Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: B

Ta có: $1^\circ = \left( {\frac{\pi }{{180}}} \right)\,\,\,{\rm{rad}} \Rightarrow a^\circ = \left( {\frac{{a\pi }}{{180}}} \right)\,\,\,{\rm{rad}}.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức hai góc phụ nhau: $\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \cot x.$

$\Rightarrow \tan x.\tan \left( {90^\circ - x} \right) = \tan x.\cot x = 1.$

Ta có: $P = \tan 10^\circ \tan 20^\circ ...\tan 80^\circ$

$$= \left( {\tan 10^\circ \tan 80^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ \tan 70^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ \tan 60^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ \tan 50^\circ } \right)$$

$$= 1.1.1.1 = 1.$$

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức nhân đôi: $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $M = \sin 2\left( {\alpha + \pi } \right) = \sin \left( {2\alpha + 2\pi } \right) = \sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha .$

Từ hệ thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^2}} = \pm \frac{3}{5}.$

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{3}{5}.$

Thay $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ và $\cos \alpha = - \frac{3}{5}$ vào $M,$ ta được $M = 2.\frac{4}{5}.\left( { - \frac{3}{5}} \right) = - \frac{{24}}{{25}}.$

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$ xác định khi $\cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0$

$\Leftrightarrow x - \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{5\pi }}{6} + k\pi .$

Vậy tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{5\pi }}{6} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}.$

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi ,$ các hàm số $y = \tan x,\,\,y = \cot x$ và $y = \sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $\pi .$

Như vậy, mệnh đề hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $\pi$ là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Vậy phương trình có nghiệm $x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin x + \cos x = 2 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x = \frac{2}{{\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{4}\sin x + \sin \frac{\pi }{4}\cos x = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 .$

Vì $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1$ và $\sqrt 2 > 1$ nên phương trình $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2$ vô nghiệm, tức là phương trình $\sin x + \cos x = 2$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sin 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \Leftrightarrow 2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Mà $x \in \left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right] \Rightarrow - \frac{{3\pi }}{2} \le - \frac{\pi }{4} + k\pi \le 10\pi \Rightarrow - 1{,}25 \le k \le 10{,}25.$

Do $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ { - 1;\,\,0;...;\,\,10} \right\}$ trong đó có 12 giá trị của $k.$

Vậy số nghiệm thực của phương trình $\sin 2x + 1 = 0$ trên đoạn $\left[ { - \frac{{3\pi }}{2};10\pi } \right]$ là 12.

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right),$ biết ${u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n$ ta có:

${u_1} = {\left( { - 1} \right)^1}.2.1 = - 2;\,\,{u_2} = {\left( { - 1} \right)^2}.2.2 = 4;$

${u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}.2.3 = - 6;\,\,{u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8.$

Vậy mệnh đề C là mệnh đề sai.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{{3n - 4}}{{2n + 5}} = \frac{{14}}{{17}} \Leftrightarrow 23n = 138 \Leftrightarrow n = 6.$

Vậy $\frac{{14}}{{17}}$ là số hạng thứ 6 của dãy số đã cho.

Đáp án đúng là: A

Ta lần lượt kiểm tra : ${u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?$

Xét đáp án: $1;\,\, - 3;\,\, - 7;\,\, - 11;\,\, - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \to$ chọn.

Xét đáp án: $1;\,\, - 3;\,\, - 6;\,\, - 9;\,\, - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Xét đáp án: $1;\,\, - 2;\,\, - 4;\,\, - 6;\,\, - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Xét đáp án: $1;\,\, - 3;\,\, - 5;\,\, - 7;\,\, - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to$loại.

Kết luận: Vậy dãy số $1;\,\, - 3;\,\, - 7;\,\, - 11;\,\, - 15;...$ là cấp số cộng với công sai $d = - 4.$

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số $1;\,\,5;\,\,9;...;\,\,397.$

Ta thấy dãy số $1;\,\,5;\,\,9;...;\,\,397$ là một cấp số cộng với công sai $d = 4$ và số hạng đầu ${u_1} = 1$ nên có số hạng tổng quát ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 3.$

Ta có: $4n - 3 = 397 \Leftrightarrow n = 100.$

Như vậy $S = 1 + 5 + 9 + ... + 397$ là tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng có ${u_1} = 1$ và công sai $d = 4.$

${S_{100}} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {100 - 1} \right)d} \right].100}}{2} = \frac{{\left[ {2.1 + \left( {100 - 1} \right).4} \right].100}}{2} = 19\,\,900.$

Vậy $S = 1 + 5 + 9 + ... + 397 = 19\,\,900.$

Đáp án đúng là: A

Công bội của cấp số nhân là $q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.$

Đáp án đúng là: B

Gọi $A,\,\,B,\,\,C$ lần lượt là số đo ba góc của tam giác $ABC$.

