Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10

Với , ta có:

• khi hay

• khi .

• nên với mọi .

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức là và điều kiện xác định của biểu thức là

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức , ta được:

Vậy giá trị biểu thức tại

Với , ta có:

Vậy với thì

Với , ta có:

.

Với , ta có nên , suy ra .

Ta cũng có: nên .

Do đó

Như vậy, để nguyên thì .

Khi đó, ta có: suy ra nên suy ra (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với thì nhận giá trị nguyên.

Điều kiện xác định: .

Ta có:

(thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là .

Nhận thấy với mọi . Do đó, ta có điều kiện: khi

Giải phương trình, ta có:

• TH1:

(thỏa mãn)

• TH2:

(vô lí).

Vậy phương trình có nghiệm .

Vậy bất phương trình có nghiệm là

Gọi lần lượt là khối lượng táo, xoài mà bác Nam mua ( đơn vị: kg).

Theo bài, bác Nam mua một thùng trái cây nặng kg gồm hai loại là táo và xoài nên ta có phương trình: (1)

Số tiền bác Nam dùng để mua táo là: (nghìn đồng).

Số tiền bác Nam dùng để mua xoài là: (nghìn đồng).

Theo bài, giá tiền của thùng trái cây là đồng (hay nghìn đồng) nên ta có phương trình: nên (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Từ phương trình (1), ta có: , thế vào phương trình (2), ta được:

(thỏa mãn).

Thay vào phương trình , ta được: (thỏa mãn).

Vậy bác Nam đã mua 11 kg táo và 7 kg xoài.

Gọi là số giờ Laurent David làm việc

Số tiền Laurent David kiếm được là:

Theo bài, Laurent David muốn kiếm được ít nhất trong mùa hè nên ta có bất phương trình:

.

Vậy bất phương trình cần tìm là .

Giải bất phương trình , ta được:

.

Do đó, Laurent David cần làm việc tối thiểu giờ để kiếm được ít nhất trong mùa hè này.

Từ hình vẽ, ta xét tam giác vuông tại , có:

Do người đó có tầm mắt nên chiều cao của tòa nhà là:

.

Vậy tòa nhà cao khoảng .

Khoảng cách từ xe thu gom phế thải ở đến chân tòa nhà là độ dài đoạn .

Xét tam giác vuông tại , ta có:

Suy ra

Khoảng cách của hai xe phế thải là

Vậy hai xe phế thải cách nhau khoảng .

Đường tròn tâm đường kính nên có bán kính , đường tròn tâm đường kính nên có bán kính .

Lại có:

Do đó, hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau.

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (1)

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Gọi là giao điểm của và

Xét tứ giác có nên là hình chữ nhật.

Suy ra và hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó

Khi đó, cân ở nên

cân ở nên (*)

Ta có điểm thuộc đường tròn đường kính nên .

Do đó, cân ở nên

Lại có nên hay (**)

Từ (*) và (**) suy ra nên tại

Xét đường tròn bán kính có nên là tiếp tuyến của đường tròn tại

⦁ Chứng minh tam giác là tam giác cân

Theo câu b, suy ra .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c), suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có: nên tam giác cân ở , suy ra .

Mà suy ra nên .

Xét cân ở (do ) có là đường cao nên cũng là đường trung trực của . Suy ra nên cân ở .

⦁ Xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất

Chứng minh tương tự câu c, ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại

Ta có: suy ra , do đó tứ giác là hình thang.

Lại có nên hình thang là hình thang vuông.

Ta có chu vi là

(do

.

Lại có và

Do đó , suy ra

Hay .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mà (chứng minh ở câu c) nên

Lại có là đường kính của đường tròn và điểm nằm trên đường tròn nên lúc này điểm trùng điểm tức là tại tâm . Như vậy, điều này xảy ra khi và chỉ khi nằm chính giữa cung .

Vậy chu vi đạt giá trị lớn nhất là khi nằm chính giữa cung .

Gọi độ dài của đoạn AE = x (0 < x < 4) (m), suy ra độ dài đoạn

Theo đề, các phần đất hình tam giác bằng nhau, nên ta có:

và .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông tại , có:

Suy ra

Do các phần hình tam giác bằng nhau nên .

Suy ra, chu vi là: .

Để chu vi của tứ giác nhỏ nhất thì nhỏ nhất.

Với mọi ta có:

.

Do đó, chu vi của tứ giác nhỏ nhất bằng khi hay

Vậy khoảng cách từ đến bằng thì tứ giác có chu vi nhỏ nhất.