Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh Diều (2023-2024) có đáp án - Đề 3

a) $\frac{x}{{x + 9}} + \frac{9}{{x + 9}}$$= \frac{{x + 9}}{{x + 9}} = 1.$

b) $\frac{x}{{x + 6}} - \frac{{36}}{{{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} - 36}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = \frac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x\left( {x + 6} \right)}}$$= \frac{{x - 6}}{x}.$

c) $\frac{{7x + 1}}{{x - 3}} \cdot \frac{{x - 5}}{{x + 7}} - \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \frac{{6x - 6}}{{x - 3}} = \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \left( {\frac{{7x + 1}}{{x - 3}} - \frac{{6x - 6}}{{x - 3}}} \right)$

$= \frac{{x - 5}}{{x + 7}} \cdot \frac{{7x + 1 - 6x + 6}}{{x - 3}}$$= \frac{{x - 5}}{{x - 3}}.$

Biểu thức $A = \left( {\frac{3}{{x - 4}} + \frac{3}{{x + 4}}} \right).\frac{{{x^2} - 8x + 16}}{{9x}}$

a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x - 4 \ne 0\\x + 4 \ne 0\\9x \ne 0\end{array} \right.$ hay $x \ne 4,\,\,x \ne - 4$ và $x \ne 0.$

b) Với $x \ne 4,\,\,x \ne - 4$ và $x \ne 0,$ ta có:

$$A = \left( {\frac{3}{{x - 4}} + \frac{3}{{x + 4}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 8x + 16}}{{6x}}$$

$$= \left[ {\frac{{3\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \frac{{3\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{6x}}$$

$$= \frac{{3x + 12 + 3x - 12}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{6x}}$$

$$= \frac{{6x}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}{{6x}} = \frac{{x - 4}}{{x + 4}}.$$

Vậy với $x \ne 4,\,\,x \ne - 4$ và $x \ne 0$ thì $A = \frac{{x - 4}}{{x + 4}}.$

c) Thay $x = - 5$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta có: $A = \frac{{ - 5 - 4}}{{ - 5 + 4}} = \frac{{ - 9}}{{ - 1}} = 9.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lí Pythagore)

$B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100,$ do đó $BC = 10{\rm{\;m}}.$

Vậy chiều dài thang là 10 m.

a) Tứ giác $AEDF$ có: $\widehat {A\,\,} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A),$ $\widehat {E\,} = 90^\circ$ (do $DE \bot AB),$ $\widehat {F\,} = 90^\circ$ (do $DF \bot AC).$

Suy ra $AEDF$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta ABC$ có $AD$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AD = \frac{1}{2}BC.$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$ nên $DB = DC = \frac{1}{2}BC.$

Do đó $DB = DC = DA = \frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ACD$ có $DA = DC$ nên $\Delta ACD$ cân tại $D,$ khi đó $DF$ là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ACD.$

Do đó $F$ là trung điểm $AC$ nên $FA = FC = \frac{1}{2}AC.$

Mà $ED = AF$ (do $AEDF$ là hình chữ nhật) nên $ED = FC.$

Tứ giác $EDCF$ có $ED = FC$ và $ED\,{\rm{//}}\,FC$ nên $EDCF$ là hình bình hành.

c) Xét tứ giác $ADCH$ có $F$ là trung điểm của $AC$ và $DH$ nên là hình bình hành.

Lại có $DH \bot AC$ nên $ADCH$ là hình thoi.

Với $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: $Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$

$= \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.$

Vậy giá trị biểu thức $Q$ không phụ thuộc vào $a,\,\,b,\,\,c.$