Theo giả thiết ta có $A,\,\,B,\,\,C$ lập thành cấp số nhân với $q = 2$ nên $B = 2A$ và $C = 2B = 2.2A = 4A.$

Mà $A + B + C = \pi$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow A + 2A + 4A = \pi \Leftrightarrow A = \frac{\pi }{7}.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{v_n} - 2{u_n}} \right) = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} - 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = 2 + 2\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 2 + 2.1 = 4.$

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = \frac{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}}{{\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {2{x^2} + 3x - 5} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2{x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 3x - \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 5 = {2.0^2} + 3.0 - 5 = - 5.$

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị của hàm số ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 1;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 3.$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = 1 + 3 = 4.$

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1} .$

Điều kiện: ${x^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 1$ (luôn đúng do ${x^2} \ge 0$).

Tập xác định của hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1}$ là $D = \mathbb{R}.$

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1}$ là hàm căn thức nên nó liên tục trên tập xác định $D = \mathbb{R}.$

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}$, điều kiện: $x > 0.$

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 2}}{{\sqrt x }}$ là $D = \left( {0; + \infty } \right).$

Từ đó suy ra hàm số đã cho liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right).$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$;

Và $f\left( 2 \right) = {m^2} + 3m$

Hàm số đã cho liên tục tại $x = 2$ khi và chỉ khi

$f\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) \Leftrightarrow {m^2} + 3m = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 4\end{array} \right.$.

Vậy $m \in \left\{ { - 4;\,\,1} \right\}$.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.

Đáp án đúng là: A

Vì $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,CD$ nên $AN,\,\,DM$ là hai trung tuyến của tam giác $ACD.$

Gọi $G = AN \cap DM \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}G \in AN \subset \left( {ABN} \right)\\G \in DM \subset \left( {MBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow G \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right).$

Mà $B \in \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right).$

$\Rightarrow BG = \left( {MBD} \right) \cap \left( {ABN} \right)$ với $G$ là trọng tâm tam giác$ACD.$

Đáp án đúng là: A

Theo lý thuyết ta có: Hai đường thẳng song song $a$ và $b.$ Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.

Đáp án đúng là: C

Vì $I,\,\,J$ lần lượt là trung điểm $SA,\,\,SB$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAB,$ do đó $IJ\,{\rm{//}}\,AB$.

Tương tự, $EF$ cũng là đường trung bình của tam giác $SCD$ nên $EF\,{\rm{//}}\,CD.$

Mà $CD\,{\rm{// }}AB$ (đáy $ABCD$ là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng $AB,\,\,CD,\,\,EF,\,\,IJ$ đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng $IJ$ không song song với đường thẳng $AD.$

Đáp án đúng là: D

Vì $a{\rm{//}}\left( \alpha \right)$ nên tồn tại đường thẳng $c \subset \left( \alpha \right)$ thỏa mãn $a{\rm{//}}c.$ Suy ra $b,\,\,c$ đồng phẳng (cùng nằm trên $\left( \alpha \right)$) và xảy ra các trường hợp sau:

Nếu $b$ song song hoặc trùng với $c$ thì $a{\rm{//}}b.$

Nếu $b$ cắt $c$ thì $b$ cắt mặt phẳng $\left( \beta \right) = \left( {a,c} \right)$ (do $a{\rm{//}}c$ nên hai đường thẳng $a,\,\,c$ xác định lên một mặt phẳng). Suy ra $a,\,\,b$ không đồng phẳng. Do đó $a,\,\,b$ chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABD \Rightarrow \frac{{AG}}{{AM}} = \frac{2}{3}.$

Do $AQ = 2QB \Rightarrow \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.$

Từ các kết quả trên ta có: $\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{AQ}}{{AB}} = \frac{2}{3}.$

Nên theo định lí Thalés đảo trong tam giác $ABM$ ta có: $GQ{\rm{//}}BM.$

Mặt khác $BM \subset \left( {BCD} \right);\,\,GQ \not\subset \left( {BCD} \right).$

$\Rightarrow GQ{\rm{//}}\left( {BCD} \right).$

Đáp án đúng là: A

Trong $\left( {SBC} \right)$ gọi $N = CG \cap SB \Rightarrow N$ là trung điểm của $SB$ do $G$ là trọng tâm $\Delta SBC.$

Xét $\Delta SAB$ có: $I,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,SB.$

Suy ra $IN$ là đường trung bình của $\Delta SAB.$

$\Rightarrow IN{\rm{//AB//CD}}$ và $IN = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.2CD = CD.$

Do đó, $INCD$ là hình bình hành nên $DI{\rm{//}}CN.$

Mặt khác $CN \subset \left( {SBC} \right);\,\,DI \not\subset \left( {SBC} \right).$

$\Rightarrow DI{\rm{//}}\left( {SBC} \right).$

Vậy phương án $DI$ cắt $\left( {SBC} \right)$ là một khẳng định sai.

