Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Câu “$\sqrt 2$là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Câu “$5 + 3 < 7$” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Câu “$100$ tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$$

Mà $2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}$ nên $B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}$.

Vậy số phần tử của tập $P \cup Q$ là $10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chọn $x = 0 \Rightarrow y = 2$

Chọn$y = 0 \Rightarrow x = 2$

$\Rightarrow$Đường thẳng $x + y = 2$ đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0;\,2} \right)$và $\left( {2;\,0} \right)$.

Lấy $O\left( {0;\,0} \right)$ có: $0 + 0 = 0 < 2$ nên điểm $O$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho, do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $x + y = 2$ không chứa điểm $O$ và kể cả bờ.

Vì vậy hình vẽ A là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$0 + 3.1--2 = 1 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

$2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $M\left( {0;\,1} \right)$ không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Tương tự, thay $x = - 1$ và $y = 1$ ta được:

$- 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0$là mệnh đề đúng.

$2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0$ là mệnh đề đúng.

Điểm $N\left( { - 1;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 1$ và $y = 3$ ta được:

$1 + 3.3--2 = 8 \ge 0$ là mệnh đề đúng.

$2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0$ là mệnh đề sai.

Điểm $P\left( {1;\,3} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 0$ ta được:

$- 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0$ là mệnh đề sai.

$2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0$ là mệnh đề đúng.

Điểm $Q\left( { - 1;\,0} \right)$ không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đồ thị hàm số là parabol úp xuống dưới nên có $a < 0$.

Điểm đỉnh của đồ thị hàm số nằm bên phải trục tung nên có hoành độ dương hay $- \frac{b}{{2a}} > 0$ mà $a < 0$ nên $b > 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0$.

Vậy $a < 0,b > 0,c > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ tại $x = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên $\left( {0;\,1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ne - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ne {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trục đối xứng của hàm số bậc hai là $x = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số bậc hai là $y = {x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số $y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hàm số là hàm bậc hai và đạt giá trị lớn nhất thì

+) $m + 2 > 0 \Leftrightarrow m > - 2$

+) $- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{{0^2} - 4.\left( {m + 2} \right).\left( {2m + 1} \right)}}{{4.\left( {m + 2} \right)}} = 1$

$\Leftrightarrow 4\left( {2{m^2} + 5m + 2} \right) = 4\left( {m + 2} \right)$

$\Leftrightarrow 2{m^2} + 5m + 2 = m + 2$

$\Leftrightarrow 2{m^2} + 4m = 0$

$\Leftrightarrow 2m\left( {m + 2} \right) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.$

Vậy với $m = 0$ thì hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\rm{sin45}}^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$ ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} \Leftrightarrow \sin A = \frac{{BC.\sin B}}{{AC}} = \frac{{5.\sin 18^\circ }}{2} \approx 0{,}77$.

⇒ $\widehat A \approx 50^\circ 35'$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Sau hai giờ tàu $B$ đi được $40$ hải lí, tàu $C$ đi được $30$ hải lí. Vậy tam giác $ABC$ có $AB = 40,\,AC = 30$ và $\widehat A = 60^\circ$.

Áp dụng định lí côsin vào tam giác $ABC$, ta có:

$${a^2} = {b^2} + {c^2}--2bc.cosA = {30^2} + {40^2}--2.30.40.cos60^\circ = 1300$$

Vậy $BC = \sqrt {1300} \approx 36$ (hải lí).

Sau hai giờ, hai tàu cách nhau khoảng $36$ hải lí.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ (tính chất hình bình hành).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {CD}$ cùng phương nhưng ngược hướng. Do đó C đúng và B sai.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DC}$ cùng hướng. Do đó D sai.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BC}$ không cùng phương. Do đó A sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hình chữ nhật $MNPQ$ có hai đường chéo có độ dài đường chéo là $\sqrt {{8^2} + {6^2}} = 10\,\,cm$.

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $MP$ và $NQ$.

Khi đó $OM = OP = ON = OQ = \frac{1}{2}.10 = 5\,\,cm$.

