Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 02

Đáp án đúng là: C

Ta có: khi và khi .

Vậy điều kiện xác định của phương trình là

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng với hoặc .

Do đó, không là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Bất đẳng thức có thể được phát biểu là nhỏ hơn hoặc bằng 3, hoặc không lớn hơn

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của biểu thức là .

Với mọi ta có: nên suy ra .

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Vậy

Đáp án đúng là: C

Nếu là góc nhọn thì ta có .

Đáp án đúng là: B

Số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn.

Đáp án đúng là: A

Kẻ Khi đó, khoảng cách từ tâm đến dây cung là .

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông tại , ta có: .

Suy ra .

Xét cân tại (do nên đường cao đồng thời là đường trung tuyến, nên là trung điểm của Do đó

Thay vào biểu thức , ta được:

Vậy với giá trị thì

Với , ta có:

Vậy với thì

$$\text{Với } x\ge0,\ x\ne1,\ x\ne\frac14 \text{ ta có:}$$

$$B= \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} + \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} - \frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$$

$$= \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} + \frac{(\sqrt{x}-1)^2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{3\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$$

$$= \frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1} {(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$$

$$= \frac{2x-3\sqrt{x}+1} {(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}$$

$$= \frac{(2\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)} {(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} = \frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$$

$$\text{Do đó, } M=AB = \frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1} \cdot \frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1} = 1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}.$$

Với $x\ge 0$ thì $\sqrt{x}+1\ge 1$, suy ra $\frac{\sqrt{x}+1}{4}\ge \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 4$.

Do đó, $1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 5$ hay $M\le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=0$ hay $x=0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ bằng $5$ khi $x=0.$

Điều kiện xác định: .

Ta có:

(không thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

.

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Gọi lần lượt là khối lượng riêng của chất lỏng loại I và chất lỏng loại II

Theo đề bài, khối lượng riêng của chất lỏng loại I lớn hơn khối lượng riêng của chất lỏng loại II là nên ta có phương trình: (1).

Thể tích của 4 kg chất lỏng loại I là:

Thể tích của 3 kg chất lỏng loại II là:

Khi đó, tổng thể tích hai loại chất lỏng là:

Người ta trộn chất lỏng loại I với chất lỏng loại II, do đó khối lượng hỗn hợp là: .

Thể tích của hỗn hợp sau khi pha là:

Khi đó, ta có phương trình: (2)

Từ (1) và (2), suy ra hệ phương trình

Từ (1) ta có: , thế vào phương trình (2), ta được:

Suy ra (do với mọi

Do đó (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , ta được (thỏa mãn).

Vậy khối lượng riêng của chất lỏng loại I và loại II lần lượt là và

Chiều cao của tòa nhà chính là độ dài đoạn thẳng

Xét tam giác vuông tại , ta có:

(1).

Xét tam giác vuông tại , ta có:

(2).

Từ (1) và (2) suy ra

.

Suy ra

Chiều cao của tòa nhà là: .

Vậy tòa nhà cao

Vì là hai tiếp tuyến của đường tròn lần lượt tại nên

Gọi là trung điểm của . Khi đó

⦁ Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên .

⦁ Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên .

Vì nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính .

⦁ Chứng minh

Xét đường tròn , có: (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung (1)

Xét cân tại (do có .

Do đó , suy ra (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Xét và có: là góc chung và .

Do đó (g.g).

Suy ra hay .

• *Chứng minh

Xét cân tại (do ) có là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao, do đó . Suy ra vuông tại .

Xét vuông tại có là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên

Khi đó, ta có nên bốn điểm cùng thuộc đường tròn tâm đường kính .

Suy ra (hai góc nội tiếp cùng chắn cung của đường tròn tâm ). (*)

Xét đường tròn có là hai tiếp tuyến cắt nhau tại , suy ra là phân giác của .

Do đó, .

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung .

Suy ra (**)

Từ (*) và (**) suy ra .

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị, do đó .

Gọi là giao điểm của và

Ta có (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và nên cùng nằm trên đường trung trực của hay là đường trung trực của .

Suy ra hay .

Xét và , có: và là góc chung.

Do đó (g.g)

Suy ra suy ra (3).

⦁ Ta có (do là trung điểm của (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên ba điểm thẳng hàng.

Xét và , có: và là góc chung

Do đó (g.g)

Suy ra suy ra (4).

Từ (3) và (4) suy ra Từ đó, ta có .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c)

Suy ra , suy ra .

Mà tại và cố định (do điểm cố định), do đó thuộc cố định.

Chiều dài của đáy bể là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của bể là $2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}$.

Suy ra $2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85{,}72$.

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{108}}{x}$ hay $2{x^3} = 108$, tức là $x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3{,}78{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$