Đáp án đúng là: A

Theo hệ quả về hai mặt phẳng song song ta có: Nếu đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì có duy nhất một mặt phẳng $\left( \beta \right)$ chứa $a$ và song song với $\left( \alpha \right).$

Đáp án đúng là: B

Do $ABEF$ là hình bình hành nên $AF{\rm{//}}BE.$

Mà $BE \subset \left( {BCE} \right);\,\,AF \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right).$

Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AD{\rm{//}}BC.$

Mà $BC \subset \left( {BCE} \right);\,\,AD \not\subset \left( {BCE} \right) \Rightarrow AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right).$

Ta có: $AF{\rm{//}}\left( {BCE} \right);\,\,AD{\rm{//}}\left( {BCE} \right)$ và $AF \cap AD = A$ trong $\left( {ADF} \right).$

Suy ra $\left( {ADF} \right){\rm{//}}\left( {BCE} \right).$

Đáp án đúng là: B

Hình lăng trụ tam giác có tất cả 9 cạnh (6 cạnh ở hai mặt đáy và 3 cạnh bên).

Đáp án đúng là: D

Các phương án A, B, C đúng vì là các tính chất thừa nhận của hình hộp.

Phương án D sai là vì:

Xét hình hộp $ABCD.AB'C'D'$ có 4 đường chéo là $AC',\,\,A'C,\,\,B'D,\,\,BD'.$

Vì $ABCD.AB'C'D'$ là hình hộp nên $AA'{\rm{//}}CC';\,\,AA' = CC'.$

$\Rightarrow ACC'A'$ là hình bình hành.

Do đó không thể kết luận hai đường chéo $AC'$ và $A'C$ bằng nhau.

Vậy hình hộp có 4 đường chéo bằng nhau là sai vì chỉ khi là hình hộp chữ nhật hoặc hình lập phương thì 4 đường chéo của chúng mới bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Phương án B mang nội dung sai vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABC.A'B'C'$ hình lăng trụ nên $AB = A'B'$ và $AB{\rm{//}}A'B'.$

Mà $I,\,\,I'$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,A'B'.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right.$ nên $AIB'I'$ là hình bình hành.

$\Rightarrow AI'{\rm{//}}IB'$ và $AI' = IB'.$

Do đó, qua phép chiếu song song phương $AI',$ mặt phẳng chiếu $\left( {A'B'C'} \right)$ biến điểm $I$ thành điểm $B'.$

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

$$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {n + 1 - n} \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$$

$= \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt n \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + 1}} = \frac{1}{2}$.

b) Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5 - x} \right) = 5 - 2 = 3 > 0;$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{5 - x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left[ {\left( {5 - x} \right).\frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {5 - x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = + \infty .$

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt n \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$

a) Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC,\,\,BD.$

Xét $\Delta SBD$ có: $O,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $BD,\,\,SB.$

Suy ra $OM$ là đường trung bình của $\Delta SBD.$

$\Rightarrow OM//SD.$

Hơn nữa $SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).$

b) Trong $\left( {ABCD} \right)$ gọi $K = AN \cap CD.$

$$\Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.$$

Mà $AN \subset \left( {AMN} \right)$ và $CD \subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$ (1)

Vì $N$ là điểm trên cạnh $BC$ sao cho $BN = 2CN$ nên $MN$ không song song với $SC.$ Trong $\left( {SBC} \right)$ gọi $H = MN \cap SC.$

$\Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.$

Mà $MN \subset \left( {AMN} \right)$ và $SC \subset \left( {SCD} \right).$

$\Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).$

Gọi ba số cần tìm là ${u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}$ với ${u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0$.

Vì ${u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}$ tạo thành cấp số cộng với công sai $d \ne 0$ nên ${u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d$.

Hơn nữa, ${u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2$.

Lại có ${u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}$ tạo thành cấp số nhân hay ${u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d$ tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}$ $\Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2$

$\Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2$$\Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.$.

Với ${u_1} = 2$, suy ra $d = 0$: không thỏa mãn.

Với ${u_1} = - 4$, suy ra $d = 6$. Vậy ba số cần tìm là $- 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8$.