Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: A

$M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo $\alpha$ thì $\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = {x_0}\\\sin \alpha = {y_0}\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức $\sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]$, ta được

$$P = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} - \cos 2\alpha } \right).$$

Ta có $\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}.$

Thay vào $P$, ta được $P = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{7}{{25}}} \right) = \frac{{11}}{{100}}.$

Đáp án đúng là: B

Đồ thị của hàm số $y = \sin x$ đối xứng qua gốc tọa độ, do đó Hình 2 là đồ thị của hàm số $y = \sin x$.

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Công thức nghiệm của phương trình $\cos x = \cos \alpha$ là $x = \pm \alpha + k2\pi ,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án đúng là: B

Ta có $2\cos x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

Đáp án đúng là: D

Vì $n;{3^n}$ là các dãy số dương tăng nên $\frac{3}{n};\frac{2}{{{3^n}}}$ là các dãy số giảm.

Xét đáp án A: ${u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}$ có ${u_1} = - 2;{u_2} = 4;{u_3} = - 8;{u_4} = 16;...$ nên dãy ${u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}$ không tăng không giảm.

Xét đán án D: Ta có ${u_n} = {2^n}$ là dãy số dương tăng.

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_n} = 2n$. Năm số hạng đầu của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ lần lượt là

${u_1} = 2 \cdot 1 = 2;\,\,{u_2} = 2 \cdot 2 = 4;\,\,{u_3} = 2 \cdot 3 = 6$; ${u_4} = 2 \cdot 4 = 8;\,{u_5} = 2 \cdot 5 = 10$.

Đáp án đúng là: C

Có $\frac{{2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{9}{{41}}$$\Leftrightarrow 82n = 9{n^2} + 9$$\Leftrightarrow 9{n^2} - 82n + 9 = 0$$\Leftrightarrow \left( {9n - 1} \right)\left( {n - 9} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\\n = \frac{1}{9}\end{array} \right.$.

Vì $n \in \mathbb{N}$ nên $n = 9$.

Vậy số $\frac{9}{{41}}$ là số hạng thứ 9.

Đáp án đúng là: B

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng với công sai $d$ nên ta có ${u_n} = {u_{n - 1}} + d$.

Đáp án đúng là: A

${u_8} = {u_1} + 7d$$\Leftrightarrow 26\, = \frac{1}{3} + 7d$$\Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $d$ là công sai.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.$.

Vậy công sai $d = 3$.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

Đáp án A: Vì $\frac{3}{1} \ne \frac{5}{3}$ nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án B: Vì $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \ne \frac{6}{4}$ nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án C: Vì $\frac{{\frac{1}{4}}}{4} \ne \frac{3}{{\frac{1}{4}}}$ nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án D: Vì $\frac{3}{9} = \frac{1}{3} = \frac{{\frac{1}{3}}}{1} = \frac{{\frac{1}{9}}}{{\frac{1}{3}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{3}} \right)$ nên đây là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a + b$.

Đáp án đúng là: A

Vì $\lim {q^n} = 0\,\,\,(\left| q \right| < 1)$ nên $\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^3}}}{{a{n^3} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{1}{n} - 2} \right)}^3}}}{{a + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{ - 8}}{a}$.

Từ giả thiết ta suy ra $\frac{{ - 8}}{a} = 4 \Rightarrow a = - 2$.

Vậy $a - {a^2} = \left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} = - 6$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 1 - \left( { - 2} \right) = 3$.

Đáp án đúng là: D

Do $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$ và $x - 1 > 0$ khi $x \to {1^ + }$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty$.

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số $y = f\left( x \right)$ gián đoạn tại điểm $x = 1.$

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: ${x^2} + 7x + 12 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne - 4\end{array} \right.$.

Tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 4; - 3} \right) \cup \left( { - 3; + \infty } \right)$.

Xét các đáp án ta thấy $D \supset \left( {3;4} \right)$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng $\left( {3;4} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề A sai vì điểm $A$ có thể thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

Mệnh đề B sai vì $A \in \left( P \right)$ thì $A$ có thể không thuộc đường thẳng $d$.

