Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 6

a) Ta có: ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}.$

$\Rightarrow P = {\sin ^2}2x = {\left( {2\sin x.\cos x} \right)^2} = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 4.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}.\frac{7}{{16}} = \frac{{63}}{{64}}.$

b) Ta có: $\sin 2x - \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{2} - 2x = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{\pi }{2} - 2x = - \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{9} - \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{3} - k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$

a) Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ đã cho nên ${u_6} = {u_1} + 5d$$\Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d$$\Leftrightarrow d = 6$.

$\Rightarrow {u_{12}} = {u_1} + \left( {12 - 1} \right)d = - 3 + \left( {12 - 1} \right)6 = 63.$

b) Gọi ${u_n}$ là quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ $n,\,\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ nhất là ${u_1} = 10$ (m).

Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ hai là ${u_2} = \frac{3}{4}{u_1} = \frac{3}{4}.10$ (m).

Quãng đường quả bóng cao su đi xuống lần thứ ba là

${u_3} = \frac{3}{4}{u_2} = \frac{3}{4}.\frac{3}{4}10 = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}.10$ (m).

Khi đó, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = \frac{3}{4}.$

Vì $\left| q \right| = \frac{3}{4} < 1$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là ${S_n} = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}$$= \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}$ $= 40$ (m).

Vì bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao $10$ m theo phương thẳng đứng nên tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là $2S - 10 = 70$ (m).

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}} = \frac{1}{2}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^3} - {x^2}} }}{{\sqrt {x - 1} + 1 - x}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2}\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} - \left( {x - 1} \right)}}$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x\sqrt {\left( {x - 1} \right)} }}{{\sqrt {x - 1} \left( {1 - \sqrt {x - 1} } \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{x}{{1 - \sqrt {x - 1} }} = \frac{1}{{1 - \sqrt {1 - 1} }} = 1.$

a) Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ có $MN$ không song song với $CD$ nên $MN \cap CD = E$.

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}E \in MN \subset \left( {OMN} \right)\\E \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.$, suy ra $E \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCD} \right).$

Vì $O$ là điểm bên trong tam giác $BCD$ nên $O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCD} \right).$

Từ các kết quả trên ta có $OE = \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCD} \right).$

b) Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right),$gọi $K = OE \cap BC.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}K \in BC\\K \in OE \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right.$ nên $K = BC \cap \left( {OMN} \right)$.