Bộ 10 đề thi Cuối kì 1 Toán 11 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: A

Ta có

+) $\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha$ (phụ nhau) nên đáp án A đúng.

+) $sin\left( {\pi + \alpha } \right) = - {\rm{sin}}\alpha$ (hơn kém $\pi$) nên đáp án B sai.

+) $\cos \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right) = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{\pi }{2} + \alpha } \right)} \right] = \sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha$ nên đáp án C sai.

+) $tan\left( {\pi + 2\alpha } \right) = \tan \left( {2\alpha } \right)$ nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$;

$\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi:

$\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi$.

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = \cos x$ là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: A

Công thức nghiệm của phương trình $\sin x = \sin \alpha$ là $\left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\tan x = \tan \alpha$ có công thức nghiệm là $x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án đúng là: A

Dãy số $- 1$, $0$, $3$, $8$, $16$ là dãy số tăng vì $- 1$ < $0$ < $3$ < $8$ < $16$.

Đáp án đúng là: A

Ta lần lượt kiểm tra : ${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?$

Xét đáp án: $1; - 3; - 7; - 11; - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \Rightarrow$ chọn.

Xét đáp án: $1; - 3; - 6; - 9; - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Xét đáp án: $1; - 2; - 4; - 6; - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Xét đáp án: $1; - 3; - 5; - 7; - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Đáp án đúng là: A

Công bội của cấp số nhân là $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.$

Đáp án đúng là: A

Số nhân viên đi làm chỉ mất thời gian dưới 30 phút là

5 + 15 + 10 + 12 = 42 (nhân viên).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất thừa nhận, ta có: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, do đó khẳng định ở đáp án A là đúng.

Các đáp án còn lại là sai:

+) Đáp án B: Qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này.

+) Đáp án C: Qua 2 điểm phân biệt, có vô số mặt phẳng đi qua điểm này.

+) Đáp án D: Tồn tại một 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng $a$ và $b$ song song với nhau. Khi đó, có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng $a$ và $b.$

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên đường thẳng $d$ không có điểm chung với mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Theo lí thuyết, ta nhận thấy đáp án A đúng.

Đáp án đúng là: A

Hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.

Đáp án đúng là: C

Ta có, theo hệ quả $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{n}} \right) = 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{k}{n}} \right) = 0,\forall k \in \mathbb{R}$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{2}{n}} \right) = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 4f\left( x \right) = 4 \cdot \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = 4 \cdot 2 = 8$.

Đáp án đúng là: A

Với hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K.$ Hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0}$ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right).$

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ gián đoạn tại điểm $x = 1.$

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\cos \alpha < 0$.

Ta có ${\sin ^2}\alpha \, + \,\,{\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = \frac{{25}}{{169}}$.

$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{5}{{13}}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\sin \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{{3\pi }}{2} - \cos \alpha \sin \frac{{3\pi }}{2}$

$= \sin \alpha \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot \left( { - 1} \right) = \frac{1}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Các dãy số ${n^2};\,\,\,n;\,\,\,{2^n}$ dương và tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi $n$ tăng lên vô hạn, nên các dãy $\sqrt {{n^2} + 1}$;$n + \frac{1}{n}$; ${2^n} + 1$ cũng tăng lên vô hạn (dương vô cùng), suy ra các dãy này không bị chặn trên, do đó chúng không bị chặn.

Ta có: $0 < {u_n} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1$.

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$ là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$${u_3} = {u_2} + 2{u_1} = 1 + 2 \cdot 1 = 3.$$

$${u_4} = {u_3} + 2{u_2} = 3 + 2 \cdot 1 = 5.$$

$${u_5} = {u_4} + 2{u_3} = 5 + 2 \cdot 3 = 11.$$

Vậy ${u_4} + {u_5} = 5 + 11 = 16.$

Đáp án đúng là: A

Tổng của $5$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng có ${u_1} = 1$ và công sai $d = 2$ bằng

${S_5} = \frac{5}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {5 - 1} \right)d} \right] = \frac{5}{2}\left( {2 \cdot 1 + 4 \cdot 2} \right) = 25$.

Đáp án đúng là: A

Số hạng thứ 10 của cấp số nhân là

${u_{10}} = {u_1} \cdot {q^{10 - 1}} = \left( { - 2} \right) \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^9} = - \frac{1}{{256}}$.

Đáp án đúng là: D

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là $n = 42$. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B là

$\overline x = \frac{{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}}{{42}} \approx 51{,}81\,{\rm{(kg)}}$.

