Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Cánh diều có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

a) – Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 1 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

– Xét biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $x + \sqrt x \ne 0,\,\,x - 1 \ne 0,\,\,x - \sqrt x \ne 0.$

Với mọi $x \ge 0,$ ta có:

⦁ $x - 1 = \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)$.

Lại có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.$

Do đó $x - 1 \ne 0$ khi $\sqrt x - 1 \ne 0,$ hay $\sqrt x \ne 1,$ tức là $x \ne 1.$

⦁ $x + \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)$

Lại có $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \ge 1 > 0.$

Do đó $x + \sqrt x \ne 0$ khi $\sqrt x \ne 0$ hay $x \ne 0$.

⦁ $x - \sqrt x = \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)$

Do đó $x - \sqrt x \ne 0$ khi $\sqrt x \ne 0$ và $\sqrt x - 1 \ne 0$, tức là $x \ne 0$ và $x \ne 1.$

Như vậy, điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x > 0,x \ne 1.$

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức $A = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$ là $x \ge 0,x \ne 1$ và điều kiện xác định của biểu thức $B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$ là $x > 0,x \ne 1.$

b) Thay $x = \frac{1}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta được:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{9}} \left( {\frac{1}{9} + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt {\frac{1}{9}} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{1}{3}.\frac{{10}}{9}}}{{2\left( {\frac{1}{3} - 1} \right)}} = \frac{{\frac{{10}}{{27}}}}{{ - \frac{4}{3}}} = - \frac{5}{{18}}.$

Vậy $A = - \frac{5}{{18}}$ khi $x = \frac{1}{9}$.

c) Với $x > 0,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{1}{{x + \sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - \sqrt x }}$

$= \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$$= \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x \cdot \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$

$= \frac{{\sqrt x - 1 + 2x - \sqrt x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$$= \frac{{2x - 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {x - 1} \right)}}$$= \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,x \ne 1$ thì $B = \frac{2}{{\sqrt x }}$.

d) Với $x > 1,$ ta có:

$P = A.B = \frac{{\sqrt x \left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\frac{2}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$.

Xét $P = \sqrt x + 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} = \sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2$ với $x > 1.$

Do $x > 1$ nên $\sqrt x - 1 > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số $\sqrt x - 1\,;\,\,\frac{2}{{\sqrt x - 1}}\,;\,\,2$ không âm, ta có:

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x - 1} \right).\frac{2}{{\sqrt x - 1}}}$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} \ge 2\sqrt 2$

$\sqrt x - 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}} + 2 \ge 2\sqrt 2 + 2$

Suy ra $P \ge 2\sqrt 2 + 2$ với $x > 1$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$ .

Giải phương trình:

$\sqrt x - 1 = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}$

${\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} = 2$

$\sqrt x - 1 = \sqrt 2$ (do $\sqrt x - 1 > 0)$

$\sqrt x = \sqrt 2 + 1$

$x = 3 + 2\sqrt 2$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P = 2\sqrt 2 + 2$ khi $x = 3 + 2\sqrt 2$.

Điều kiện xác định: .

Ta có:

hoặc

(loại) hoặc (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là .

.

Vậy nghiệm của bất phương trình là

Gọi là số sản phẩm đội phải làm theo kế hoạch (, đơn vị: sản phẩm) và là số ngày đội đó làm theo kế hoạch (, đơn vị: ngày).

Theo kế hoạch, số sản phẩm phải làm là: (1).

Thực tế, mỗi ngày đội làm được 60 sản phẩm và hoàn thành trước 2 ngày đồng thời làm thêm được 24 sản phẩm.

Do đó, dựa vào số sản phẩm thực tế, ta có phương trình: hay (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: .

Thay vào phương trình (2), ta được:

, suy ra nên (thỏa mãn).

Thay vào phương trình , được (thỏa mãn).

Vậy số sản phẩm đội đó phải làm theo kế hoạch là sản phẩm.

Gọi (quả) là số quả bóng được ném vào rổ (,

Số quả bóng ném ra ngoài là: (quả).

Số điểm nhận được khi ném được quả bóng vào rổ là: (điểm).

Số điểm bị trừ khi ném quả ra ngoài là: (điểm).

Tổng số điểm đạt được sau khi ném quả bóng là: (điểm).

Theo bài, nếu đạt 15 điểm trở lên thì sẽ được chọn vào đội tuyển nên ta có bất phương trình:

.

Giải bất phương trình lập được ở câu a:

.

Mà và cần tìm giá trị nhỏ nhất nên

Vậy muốn được chọn vào đội tuyển thì bạn học sinh phải ném được ít nhất 10 quả bóng vào rổ.

Ta có: suy ra (so le trong).

Xét vuông tại ta có:

Ta có

Theo câu a, ta có:

⦁ nên

⦁ nên

Vậy chiếc xe cách tòa nhà khoảng và cách mắt người quan sát khoảng

Đường tròn tâm đường kính nên có bán kính , đường tròn tâm đường kính nên có bán kính .

Lại có:

Do đó, hai đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau.

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét đường tròn đường kính có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (1)

Xét và có: và là góc chung

Do đó, (g.g).

Suy ra hay (2).

Từ (1) và (2) suy ra .

Gọi là giao điểm của và

Xét tứ giác có nên là hình chữ nhật.

Suy ra và hai đường chéo này cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó

Khi đó, cân ở nên

cân ở nên (*)

Ta có điểm thuộc đường tròn đường kính nên .

Do đó, cân ở nên

Lại có nên hay (**)

Từ (*) và (**) suy ra nên tại

Xét đường tròn bán kính có nên là tiếp tuyến của đường tròn tại

⦁ Chứng minh tam giác là tam giác cân

Theo câu b, suy ra .

Xét và có: là góc chung và

Do đó (c.g.c), suy ra (hai góc tương ứng).

Ta có: nên tam giác cân ở , suy ra .

Mà suy ra nên .

Xét cân ở (do ) có là đường cao nên cũng là đường trung trực của . Suy ra nên cân ở .

⦁ Xác định vị trí của để chu vi tứ giác lớn nhất

Chứng minh tương tự câu c, ta có là tiếp tuyến của đường tròn tại

Ta có: suy ra , do đó tứ giác là hình thang.

Lại có nên hình thang là hình thang vuông.

Ta có chu vi là

(do

.

Lại có và

Do đó , suy ra

Hay .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . Mà (chứng minh ở câu c) nên

Lại có là đường kính của đường tròn và điểm nằm trên đường tròn nên lúc này điểm trùng điểm tức là tại tâm . Như vậy, điều này xảy ra khi và chỉ khi nằm chính giữa cung .

Vậy chu vi đạt giá trị lớn nhất là khi nằm chính giữa cung .

Gọi cạnh hình vuông được uốn từ đoạn là (

, đơn vị: m).

Lúc này, độ dài đoạn chính là chu vi hình vuông đó và bằng (m).

Do đó, độ dài đoạn là (m).

Suy ra, độ dài cạnh hình vuông được uốn bởi đoạn là (m).

Tổng diện tích hai hình vuông lúc này là:

Ta có: .

Tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi hay

Khi đó, độ dài đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng hay là trung điểm của đoạn .

Vậy để tổng diện tích hai hình vuông đạt giá trị nhỏ nhất thì ta chia đoạn dây thép thành hai phần bằng nhau