\$

$1{,}408003909$

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba, ta được $\cot 35^\circ 23' \approx 1{,}408$.

Do đó, ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB = AC.\tan C = 10.\tan 60^\circ$.

Do đó, $AB = 10\sqrt 3 {\rm{ cm}}$.

Có $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}}$ suy ra $BC = \frac{{AC}}{{\cos 60^\circ }} = 20{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Vậy $AB = 10\sqrt 3 {\rm{ cm}};{\rm{ }}BC = 20{\rm{ cm}}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $R + R' = 5 + 4 = 9 = OO'.$

Do đó hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau.

Đáp án đúng là: D

Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn $\left( {O;2{\rm{ cm}}} \right)$ và $\left( {O;4{\rm{ cm}}} \right)$ có diện tích bằng

${S_V} = \pi \left( {{4^2} - {2^2}} \right) = 12\pi {\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 25$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 3}} = \frac{{5 + 1}}{{5 - 3}} = \frac{6}{2} = 3.$

Vậy giá trị của biểu thức $A = 3$ khi $x = 25.$

b) Với $x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 1$, ta có:

$B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$= \left[ {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right].\frac{{x - \sqrt x }}{{2\sqrt x + 1}}$

$= \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{2\sqrt x + 1}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}.$

Vậy với $x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}}$.

c) Ta có: $A.B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$.

Để $A \cdot B < 1$ thì $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} < 1$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - 1 < 0$

$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 3}} < 0$

$\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$.

Do $3 > 0$ nên để $\frac{3}{{\sqrt x - 3}} < 0$ thì $\sqrt x - 3 < 0$ hay $\sqrt x < 3$. Suy ra $x < 9$.

Kết hợp với điều kiện $x \ge 0\,;\,\,x \ne 9\,;\,\,x \ne 1$ nên $0 \le x < 9\,;\,\,x \ne 1$.

Mà $x$ là số nguyên tố nên ta được $x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}.$

Vậy các giá trị nguyên tố thỏa mãn $A \cdot B < 1$ là $x \in \left\{ {2;3;5;7} \right\}$.

1. a) $\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 3,x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{x}{{2x - 6}} + \frac{x}{{2x + 2}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{x}{{2\left( {x - 3} \right)}} + \frac{x}{{2\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 2x}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{ - x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right)}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{ - 4x}}{{2\left( {3 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$- x\left( {x + 1} \right) + x\left( {3 - x} \right) = - 4x$

$- {x^2} - x + 3x - {x^2} + 4x = 0$

$- 2{x^2} + 6x = 0$

$- 2x\left( {x - 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0$.

$x = 0$ (TM) hoặc $x = 3$ (loại).

Vậy $x = 0$ là nghiệm của phương trình.

b) $\frac{{x + 1}}{3} + \frac{x}{2} \ge 4$

$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} + \frac{{3x}}{6} \ge 4$

$2\left( {x + 1} \right) + 3x \ge 24$

$2x + 2 + 3x \ge 24$

$5x \ge 22$

$x \ge \frac{{22}}{5}.$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \ge \frac{{22}}{5}.$

Gọi $x$ là số học sinh của lớp 9A, $y$ là số học sinh của lớp 9B $\left( {x,y \in {\mathbb{N}^ * }} \right)$.

Theo đề bài, tổng số học sinh hai lớp là $86$ học sinh nên ta có phương trình $x + y = 86{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Lớp 9A góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {x - 3} \right) = 2x + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Lớp 9B góp được số giấy báo cũ là $3.5 + 2.\left( {y - 3} \right) = 2y + 9{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$.

Mà lớp 9B góp nhiều hơn lớp 9A ${\rm{8 kg}}$ giấy báo cũ nên ta có phương trình:

$2y + 9 - 2x - 9 = 8$ suy ra $2y - 2x = 8$ hay $y - x = 4{\rm{ }}\left( 2 \right)$.

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 86\\y - x = 4\end{array} \right.$.

Cộng theo vế hai phương trình ta được $2y = 90$, suy ra $y = 45$ (TM).

Thay $y = 45$ vào phương trình (1), ta được $x + 45 = 86$, suy ra $x = 41$ (TM).

Vậy lớp 9A có $41$ học sinh, lớp 9B có $45$ học sinh.

