Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: C

Câu (a) là mệnh đề vì nó là câu khẳng định đúng.

Câu (b) không phải là mệnh đề vì nó không phải câu khẳng định mà là câu cầu khiến.

Câu (c) không phải là mệnh đề vì nó không thể xác định được tính đúng hay sai do tính đúng hay sai phụ thuộc vào giá trị của $x$.

Câu (d) không phải là mệnh đề vì nó không phải câu khẳng định mà là câu hỏi.

Vậy có 3 câu không phải là mệnh đề.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$

Do $x = 2 \in \mathbb{N}$ nên $A = \left\{ 2 \right\}$. Vậy các tập con của $A$ là: $\left\{ 2 \right\}$, $\emptyset$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$.

Do $x = \pm 2 \in \mathbb{Z}$ nên $A = \left\{ { - 2;2} \right\}$.

Mặt khác, $B = \left\{ {0 \le x < 10|x \vdots 2} \right\} = \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}$.

Vậy $A \cap B = \left\{ 2 \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Xét đường thẳng $d:x + y = 2$ là đường thẳng đi qua hai điểm $\left( {0;2} \right)$ và $\left( {2;0} \right)$.

Xét điểm $\left( {0;0} \right)$ có $0 + 0 = 0 \le 2$.

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 2$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d$ (kể cả bờ) và chứa điểm $\left( {0;0} \right)$.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 2$ là phần tô đậm trong hình vẽ của hình vẽ:

Đáp án đúng là: C

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn sẽ có dạng tổng quát như sau: $ax + by \le c$ ($ax + by \ge c$; $ax + by > c$; $ax + by < c$) với $a$, $b$ không đồng thời bằng không.

Do đó, trong các phương trình trên chỉ có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y > 4\\2x - y \le - 2\end{array} \right.$ là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: D

Cho góc $\alpha$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$.

Đối với hai góc bù nhau ta có: $\sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\tan \alpha = \tan 60^\circ = \sqrt 3$.

Đáp án đúng là: B

Cho góc $\alpha \ne 90^\circ$ với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$, biết $\tan \alpha = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Đối với hai góc bù nhau ta có: $\tan (180^\circ - \alpha ) = - \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos \widehat {ABC}$

Thay số $AB = 3\,cm$, $BC = 4\,cm$, $\widehat {ABC} = 60^\circ$ ta có:

$A{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos 60^\circ = 13$

Do $AC$ > 0 nên $AC = \sqrt {13}$cm.

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ được gọi là cùng phương khi giá của 2 vectơ đó song song hoặc trùng với nhau.

Đáp án đúng là: C

Từ hình vẽ, ta thấy $AB\,{\rm{//}}\,EF$.

Do đó, $\overrightarrow {EF}$ và $\overrightarrow {AB}$ cùng phương.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm $A$, $B$, $C$ ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: C

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành $ABCD$, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA}$, $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB}$.

Lại có: $\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD}$, do đó $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD}$.

Vậy khẳng định $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD}$ là sai.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $B$

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {3^2} + {5^2} = 34$.

Mà $AC > 0$nên $AC = \sqrt {34}$.

Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = \sqrt {34}$.

Đáp án đúng là: C

Do tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

Với điểm $M$ bất kì, ta có:

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}$

$= \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC}$

$= \overrightarrow {3MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right)$

$= \overrightarrow {3MG} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow {3MG}$

Vậy $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {3MG}$.

Đáp án đúng là: D

$\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$, $k \ne 0$ thì $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

Ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$, $k \ne 0$. Như vậy khẳng định D sai vì thiếu yếu tố $k \ne 0$.

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy,$MP = \frac{3}{2}PN$ và vectơ $\overrightarrow {MP}$ cùng phương với $\overrightarrow {PN}$.

Vậy $\overrightarrow {MP} = \frac{3}{2}\overrightarrow {PN}$.