Mệnh đề C sai vì ba điểm $A,B,C$ có thể thuộc đường thẳng khác $d$ và nằm trong $\left( P \right)$.

Mệnh đề D là mệnh đề đúng vì $d \subset \left( P \right)$ nên $A \in d$ thì $A \in \left( P \right)$.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

Đáp án B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Đáp án D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Đáp án đúng là: A

Các vị trí tương đối của hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là:

- Song song;

- Cắt nhau;

- Trùng nhau;

- Chéo nhau.

Vậy có 4 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian.

Đáp án đúng là: C

Vì $I,J$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB$, do đó $IJ\,{\rm{//}}\,AB$.

Tương tự, $EF$ cũng là đường trung bình của tam giác $SCD$ nên $EF\,{\rm{//}}\,CD$.

Mà $CD\,{\rm{// }}AB$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng $AB,\,CD,\,EF,\,IJ$ đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng $IJ$ không song song với đường thẳng $AD.$

Đáp án đúng là: B

Gọi $\left( Q \right) \equiv \left( {a,b} \right)$.

Khẳng định A sai. Khi $b = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow b \subset \left( P \right)$.

Khẳng định C sai. Khi $\left( P \right) \ne \left( Q \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( P \right)$.

Xét khẳng định B, giả sử $\left( P \right)$ không cắt $b$ khi đó $b \subset \left( P \right)$ hoặc $b\,\parallel \,\left( P \right)$. Khi đó, vì $b\,\parallel \,a$ nên $a \subset \left( P \right)$ hoặc $a$ // $\left( P \right)$ (mâu thuẫn với giả thiết $\left( P \right)$ cắt $a$).

Vậy khẳng định B đúng.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $SAC$ có $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SC\,.$

Do đó, $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAC$.

Suy ra $MN$//$AC$ mà $AC \subset \left( {ABCD} \right)$. Khi đó, $MN$//$\left( {ABCD} \right)\,.$

Đáp án đúng là: A

Cho điểm $M$ nằm ngoài mặt phẳng $\left( \alpha \right).$ Khi đó có vô số đường thẳng chứa $M$ và song song với $\left( \alpha \right).$ Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $\left( \alpha \right).$ Do đó đáp án A là sai.

Đáp án đúng là: D

Khẳng định $A{A_1}{B_1}B$ là hình chữ nhật là sai vì mặt bên $A{A_1}{B_1}B$ là hình bình hành, nó là hình chữ nhật khi $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ là hình lăng trụ đứng.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

Đáp án A: Giả sử $a$ và $b$ là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là $a'$ và $b'$. Nếu mặt phẳng $\left( {a,\,\,a'} \right)$ và mặt phẳng $\left( {b,\,\,b'} \right)$ song song với nhau thì $a'\,{\rm{//}}\,b'$. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song. Vậy đáp án A đúng.

Đáp án B: Nếu $a$ và $b$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $O$ và hình chiếu của $O$ là $O'$ thì $O' \in a'$ và $O' \in b'$ tức là $a'$ và $b'$ có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được. Vậy đáp án B sai.

Đáp án C: Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành. Vậy đáp án C sai.

Đáp án D: Hình chiếu song song của một lục giác đều có thể là một lục giác. Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left. \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right\} \Rightarrow AIB'I'$ là hình bình hành.

Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng $AI'$, mặt phẳng chiếu $\left( {A'B'C'} \right)$ biến điểm $I$

thành điểm $B'$.

Đáp án đúng là: D

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh tham gia khảo sát là $n = 42$. Thời gian trung bình tập thể dục trong ngày của các học sinh khối 11 trên là

$\overline x = \frac{{5 \cdot 10 + 9 \cdot 30 + 12 \cdot 50 + 10 \cdot 70 + 6 \cdot 90}}{{42}} \approx 51{,}43$ (phút).

Đáp án đúng là: C

Nhóm chứa mốt là nhóm $\left[ {40;45} \right)$.