Hướng dẫn giải

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng $BH$.

Xét tam giác $CAE$ vuông tại $E$, ta có:

$CE = AE.\tan \widehat {CAE} = AE.\tan 40^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (1).

Xét tam giác $BAE$ vuông ở $E$, ta có:

$BE = AE.\tan \widehat {BAE} = AE.\tan 50^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $BC = BE - CE = AE\tan 50^\circ - AE\tan 40^\circ$

$BC = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$5 = AE\left( {\tan 50^\circ - \tan 40^\circ } \right)$

$AE = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Suy ra $CE = AE \cdot \tan \widehat {CAE} = \frac{5}{{\tan 50^\circ - \tan 40^\circ }} \cdot \tan 40^\circ \approx 11{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Chiều cao của tòa nhà là: $5 + 11{,}9 + 7 \approx 23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Vậy tòa nhà cao $23{,}9{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

a) Ta có: $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$OA = OB$ (cùng bằng bán kính đường tròn $\left( O \right)$)

Suy ra $OM$ là đường trung trực của $AB.$

Mà đường thẳng $AB$ cắt $OM$ tại $K$ nên $K$ là trung điểm của $AB.$

b) Ta có: $\widehat {ABN} = 90^\circ$ ($B$ thuộc đường tròn đường kính $AN$).

Suy ra $BN\parallel MO$ (cùng vuông góc với $AB$).

Do đó: $\widehat {AOM} = \widehat {ANB}$ (đồng vị)

$\widehat {AOM} = \widehat {BOM}$ ($OM$ là phân giác $\widehat {AOB}$)

Suy ra $\widehat {ANB} = \widehat {BOM}$.

Xét $\Delta BHN$ và $\Delta MBO$, có: $\widehat {BHN} = \widehat {MBO} = 90^\circ$; $\widehat {ANB} = \widehat {BOM}$

Suy ra (g.g).

Suy ra $\frac{{BH}}{{MB}} = \frac{{BN}}{{MO}}$ hay $MB.BN = BH.MO$ (đpcm).

c) Xét $\Delta AOM$ vuông tại $A$ có: $\cos \widehat {AOM} = \frac{{OA}}{{OM}} = \frac{R}{{2R}} = \frac{1}{2},$ suy ra $\widehat {AOM} = 60^\circ .$

Do $MA$ và $MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $OM$ là tia phân giác góc $\widehat {AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra $\widehat {AOB} = 2\widehat {MOA} = 120^\circ$.

Do đó, $\widehat {NOB} = 180^\circ - \widehat {BOA} = 60^\circ$ nên .

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OB,$$ON$ và cung nhỏ $BN$ là:

$S = \frac{{\pi {R^2}.60}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}$ (đvdt).

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OB,$$ON$ và cung nhỏ $BN$ là $\frac{{\pi {R^2}}}{6}$ (đvdt).

Đặt $AD = x\,\,\left( {x > 0} \right)$.

Ta có tứ giác $ADME$ có $\widehat {ADE} = \widehat {DAE} = \widehat {AED} = 90^\circ$ nên $ADME$ là hình chữ nhật. Do đó, $AD = EM = x.$

Chứng minh được (g.g), từ đó ta có:

$\frac{{EM}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CA}}$ hay $\frac{x}{6} = \frac{{CE}}{8}$ suy ra $CE = \frac{4}{3}x$.

Ta có $AE = AC - EC = 8 - \frac{4}{3}x$.

Diện tích hình chữ nhật $ADME$ là:

${S_{ADME}} = AD.AE = x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right)$.

Ta có: $x\left( {8 - \frac{4}{3}x} \right) = - \frac{4}{3}{x^2} + 8x = - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x} \right)$

$$= - \frac{4}{3}\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + 12$$

$= - \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12$.

Vì ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} \le 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Do đó $- \frac{4}{3}{\left( {x - 3} \right)^2} + 12 \le 12$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 3 = 0$ khi $x = 3.$

Khi đó $D$ là trung điểm của $AB$.

Suy ra $M$ là trung điểm của $BC$.

Vậy diện tích lớn nhất của $ADME$ bằng ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$ khi $M$ là trung điểm của $BC$.

Diện tích ao cá lớn nhất mà người đó có thể đào là ${\rm{12 }}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$.