Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: C

+) Đáp án A là mệnh đề đúng (theo định nghĩa tam giác đều)

+) Đáp án B là mệnh đề đúng vì tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên ba góc của tam giác cũng bằng nhau và bằng $60^\circ$.

+) Đáp án C là mệnh đề sai: ví dụ

Xét hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có $MN//BC$ ta có

Góc $\widehat A$ chung, $\widehat B = \widehat M$, $\widehat C = \widehat N$.

Vậy hai tam giác $ABC$ và $AMN$ có ba góc bằng nhau nhưng ba cạnh không bằng nhau.

+) Đáp án D là mệnh đề đúng (theo định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các tập con có một phần tử của tập $A$ là: $\left\{ a \right\};\,\,\left\{ b \right\}$.

Vậy có 2 tập con có một phần tử của tập hợp $A$.

Đáp án đúng là: D

Để $A \cup C = B$ thì tập hợp $C$ bắt buộc phải chứa các phần tử $1;\,\,3;\,\,4$.

Do đó các tập $C$ có thể là $\left\{ {1;3;4} \right\},\,\left\{ {1;3;4;0} \right\},\,\left\{ {1;3;4;2} \right\},\,\left\{ {1;3;4;0;2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có

+) Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào bất phương trình đã cho ta được:

$2.1 + 3.1 - 5 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0$ là mệnh đề sai.

Do đó cặp số $\left( {1;\,\,1} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y - 5 < 0$.

+) Thay $x = 4$ và $y = - 1$ vào bất phương trình đã cho ta được:

$2.4 + 3.\left( { - 1} \right) - 5 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0$ là mệnh đề sai.

Do đó cặp số $\left( {4;\,\, - 1} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y - 5 < 0$.

+) Thay $x = 0$ và $y = 2$ vào bất phương trình đã cho ta được:

$2.0 + 3.2 - 5 < 0 \Leftrightarrow 1 < 0$ là mệnh đề sai.

Do đó cặp số $\left( {0;\,\,2} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y - 5 < 0$.

+) Thay $x = 2$ và $y = - 1$ vào bất phương trình đã cho ta được:

$2.2 + 3.\left( { - 1} \right) - 5 < 0 \Leftrightarrow - 4 < 0$ là mệnh đề đúng.

Do đó cặp số $\left( {2;\,\, - 1} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y - 5 < 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

+ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 4x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3x + 2y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ $\left\{ \begin{array}{l}x - y \ge x + 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\y < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn $x,y,z$.

+ $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3y + 1 < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình ${x^2} \ge 0$ có chứa ${x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

+ $x + y = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$.

+${y^2} = x$ không phải là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$ mà ${y^2} = x \Rightarrow y = \pm \sqrt x$ (có 2 giá trị).

+ $y = 2x + 1$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$.

+ $y = {x^2}$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A: ta có $f\left( 1 \right) = 2.1 - 3 = - 1$ đáp án A sai.

Xét đáp án B: Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x - 3$. Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Lấy ${x_1};\,{x_2}$ là hai số tuỳ ý sao cho ${x_1} < {x_2}$ ta có:

${x_1} < {x_2} \Rightarrow 2{x_1} < 2{x_2} \Rightarrow 2{x_1} - 3 < 2{x_2} - 3 \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$

Suy ra hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Suy ra đáp án B đúng, đáp án C sai.

Đáp án D sai vì tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đỉnh $S$ có toạ độ: ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1;\,{y_S} = {1^2} - 2.1 - 1 = - 2$

Vậy $S(1; - 2)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y = {x^2} - 3x + 1$ là một đường Parabol:

- Có đỉnh $S$ với ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 3} \right)}}{{2.1}} = \frac{3}{2};\,{y_S} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\left( {\frac{3}{2}} \right) + 1 = - \frac{5}{4}$.

- Có bề lõm quay lên trên vì $a > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Với $\alpha = 90^\circ$ thì $\cos 90^\circ = 0$. Do đó A sai.

Với $\alpha = 120^\circ$ thì $\cos 120^\circ = - \frac{1}{2} < 0$. Do đó B sai.

Với $\alpha = 15^\circ$ thì $\cos 15^\circ = 0{,}97 > 0$. Do đó C đúng.

