Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 2

a) $\frac{x}{{x + 7}} + \frac{7}{{x + 7}}$$= \frac{{x + 7}}{{x + 7}} = 1.$

b) $\frac{x}{{x + 2}} - \frac{4}{{{x^2} + 2x}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}.$

c) $\frac{{3x + 1}}{{x - 13}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 3}} - \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{2x + 14}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\left( {\frac{{3x + 1}}{{x - 13}} - \frac{{2x + 14}}{{x - 13}}} \right)$

$$= \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{3x + 1 - 2x - 14}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x - 13}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}.$$

$$A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}$$

a) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ne 0\\x + 5 \ne 0\\4x \ne 0\end{array} \right.$ hay $x \ne 5,\,\,x \ne - 5$ và $x \ne 0.$

b) Với $x \ne 5,\,\,x \ne - 5$ và $x \ne 0,$ ta có:

$$A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}$$

$$= \left[ {\frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}$$

$$= \frac{{2x + 10 + 2x - 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}$$

$= \frac{{4x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}$$= \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.$

Vậy với $x \ne 5,\,\,x \ne - 5$ và $x \ne 0$ thì $A = \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.$

c) Thay $x = - 3$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A,$ ta có: $A = \frac{{ - 3 - 5}}{{ - 3 + 5}} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}$ (Định lí Pythagore)

$B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2\,\,500,$ do đó $BC = 50{\rm{\;m}}{\rm{.}}$

Vậy khoảng cách từ nhà bạn Bình đến nhà bạn Châu là 50 m.

a) Tứ giác $AEIF$ có: $\widehat {A\,\,} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A),$ $\widehat {E\,} = 90^\circ$ (do $IE \bot AB),$ $\widehat {F\,} = 90^\circ$ (do $IF \bot AC).$

Suy ra $AEIF$ là hình chữ nhật.

b) Xét $\Delta ABC$ có $AI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên $AI = \frac{1}{2}BC.$

Mà $I$ là trung điểm của $BC$ nên $IB = IC = \frac{1}{2}BC.$

Do đó $IB = IC = IA = \frac{1}{2}BC.$

Xét $\Delta ACI$ có $IA = IC$ nên $\Delta ACI$ cân tại $I,$ khi đó $IF$ là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ACI.$

Do đó $F$ là trung điểm $AC$ nên $FA = FC = \frac{1}{2}AC.$

Mà $FA = IE$ (do $AEIF$ là hình chữ nhật) nên $IE = FC.$

Tứ giác $EFCI$ có $IE = FC$ và $IE\,{\rm{//}}\,FC$ nên $EFCI$ là hình bình hành.

c) Xét $\Delta ABI$ có $IA = IB$ nên $\Delta ABI$ cân tại $I,$ khi đó $IE$ là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của $\Delta ABI.$

Do đó $E$ là trung điểm $AB.$

Xét tứ giác $AIBG$ có $E$ là trung điểm của $AB$ và $GI$ nên là hình bình hành.

Lại có $GI \bot AB$ nên $AIBG$ là hình thoi.

Với $a,\,\,b,\,\,c$ đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: $Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}$

$= \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}$

$= \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.$

Vậy giá trị biểu thức $Q$ không phụ thuộc vào $a,\,\,b,\,\,c.$