Khi đó: ${u_m} = 40;{n_{m - 1}} = 10;{n_m} = 17;{n_{m + 1}} = 0;{u_{m + 1}} = 45$.

Do đó ${M_o} = 40 + \frac{{17 - 10}}{{\left( {17 - 10} \right) + \left( {17 - 0} \right)}}\left( {45 - 40} \right) \approx 41{,}5$.

Đáp án đúng là: B

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là $\left[ {40;\,50} \right)$.

Khi đó ${u_m} = 40;{n_{m - 1}} = 6;{n_m} = 10;{n_{m + 1}} = 7;{u_{m + 1}} = 50$.

Do đó ${M_o} = 40 + \frac{{10 - 6}}{{\left( {10 - 6} \right) + \left( {10 - 7} \right)}}\left( {50 - 40} \right) \approx 45{,}7$.

Dựa vào kết quả trên ta dự đoán khách hàng nam 46 tuổi hay mua bảo hiểm nhất.

Đáp án đúng là: B

Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là $n = 53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240$.

Giả sử ${x_1};{x_2};...;{x_{240}}$ lần lượt là số vỏ chai nhựa 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{120}} + {x_{121}}} \right)$ thuộc nhóm $\left[ {15{,}5;\,20{,}5} \right)$.

Khi đó, ta có: $n = 240;{n_m} = 82;C = 53;{u_m} = 15{,}5;{u_{m + 1}} = 20{,}5$.

Do đó ${M_e} = 15{,}5 + \frac{{\frac{{240}}{2} - 53}}{{82}}\left( {20{,}5 - 15{,}5} \right) \approx 19{,}59$.

a) Gọi $E = AD \cap BC$.

Vì $\left. \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Mà $S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$. Khi đó $SE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

b) Trong $\left( {SAE} \right)$ dựng $IM \cap SE = K$.

Vì $K \in SE \subset \left( {SBC} \right)$ và $K \in IM$

Nên $K = IM \cap \left( {SBC} \right)$.

c) Gọi $O = AC \cap BD$. Trong $\left( {SBD} \right)$ gọi $F = SO \cap MJ$ và trong $\left( {SAC} \right)$ dựng $IF$ cắt $SC$ tại $N$. Khi đó $N = SC \cap \left( {IJM} \right)$.

Khi đó $\left( {IJM} \right) \cap \left( {SAD} \right) = IM$;

$\left( {IJM} \right) \cap \left( {SDC} \right) = MN$;

$\left( {IJM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ$;

$\left( {IJM} \right) \cap \left( {SAB} \right) = IJ$.

Do vậy thiết diện của $\left( {IJM} \right)$và khối chóp là tứ giác$IMNJ.$

Hình vuông đầu tiên $\left( {{C_1}} \right)$ có cạnh bằng $a$ và diện tích là ${S_1} = {a^2}$.

Từ đề bài, ta thấy cạnh của hình vuông $\left( {{C_2}} \right)$ là ${a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}$.

Khi đó diện tích của hình vuông $\left( {{C_2}} \right)$ là ${S_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}$.

Cạnh của hình vuông $\left( {{C_3}} \right)$ là ${a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2}$.

Khi đó diện tích của hình vuông $\left( {{C_3}} \right)$ là ${S_3} = {\left( {\frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{S_2} = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8}{S_1} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2}$.

Lý luận tương tự ta có ${S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...$ tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có ${u_1} = {S_1} = {a^2}$ và công bội $q = \frac{5}{8}$. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là

$T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...$$= \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}$.

Mà $T = \frac{{32}}{3}$ nên $\frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = 4$. Suy ra $a = 2$ (do độ dài cạnh là số dương).

Vật đi qua vị trí cân bằng tức là $x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow 5t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi$

$\Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}$.

Vì $0 < t < 6$ nên $0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} < 6$$\Leftrightarrow - \frac{2}{3} < k < \frac{{30}}{\pi } - \frac{2}{3}$ mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.