Đáp án đúng là: D

Do $BM$ là trung tuyến nên ta có:

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} = 2\overrightarrow {BM} \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$

Do $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có:

$\overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} \Rightarrow \overrightarrow {BG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3;\,\,4} \right)$và $B\left( {3;\,\,7} \right)$.

Khi đó, tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Đáp án đúng là: A

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác vectơ $\overrightarrow 0$. Tích vô hướng của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số, được ký hiệu là $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ và xác định bởi công thức: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác vectơ $\overrightarrow 0$. Nếu $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc thì $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=90^{\circ}\Rightarrow cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=0$

Vậy $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot 0 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ đều có: $\widehat {BAC} = 60^\circ$

Mà $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {3;4} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {0;2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = 8$.

Đáp án đúng là: D

Số quy tròn đến hàng chục của 8 217,3 là 8 220.

Sai số tuyệt đối là: $\Delta = \left| {8217{,}3 - 8220} \right| = 2{,}7$.

Đáp án đúng là: A

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 1,2564 đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của $l$ là 1,26.

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm có $n = 9$ (số liệu).

Do đo, trung vị của mẫu số liệu trên là 5 (giá trị ở chính giữa).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overline x = \frac{{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 18 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1}}{{40}} = 6{,}1$.

Vậy điểm trung bình của 40 học sinh trên gần nhất với giá trị 6.

Đáp án đúng là: C

Mốt của mẫu số liệu trên là 5 (do nó có tần số xuất hiện lớn nhất là 3 lần).

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu thành một dãy không giảm ta có:

13,0; 15,5; 18,8; 27,5; 30,2.

Ta có: $n = 5$

Tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ là: 18,8.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của dãy số liệu: 13,0; 15,5. Tức là: ${Q_1} = \left( {13{,}0 + 15{,}5} \right):2 = 14{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của dãy số liệu: 27,5; 30,2. Tức là: ${Q_3} = \left( {27{,}5 + 30{,}2} \right):2 = 28{,}85$.

Đáp án đúng là: A

Xét mẫu thứ nhất là: $\left\{ {2;3;4;2;1;4;5} \right\}$.

Ta có: ${x_{1\min }} = 1$; ${x_{1max}} = 5$. Khoảng biến thiên là: ${R_1} = 5 - 1 = 4$.

Xét mẫu thứ hai là: $\left\{ {2;0;1;2;1;2;3} \right\}$.

Ta có: ${x_{2\min }} = 0$; ${x_{2max}} = 3$. Khoảng biến thiên là: ${R_2} = 3 - 0 = 3$.

Vì ${R_1} > {R_2}$ nên mẫu số liệu thứ nhất có độ phân tán cao hơn mẫu số liệu thứ hai.

Đáp án đúng là: C

Xét dãy số liệu: 6,5; 8,4; 6,9; 7,2; 2,5; 6,7; 3,0.

Ta có: ${x_{\min }} = 2{,}5$; ${x_{max}} = 8{,}4$.

Do đó, ta có khoảng biến thiên: $R = 8{,}4 - 2{,}5 = 5{,}9$ (triệu đồng).

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được

7 7 7 8 8 8 9 9 9.

Mẫu số liệu có $n = 9$.

Trung vị của mẫu số liệu bằng tứ phân vị thứ hai nên ${Q_2} = 8$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy 7; 7; 7; 8. Do đó, ${Q_1} = \frac{{7 + 7}}{2} = 7$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy 8; 9; 9; 9. Do đó, ${Q_3} = \frac{{9 + 9}}{2} = 9$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 7 = 2$.

Đáp án đúng là: D

Ta có số trung bình cộng:

$\overline x = \frac{{9 \cdot 3 + 11 \cdot 6 + 14 \cdot 4 + 16 \cdot 4 + 17 \cdot 6 + 18 \cdot 7 + 20 \cdot 3 + 21 \cdot 4 + 23 \cdot 2 + 25 \cdot 2}}{{41}} \approx 16{,}61$.