Vì vậy có 8 vectơ là: $\overrightarrow {OM} ,\,\,\overrightarrow {OP} ,\,\,\overrightarrow {ON} ,\,\,\overrightarrow {OQ} ,\,\,\overrightarrow {MO} ,\,\,\overrightarrow {PO} ,\,\,\overrightarrow {NO} ,\,\,\overrightarrow {QO}$ có độ dài bằng $5\,\,cm$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành:

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MQ} \ne \overrightarrow {NP}$ (với $Q$ là điểm thỏa mãn $MNQP$ là hình bình hành). Do đó A sai.

+) Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PM} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP}$. Do đó B sai.

$\overrightarrow {NM} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NM} = \overrightarrow {PM}$. Do đó C đúng.

+) Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:

$\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {PN} \ne \overrightarrow {NP}$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng, hiệu hai vectơ là một vectơ. Do đó A sai, B đúng.

Hai vectơ đối nhau là hai vectơ có tổng bằng vectơ không. Do đó C sai

Từ hiệu hai vectơ có thể chuyển về tổng hai vectơ. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} = (\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) + (\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} ) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ có $AB = BC$ nên tam giác $ABC$ cân tại $B$ mà $\widehat {ABC} = 60^\circ$. Do đó tam giác $ABC$ đều

Suy ra $AB = BC = AC = a$

Ta có: $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ba điểm $A,\,B,\,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$;

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PQ}$ cùng phương.

Lại có vectơ $\overrightarrow {MN}$ có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ $\overrightarrow {PQ}$ có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PQ}$ ngược hướng. Mà $MN = 2PQ$.

Vậy $\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB}$$\Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

Vậy $\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là D

+) Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD hay OA ⊥ OB nên $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0$. Do đó A đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.\cos \widehat {BAC}$

$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = AC.AD.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right) = AC.AD.cos\widehat {DAC}$

Mà $\widehat {BAC} = \widehat {DAC}$(tính chất hình vuông) nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$. Do đó B đúng.

+) Ta có: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = OA.OC.cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OC} } \right) = OA.\frac{1}{2}AC.cos\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC}$. Do đó C đúng.

+) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \ne AB.CD.c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

$AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = AM.BC.cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 3 .cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{{a^2}}}{2}$$\Leftrightarrow cos\left( {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABM$, có:

$A{B^2} = A{M^2} + B{M^2} - 2.AM.BM.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

$\Leftrightarrow A{B^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow A{B^2} = {a^2}$

$\Leftrightarrow AB = a$

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABC$, ta được:

$A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = 3{a^2} - {a^2} = 2{a^2}$

$\Leftrightarrow AC = a\sqrt 2$

Vậy $AB = a$ và $AC = a\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số gần đúng là $3\,\,260\,\,km$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $3{,}194 \le x \le 3{,}234$ và $9{,}864 \le y \le 9{,}964$

Khi đó chu vi $\overline C = 2\left( {x + y} \right)$ của hình chữ nhật nằm trong khoảng: $26{,}116 \le \overline C \le 26{,}396$

Suy ra $26{,}256 - 0{,}14 \le \overline C \le 26{,}256 + 0{,}14$ hay $\overline C = 26{,}256 \pm 0{,}14$.

Ta có độ chính xác là $d = 0{,}14$.

Suy ra sai số tuyệt đối của $C$ là: ${\Delta _C} \le 0{,}14$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSCL chiếm $35\%$ cả nước, sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSH chiếm $5\%$ cả nước nên sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSCL gấp $7$ lần sản lượng cá biển khai thác ở ĐBSH. Vì vậy A sai.

+) Sản lượng tôm nuôi ở ĐBSH chiếm khoảng $2\%$ cả nước. Vì vậy B sai.

+) Sản lượng cá nuôi ở ĐBSCL chiếm 70% cả nước, sản lượng cá nuôi ở ĐBSH chiếm $15\%$ cả nước nên sản lượng cá nuôi ở ĐBSCL gấp gần $5$ lần sản lượng cá nuôi ở ĐBSH. Vì vậy C đúng.

+) Sản lượng tôm nuôi ở ĐBSCL chiếm khoảng $75\%$ sản lượng tôm nuôi của cả nước. Vì vậy D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm là: Số trung bình, số trung vị, mốt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có bảng tần số sau:

Mốt của số liệu là $180$ và $220$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có bảng tần số sau:

Mẫu số liệu có 20 giá trị.

Do đó trung vị của mẫu số liệu là trung bình cộng của giá trị thứ $10$ và $11$: ${Q_2} = \frac{{114 + 114}}{2} = 114$.

