Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là: C

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow \tan \alpha = \pm \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} = \pm \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}.$

Do $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \tan \alpha < 0 \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}.$

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:

$B = \cos \frac{{3\alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} - \frac{\alpha }{2}} \right)} \right]$

$= \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos \alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1 + \cos \alpha } \right)$

$= \frac{1}{2}\left[ {2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} - 1 + \frac{2}{3}} \right] = \frac{5}{{18}}.$

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi $\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0$$\Leftrightarrow x + \frac{{2\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi$$\Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}$.

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {0;1} \right)$ nên thay $x = 0;\,\,y = 1$ vào các hàm số ta loại hàm số ở phương án B vì $\sin 0 = 1$ (vô lí).

Hàm số không đạt giá trị bằng 2 tại $x = \frac{\pi }{2}$ hay $x = - \frac{\pi }{2}$, nên loại phương án A, C.

Do đó, hàm số cần tìm là $y = \cos x.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\cos x = \cos \frac{\pi }{3}$$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_n} = \sqrt {5n + 2}$ ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} - \sqrt {5n + 2}$$= \sqrt {5n + 7} - \sqrt {5n + 2} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

$\Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: D

Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số cộng nên ${u_6} = {u_1} + 5d$$\Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d$$\Leftrightarrow d = 6$.

Đáp án đúng là: D

Đáp án đúng là: B

Vì $3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;...$ là cấp số nhân nên ${u_1} = 3;\,\,q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3$.

Do đó ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 3 \cdot {3^{n - 1}} = {3.3^n}{.3^{ - 1}} = {3^n}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có ${u_7} = {u_1}{q^6}$$= {u_1}{q^3}{q^3}$$= {u_4}{q^3}$ (vì ${u_4} = {u_1}{q^3}$).

Đáp án đúng là: C

Đáp án đúng là: C

Nếu $\left| q \right| < 1$ thì $\lim {q^n} = 0.$

Nếu $q > 1$ thì $\lim {q^n} = + \infty .$

Nếu $\lim {u_n} = a;\,\,\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty$ thì $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0.$

Phát biểu A, B, D đúng:

Vì $\left| {\frac{2}{3}} \right| = \frac{2}{3} < 1 \Rightarrow \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0;$

Vì $\left| { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow \lim {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 0;$

Vì $\lim 4 = 4;\,\,\lim {\left( {\sqrt 3 } \right)^n} = + \infty$ (do $\sqrt 3 > 1$) nên $\lim \frac{4}{{{{(\sqrt 3 )}^n}}} = \frac{{\lim 4}}{{\lim {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^n}}} = 0.$

Phát biểu C sai vì $\left| {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right| = \frac{2}{{\sqrt 3 }} > 1$ nên $\lim {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^n} = + \infty .$

Đáp án đúng là: D

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$ mà $x \to {1^ + }$ nên $x - 1 > 0$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty$.

Đáp án đúng là: C

Theo định nghĩa, ta có hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục $\left( {a;b} \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)$.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}.$

Điều kiện xác định ${x^2} + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 4$ (luôn đúng vì ${x^2} \ge 0$).

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ là $D = \mathbb{R}.$

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}$ là hàm phân thức nên hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

Đáp án đúng là: D

Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, kẻ $IJ \cap CD = F.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in IJ \subset \left( {AIJ} \right)\\F \in CD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right).$

Mặt khác $A \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right).$

Vậy $\left( {ABCD} \right) \cap \left( {AIJ} \right) = AF.$

Đáp án đúng là: C

Phương án C đúng vì: hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.

Phương án A sai vì: hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau.

Phương án B sai vì: hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau.

Phương án D sai vì: hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì có thể song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Vì $I,\,\,J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $SAC.$

Do đó $IJ{\rm{//}}AC$.

Đáp án đúng là: D

Phương án A, B, C sai vì có thể đường thẳng $a$ nằm trong $\left( \alpha \right).$

Phương án D đúng vì theo định nghĩa thì đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung tức là $a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset .$

Đáp án đúng là: D

Vì $M,\,N$ lần lượt là hai điểm thuộc $AB,\,\,AC$ sao cho $AM = 2BM;\,\,CN = \frac{1}{3}AC.$

$\Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}.$

Nên theo định lí Thalès đảo trong $\Delta ABC$ ta có $MN{\rm{//}}BC$ mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$ nên $MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)$.

