Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đảo của mệnh đề “Nếu hình thang $ABCD$ có $AC = BD$ thì hình thang $ABCD$ cân” là mệnh đề “Nếu hình thang $ABCD$ cân thì hình thang $ABCD$ có $AC = BD$”.

Đáp án đúng là: B

Vì $n \in \mathbb{N}$ nên ta xét lần lượt các số tự nhiên $n$ như sau:

+ Với $n = 0$, ta có $x = 10 - {0^2} = 10$.

+ Với $n = 1$, ta có $x = 10 - {1^2} = 9$.

+ Với $n = 2$, ta có $x = 10 - {2^2} = 6$.

+ Với $n = 3$, ta có $x = 10 - {3^2} = 1$.

+ Với $n = 4$, ta có $x = 10 - {4^2} = - 6$.

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của $x$ tiếp theo là số nguyên âm, mà$x \in \mathbb{N}$, do đó các giá trị $x$ thỏa mãn tập hợp $E$ là 10, 9, 6, 1.

Vậy tập hợp $E$ có 4 phần tử.

Đáp án đúng là: C

Ta có $A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cap \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 2;\,\,1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b$.

Từ hình vẽ ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {8;\,\,0} \right)$ và $\left( {0;\,4} \right)$.

Khi đó ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 = 8a + b\\4 = 0 \cdot a + b\end{array} \right.$. Giải hệ ta được $a = - \frac{1}{2},\,\,b = 4$.

Do đó, đường thẳng $d$: $y = - \frac{1}{2}x + 4$ hay $d:x + 2y = 8$.

Ta có điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ thuộc nửa mặt phẳng không bị gạch và $0 + 2 \cdot 0 = 0 < 8$.

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng $d$) ở hình trên là miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 8$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) = 8 > 2$ nên cặp số $\left( {1;\,\, - 2} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y \le 2\\ - x + y \ge - 1\end{array} \right.$. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

+ Đáp án A: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, nên đáp án A đúng.

+ Đáp án B: $\cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2},\,\sin 135^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \cos 45^\circ = \sin 135^\circ$, nên đáp án B đúng.

+ Đáp án C: $\cos 30^\circ = \cos \left( {180^\circ - 150^\circ } \right) = - \cos 150^\circ$ (hai góc bù nhau), nên đáp án C đúng.

+ Đáp án D: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2},\,\cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \sin 30^\circ \ne \cos 150^\circ$, nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong $\Delta ABC$ ta có:

$\cos C = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{9^2} + {4^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 4}} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Vectơ có điểm cuối là $M$, điểm đầu là $N$ được kí hiệu là $\overrightarrow {NM}$.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$ , do đó đáp án A sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC}$ (với điểm $D$ thỏa mãn $ABDC$ là hình bình hành), do đó đáp án B sai.

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB}$, do đó đáp án C đúng.

+) $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BA}$ (vô lí do $A,\,\,B,\,\,C$ phân biệt), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Xét hình bình hành $ABCD$ có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AM} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \Leftrightarrow AM = AC$.

Do $A,\,\,C$ cố định nên $AC$ cố định là một số thực.

Vậy $M$ là điểm thuộc đường tròn tâm $A$ bán kính $AC$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $GA = 2GI$, $IG = \frac{1}{3}IA$.

Mặt khác hai vectơ $\overrightarrow {GA}$ và $\overrightarrow {GI}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GI}$, do đó đáp án A sai.

Lại có hai vectơ $\overrightarrow {IG}$ và $\overrightarrow {IA}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {IG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {IA}$, do đó đáp án B sai.

Vì $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$ nên $\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$.

Ta có: $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GI} + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI} + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) = 2\overrightarrow {GI}$, do đó đáp án C đúng.

Ta có: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA}$ (do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$), do đó đáp án D sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA} + 2\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = 0$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {AB} + 3\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 1;\, - 6 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;\,\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là: A

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + 4 + x}}{3} = 2x\\\frac{{3 + \left( { - 2} \right) + \left( {y - 1} \right)}}{3} = y + 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 + x = 6x\\y = 3y + 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 3\end{array} \right.$.

Vậy $x = 1;\,\,y = - 3$.

Đáp án đúng là: B

Vì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 5 \cdot 3 \cdot \cos 0^\circ = 15$.

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2m - 3\left( {m - 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow - m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 6$.

Đáp án đúng là: B

Vì hàng lớn nhất của độ chính xác $d = 0{,}001$ là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn $a$ đến hàng phần trăm.

Vậy số quy tròn của số $a$ là 1,26.

Đáp án đúng là: B

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu là số ở vị trí thứ 5 nên ${M_e} = 7$.

Đáp án đúng là: A

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 95, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 30.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 95 - 30 = 65$.

Đáp án đúng là: B

Phương sai của mẫu số liệu đã cho là ${s^2} = {\left( {2{,}5} \right)^2} = 6{,}25$.