Phương sai của mẫu số liệu là

${s^2} = \frac{{{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {n_n}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}}}{n}$

$\approx \frac{{3{{\left( {9 - 16{,}61} \right)}^2} + 6 \cdot {{\left( {11 - 16{,}61} \right)}^2} + ... + 2 \cdot {{\left( {25 - 16{,}61} \right)}^2}}}{{41}}$

$\approx 18{,}04$.

Kí hiệu như hình vẽ trên.

Sau 2 giờ, tàu $B$ chạy được 48 hải lí, tàu $C$ chạy được 36 hải lí.

Hay $AB = 48$ hải lí, $AC = 36$ hải lí.

Xét tam giác $ABC$, áp dụng định lí côsin ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos \widehat {BAC}$

$= {36^2} + {48^2} - 2 \cdot 36 \cdot 48 \cdot \cos 45^\circ \approx 1156{,}24$

Do $BC > 0$ nên $BC = \sqrt {1156{,}24} \approx 34$ hải lí.

Vậy sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng 34 hải lí.

Gọi $AN$ là đường trung tuyến của tam giác $ABC$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABN$ và hệ quả của định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{N^2} = B{A^2} + B{N^2} - 2BA \cdot BN \cdot \cos B$

$= A{B^2} + B{N^2} - 2AB \cdot BN \cdot \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}}$

$= A{B^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{2}$

$= \frac{{2A{B^2} + 2A{C^2} - B{C^2}}}{4}$.

Gọi độ dài của $AN = {m_a}$.

Khi đó ta có:$4{m_a}^2 = 2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2} \Rightarrow 2\left( {{b^2} + {c^2} + {a^2}} \right) = 4{m_a}^2 + 3{a^2} \ge 4\sqrt 3 a{m_a}$ (bất đẳng thức Cô-si)

$\Rightarrow a{m_a} \le \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, khi đó:

$\frac{{MA}}{a} = \frac{{MA \cdot GA}}{{a \cdot GA}} \ge \frac{{\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {GA} }}{{\frac{2}{3} \cdot \frac{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}{{2\sqrt 3 }}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} } \right) \cdot \overrightarrow {GA}$

$= \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GA} + G{A^2}} \right)$.

Tương tự ta có:

$\frac{{MB}}{b} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GB} + G{B^2}} \right)$;

$\frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left( {\overrightarrow {MG} \cdot \overrightarrow {GC} + G{C^2}} \right)$.

Từ đó, suy ra:

$\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {\overrightarrow {MG} \cdot \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right]$.

Lại có, $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ và $G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} = \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$.

Do đó, $\frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c} \ge \frac{{3\sqrt 3 }}{{{b^2} + {c^2} + {a^2}}}\left[ {0 + \frac{1}{3}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] = \sqrt 3$.

Dấu “=” xảy ra khi tam giác $ABC$ đều đồng thời $M$ trùng với trọng tâm của tam giác $ABC$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{MA}}{a} + \frac{{MB}}{b} + \frac{{MC}}{c}$ là $\sqrt 3$.

Mẫu số liệu có 8 số liệu.

Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Các tứ phân vị là:

Tứ phân vị thứ hai là: ${Q_2} = \left( {14 + 23} \right):2 = 18{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu 6; 7; 8; 14.

Do đó, ${Q_1} = \left( {7 + 8} \right):2 = 7{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu 23; 34; 65; 120.

Do đó, ${Q_3} = \left( {34 + 65} \right):2 = 49{,}5$.

Khoảng tứ phân vị là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 49{,}5 - 7{,}5 = 42$.

Ta có:

${Q_1} - \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 7{,}5 - \frac{3}{2}.42 = - 55{,}5$;

${Q_3} + \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 49{,}5 + \frac{3}{2}.42 = 112{,}5$.

Vậy giá trị bất thường của mẫu số liệu là 120 (do lớn hơn 112,5).