Nửa số liệu bên trái $111;\,\,112;\,\,112;\,\,112;\,\,113;\,\,113;\,\,113;\,\,113;\,\,114;\,\,114$ có tứ phân vị thứ nhất là trung bình cộng của giá trị thứ $5$ và $6$: ${Q_1} = \frac{{113 + 113}}{2} = 113$.

Nửa số liệu bên phải $114;\,\,114;\,\,114;\,\,115;\,\,115;\,\,115;\,\,115;\,\,116;\,\,116;\,\,117$ có tứ phân vị thứ ba là trung bình cộng của giá trị thứ $15$ và $16$: ${Q_3} = \frac{{115 + 115}}{2} = 115$.

Vậy khoảng tứ phân vị là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 115 - 113 = 2$.

Hướng dẫn giải

Phương trình chuyển động của ô tô là: $y = 30{,}5 + 80.\left( {t - 2} \right) = 80t - 129{,}5$.

Thời điểm $t$ ô tô đuổi kịp xe máy tương ứng với giao điểm của hai đồ thị $y = 80t - 129{,}5$và $y = 2{t^2} + 36t$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm $2{t^2} + 36t = 80t - 129{,}5$

$\Leftrightarrow 2{t^2} - 44t + 129{,}5 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 18{,}5\\t = 3{,}5\end{array} \right.$

Do đó ô tô đuổi kịp xe máy sớm nhất ứng với thời điểm $t = 3{,}5$ tại vị trí cách điểm $A$ là $80.3{,}5 - 129{,}5 = 150{,}5\,\,km$ nên cách điểm $B$ $150{,}5 - 30{,}5 = 120\,\,km$.

Vậy $x = 120\,\,km$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

b) Ta có: $\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

$\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC}$

Để $D,\,\,G,\,\,E$ thẳng hàng thì tồn tại số thực $k$ thỏa mãn: $\overrightarrow {DG} = k\overrightarrow {DE}$

$\Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left( {2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} } \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $x = \frac{2}{5}$ thì $D,\,\,G,\,\,E$ thẳng hàng và khi đó $\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

Ta có bảng tần số sau:

a) Số trung bình cộng:

$\overline x = \frac{{12 + 42 + 51.2 + 56 + 58.2 + 62 + 65 + 73 + 75 + 77 + 79 + 80 + 82 + 84}}{{16}} \approx 63$

Phương sai:

${S^2} = \frac{{{{\left( {12 - 63} \right)}^2} + {{\left( {42 - 63} \right)}^2} + {{\left( {51 - 63} \right)}^2}.2 + {{\left( {56 - 63} \right)}^2} + {{\left( {58 - 63} \right)}^2}.2 + {{\left( {62 - 63} \right)}^2}}}{{16}} +$

$\frac{{{{\left( {65 - 63} \right)}^2} + {{\left( {73 - 63} \right)}^2} + {{\left( {75 - 63} \right)}^2} + {{\left( {77 - 63} \right)}^2} + {{\left( {79 - 63} \right)}^2} + {{\left( {80 - 63} \right)}^2} + {{\left( {84 - 63} \right)}^2}}}{{16}}$

≈ 326.

Độ lệch chuẩn:

$S = \sqrt {{S^2}} \approx 18$.

Nhận xét: Mức độ chênh lệch giữa các điểm là khá lớn.

b) Dãy số liệu có tất cả 16 số liệu, nên số trung vị là trung bình cộng của dãy số liệu ở vị trí 8 và vị trí thứ 9 ta được: ${Q_2} = \frac{{62 + 65}}{2} = 63{,}5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 12; 42; 51; 51; 56; 58; 58; 62 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = \frac{{51 + 56}}{2} = 53{,}5$.

Nửa số liệu bên trái gồm: 65; 73; 75; 77; 79; 80; 82; 84 gồm 8 giá trị. Do đó tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = \frac{{77 + 79}}{2} = 78$.

Suy ra khoảng tứ phân vị là: ∆$_{Q}$ = Q$_{3}$ – Q$_{1}$ = 78 – 53,5 ≈ 24,5.

Ta có: Q$_{3}$ + 1,5.∆$_{Q}$ = 114,75 và Q$_{1}$ – 1,5.∆$_{Q}$ = 16,75.

Ta thấy 12 < 16,75 nên 12 là giá trị ngoại lệ.