Đáp án đúng là: A

Cách 1: Vì 4 điểm đã cho là không đồng phẳng nên tạo thành 1 tứ diện.

Mà tứ diện có 4 mặt phẳng nên ta xác đijnh được 4 mặt phẳng phân biệt từ các điểm đã cho.

***Cách 2:* **Vì 4 điểm đã cho không đồng phẳng nên chọn 3 điểm bất kì cho ta 1 mặt phẳng

Do đó số mặt phẳng được xác định từ 4 điểm đã cho là $C_4^3 = 4$.

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ có chung điểm $S$ và lần lượt chứa hai đường thẳng song song $AD$, $BC$ (do $ABCD$ là hình bình hành) nên giao tuyến $\Delta$ đi qua $S$ và lần lượt song song với $AD$, $BC$.

Đáp án đúng là: D

Vì $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,\,AC$nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$, do đó $MN\,{\rm{//}}\,BC$ mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ nên $MN\,{\rm{//}}\,\,\left( {BCD} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên các mặt phẳng đối diện song song:

$\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)$; $\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)$; $\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)$.

Do hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau mà $AC \subset \left( {ACC'A'} \right)$ và $BD \subset \left( {BDD'B'} \right)$ nên hai mặt phẳng $\left( {BDD'B'} \right)$ và $\left( {ACC'A'} \right)$ cắt nhau, vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n + 2}}{{2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{2}{n}}}{2} = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = 2 - 15 = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.$.

Vì $x \to {2^ + }$ nên $x > 2$. Do đó $x - 2 > 0$.

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ xác định tại $x = 2$ nên nó liên tục tại $x = 2$.

1.

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}$. (0,5 điểm)

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 5} - 2x - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = - 2$.

2.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$; $f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m$.

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi

$f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}$.

a)

Vì $M,\,N$ lần lượt là trung điểm của $A'B'$ và $AB$ nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABB'A'$. Suy ra $MN\,{\rm{//}}\,AA'$ và $MN\, = \,AA'$ (do $ABB'A'$ là hình bình hành).

Ta có $MN{\rm{ // }}AA',\,AA'{\rm{ // }}CC' \Rightarrow MN{\rm{ // }}CC'$.

Lại có $AA' = CC'$ (tính chất hình lăng trụ), mà $MN\, = \,AA'$ nên $MN = CC'$.

Do đó, tứ giác $MNCC'$ là hình bình hành. Suy ra $CN{\rm{ // }}MC'.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}MC'\\MC' \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).$

Mặt khác ta chứng minh được $AN{\rm{ // }}B'M,AN = B'M$ nên tứ giác $ANB'M$ là hình bình hành. Suy ra $NB'{\rm{ // }}MA.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}NB'{\rm{ // }}MA\\MA \subset \left( {AMC'} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right).$

Lại có $\left\{ \begin{array}{l}CN{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\NB'{\rm{ // }}\left( {AMC'} \right)\\CN,NB' \subset \left( {CNB'} \right)\\CN \cap NB' = \left\{ N \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AMC'} \right){\rm{ // }}\left( {CNB'} \right).$

Mà $CB' \subset \left( {CNB'} \right).\,\,\,{\rm{Suy}}\,\,{\rm{ra}}\,\,\,CB'\,\,{\rm{//}}\,\left( {AMC'} \right)$.

b)

Trong mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$, kẻ đường thẳng qua $N$ song song với $AB'$, cắt $BB'$ tại $E$.

Trong mặt phẳng $\left( {ABC'} \right)$, kẻ đường thẳng qua $N$ song song với $AC'$, cắt $BC'$ tại $Q$.

Khi đó, mặt phẳng $\left( P \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {NQE} \right)$.

Vì $E \in BB'$ nên $E \in \left( {BB'C'} \right)$; vì $Q \in BC'$ nên $Q \in \left( {BB'C'} \right)$. Do đó, $EQ \subset \left( {BB'C'} \right)$.

Vậy $\left( {NQE} \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ$ hay $\left( P \right) \cap \left( {BB'C'} \right)\,\, = \,\,EQ$.

Gọi ba số cần tìm là ${u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}$ với ${u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0$.

Vì ${u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}$ tạo thành cấp số cộng với công sai $d \ne 0$ nên ${u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d$.

Hơn nữa, ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2$.

Lại có ${u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}$ tạo thành cấp số nhân hay ${u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d$ tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}$ $\Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2$

$\Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2$$\Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$.

Với ${u_1} = 2$, suy ra $d = 0$: không thỏa mãn.

Với ${u_1} = - 4$, suy ra $d = 6$. Vậy ba số cần tìm là $- 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8$.