Gọi $A,\,B,\,\,C$ lần lượt là vị trí trạm quan sát tại Hà Nội, tại Điện Biên và vị trí vệ tinh khi nằm giữa hai trạm trên. Khi đó ta có $\widehat A = 40^\circ ,\,\widehat B = 85^\circ ,\,AB = 487$ km.

Khoảng cách giữa vệ tinh và trạm quan sát Điện Biên lúc này chính là độ dài $BC$.

Tam giác $ABC$ có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, suy ra $\widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {40^\circ + 85^\circ } \right) = 55^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{487 \cdot \sin 40^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 382{,}15$ (km).

Vậy vệ tinh cách trạm quan sát Điện Biên khoảng 382,15 km.

Do $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0\\\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\end{array} \right.{\rm{ }}\left( * \right)$

Giả sử $H\left( {a;\,\,b} \right)$, khi đó: $\overrightarrow {AH} = \left( {a - 1;b - 2} \right),\overrightarrow {BH} = \left( {a + 1;b + 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 3} \right)$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 1} \right).3 + \left( {b - 2} \right).0 = 0\\\left( {a + 1} \right).1 + \left( {b + 1} \right).\left( { - 3} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\a + 1 - 3b - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\ - 3b - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - \frac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy, $H\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)$.

Theo giả thiết: $\frac{{AD}}{{DB}} = \frac{3}{2} \Rightarrow \overrightarrow {AD} = \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \,\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\frac{{BE}}{{EC}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {BE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó, $\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 2 \right)$

Ta có: $\frac{{BF}}{{FC}} = \frac{4}{1} \Rightarrow \overrightarrow {BF} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC}$

Khi đó, $\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\left( 3 \right)$

Mà $A,\,\,K,\,E$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {AK} = m\overrightarrow {AE} \,\,\left( 4 \right)$

$D,\,K,\,F$ thẳng hàng nên $\overrightarrow {DK} = n\overrightarrow {DF}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AK} = n\left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AF} } \right)$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AK} = n\overrightarrow {AF} + \left( {1 - n} \right)\overrightarrow {AD} \,\,\,\left( 5 \right)$$

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 4 \right)$ suy ra: $\overrightarrow {AK} = \frac{3}{4}m\overrightarrow {AB} + \frac{1}{4}m\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 6 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 3 \right)$ và $\left( 5 \right)$ suy ra: $\overrightarrow {AK} = n\left[ {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right] + \left( {1 - n} \right)\frac{3}{5}\overrightarrow {AB}$

$$\Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( {\frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}} \right)\overrightarrow {AB} + \frac{{4n}}{5}\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( 7 \right)$$

Do hai vectơ $\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương nên từ $\left( 6 \right)$,$\left( 7 \right)$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3m}}{4} = \frac{3}{5} - \frac{{2n}}{5}\\\frac{m}{4} = \frac{{4n}}{5}\end{array} \right.$

$$\Rightarrow \frac{1}{5} - \frac{{2n}}{{15}} = \frac{{4n}}{5} \Leftrightarrow n = \frac{3}{{14}}$$

Suy ra $\overrightarrow {DK} = \frac{3}{{14}}\overrightarrow {DF} \Rightarrow \frac{{DK}}{{DF}} = \frac{3}{{14}} \Rightarrow \frac{{KD}}{{KF}} = k = \frac{3}{{11}}$.

Vậy $k = \frac{3}{{11}}$.

a) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

0,5 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,1 2,2 2,4.

+ Khối lượng trung bình của gà ri trống trưởng thành là

$\overline X = \frac{{0{,}5 + 1{,}8 \cdot 2 + 1{,}9 \cdot 3 + 2{,}0 + 2{,}1 + 2{,}2 + 2{,}4}}{{10}} = 1{,}85$.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 2{,}4 - 0{,}5 = 1{,}9$.

+ Vì mẫu có 10 số liệu nên trung vị hay tứ phân vị thứ hai là trung bình cộng của số ở vị trí thứ 5 và 6. Do đó, ${Q_2} = \frac{{1{,}9 + 1{,}9}}{2} = 1{,}9$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0,5 1,8 1,8 1,9 1,9. Do đó, ${Q_1} = 1{,}8$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 1,9 2,0 2,1 2,2 2,4. Do đó, ${Q_3} = 2{,}1$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 2{,}1 - 1{,}8 = 0{,}3$.

+ Phương sai mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{{{\left( {0{,}5 - 1{,}85} \right)}^2} + 2 \cdot {{\left( {1{,}8 - 1{,}85} \right)}^2} + ... + {{\left( {2{,}4 - 1{,}85} \right)}^2}}}{{10}} = 0{,}2345$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {0{,}2345} \approx 0{,}4843$.

b) Ta có: ${Q_1} - 1{,}5{\Delta _Q} = 1{,}8 - 1{,}5 \cdot 0{,}3 = 1{,}35$, ${Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q} = 2{,}1 + 1{,}5 \cdot 0{,}3 = 2{,}55$.

Mẫu số liệu đã cho có số liệu 0,5 < 1,35.

Vậy mẫu số liệu có giá trị bất thường là 0,5.