Tương tự ta cũng có: $MP{\rm{//}}BD$ mà $BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {BCD} \right).$

Hơn nữa $MN \cap MP = M$ trong $\left( {MNP} \right).$

Dó đó $\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {BCD} \right).$

Đáp án đúng là: A

Phương án B, D đúng vì: Nếu $\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)$ thì mọi đường thẳng nằm trên một trong hai mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng còn lại.

Phương án C đúng vì: Nếu $\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)$ mà $a \subset \left( P \right)$; $b \subset \left( Q \right)$ khi đó hai đường thẳng $a,\,\,b$ không có điểm chung nên hai đường thẳng $a,\,\,b$ hoặc song song hoặc chéo nhau.

Phương án A sai vì: Nếu $\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)$ thì $a$ và $b$ có thể chéo nhau.

Đáp án đúng là: B

Phương án A, C, D đúng:

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp nên hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.

$\Rightarrow \left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right);\,\,\left( {AA'D'D} \right){\rm{//}}\left( {BB'C'C} \right)$ và $\left( {ABB'A'} \right){\rm{//}}\left( {DCC'D'} \right).$

Phương án B sai:

Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\\O \in BD \subset \left( {DBB'D'} \right)\end{array} \right..$

$\Rightarrow O \in \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {DBB'D'} \right).$

Như vậy, hai mặt phẳng $\left( {ACC'A'} \right)$ và $\left( {DBB'D'} \right)$ không song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Vì vậy, hình chiếu của hình thoi không thể là hình thang.

Đáp án đúng là: C

Gọi $E$ là trung điểm của $BC.$

Trong $\left( {AED} \right)$ kẻ $GG'{\rm{//}}AD$ ($G' \in AD$).

Khi đó $G'$ là hình chiếu song song của điểm $G$ trên $\left( {BCD} \right).$

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}.$

Áp dụng định lý Thalès trong tam giác $EAD$ với $GG'{\rm{//}}AD$ ta có:

$\frac{{DG'}}{{DE}} = \frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}.$

Xét tam giác $BCD$ có: $DE$ là đường trung tuyến và $G' \in DE$ thỏa mãn $\frac{{DG'}}{{DE}} = \frac{2}{3}.$

Suy ra $G'$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$

Vậy hình chiếu song song của điểm $G$ trên $\left( {BCD} \right)$ theo phương chiếu $AD$ là trọng tâm của tam giác $BCD.$

a) Ta có: ${\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}}.$

Do đó: $P = {\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 4.\frac{{15}}{{16}}.{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{64}}.$

b) $\cos 2x - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} - x + k2\pi \\2x = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).$$

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = {u_n} - 3 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 3$ là một số không đổi nên $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai là $d = - 3.$

Do đó, ${u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d = 2 + \left( {5 - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 10.$

b) Tổng độ dài các cạnh nằm trên tia $Ax$ của các hình vuông đó là:

$S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....$

Dãy số $10;\,\,5;\,\,\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{{{2^2}}};...\,\,$là một cấp số nhân lùi vô hạn với ${u_1} = 10;\,q = \frac{1}{2}$.

Do đó ta có $S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + .... = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20$ (cm).

Vậy trên tia $Ax$ cần có một đoạn thẳng dài 20 centimét.

a) Xét tam giác $SDC$ có: $P,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SD,\,\,CD.$

Suy ra $NP$ là đường trung bình của tam giác $SCD$ nên $NP{\rm{//}}SC.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).$

b) Gọi $I = AC \cap MN.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right).$

Mặt khác: $NP{\rm{//}}SC$ và $NP \subset \left( {MNP} \right);\,\,SC \subset \left( {SAC} \right).$

$\Rightarrow d = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right)$ với $d$ đi qua $I$ và song song với $SC,\,\,NP.$

Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $Q = d \cap SA.$

$\Rightarrow Q \in d \subset \left( {MNP} \right).$

Suy ra $Q = SA \cap \left( {MNP} \right).$

Vì $d{\rm{//}}SC \Rightarrow QI{\rm{//}}SC$ (do $d{\rm{//}}SC$).

Áp dụng định lí Thalès trong tam giác $SAC$ với $QI{\rm{//}}SC$ ta có $\frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}.$

Xét tam giác $BCD$ có: $N,\,\,M$ lần lượt là trung điểm của $CD,\,\,BC.$

Suy ra $NM$ là đường trung bình của tam giác $BCD$ nên $NM{\rm{//}}BD.$

Xét tam giác $DOC$ có: $N$ là trung điểm của $CD$ và $NI{\rm{//}}DO$ (do $NM{\rm{//}}BD$).

Suy ra $I$ là trung điểm của $CO.$

Suy ra $CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}$.