Với $\alpha = 150^\circ$ thì $\cos 150^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} < 0$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với tam giác $ABC$ có $AB = c;\,BC = a;\,AC = b$, $S$ là diện tích tam giác, $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

+) $S = \frac{{abc}}{{4R}}$. Do đó A sai, D đúng.

+) $S = p.r = \frac{{a + b + c}}{2}.r$ (trong đó $p$ là nửa chu vi, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$). Do đó B và C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Giả sử hai tàu xuất phát từ $A$ như hình vẽ, tàu thứ nhất sau $2h$ đi đến $B$, tàu thứ hai sau $2h$ đi đến $C$. Khoảng cách hai tàu lúc này là đoạn $BC$.

Ta có: sau $2h$ quãng đường tàu thứ nhất đi được là: $AB = 2.30 = 60km$

sau $2h$ quãng đường tàu thứ hai đi được là: $AC = 2.40 = 80km$

Áp dụng định lí cosin ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A = {60^2} + {80^2} - 2.60.80.\cos 60^\circ$

$\Leftrightarrow BC = 20\sqrt {13}$

Vậy hai tàu cách nhau $20\sqrt {13} \left( {km} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ hai điểm $A,\,B$ ta xác định được hai vectơ là $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Do đó đáp án A đúng

+ Hai vectơ được được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài. Do đó đáp án B sai.

+ Đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và $B$ được gọi là giá của vectơ $\overrightarrow {AB}$. Do đó đáp án C sai.

+ Quy ước vectơ không có độ dài bằng 0. Do đó đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $\widehat A = 60^\circ$ nên $\Delta ABC$ đều nên ta có $A{O^2} = A{B^2} - B{O^2} = {a^2} - {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AO} } \right| = AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Cho ba điểm $A,\,B,\,C$ bất kỳ ta có:

+ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB}$là khẳng định đúng (theo quy tắc hiệu hai vectơ).

+ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$ là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).

+ $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC}$ là khẳng định đúng (theo quy tắc ba điểm).

+ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$ nên khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có: $M,\,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,CA$ nên $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow MP = BN = \frac{1}{2}BC$

Suy ra: $\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {BP}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {MN}$ (theo quy tắc ba điểm)

Suy ra: $- 4\overrightarrow b - 3\overrightarrow b = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} = - 7\overrightarrow b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ có $AH$ là đường cao.

Ta có $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AH}$ vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AH} } \right| = 2AH$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có $AB = 2a,\,BH = a$

Áp dụng định lí Pitago ta có:

$\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {a^2} = 3{a^2}\\ \Rightarrow AH = a\sqrt 3 \end{array}$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2a\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác$ABC$ vuông tại $A$ và có $AM$ là trung tuyến nên $AM = \frac{{BC}}{2}$.$AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }}{2} = a$.

Tam giác $AMB$ có $AB = BM = AM = a$ nên là tam giác đều. Suy ra góc $\widehat {MAB} = 60^\circ$.

Ta có $\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.cos{\rm{(}}\overrightarrow {AB} \;,\;\overrightarrow {AM} ) = - a.a.cos{\rm{60}}^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $a$ là số gần đúng của $\overline a$ với độ chính xác $d$ qui ước viết gọn là $\overline a = a \pm d$. Vậy độ chính xác của phép đo là $d = 0{,}2m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài gần đúng của cầu là $a = 996$ với độ chính xác $d = 0{,}5$.

Vì sai số tuyệt đối ${\Delta _a} \le d = 0{,}5$ nên sai số tương đối ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}} = \frac{{0{,}5}}{{996}} \approx 0{,}05\%$.

Vậy sai số tương đối tối đa trong phép đo trên là $0{,}05\%$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mỗi tổ có $\frac{{30}}{5} = 6$ học sinh. Trong một ngày mỗi học sinh trồng được từ $13$ đến $15$ cây nên mỗi tổ trồng được từ $78$ đến $90$ cây. Do đó, trong bảng trên tổ $3$ trồng được $92$ cây là không chính xác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có số điểm trung bình của $5$ vận động viên là:

$\overline x = \frac{{9 + 8 + 15 + 8 + 20}}{5} = 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta xắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm là: $3;\,4;\,4;\,5;\,7;\,9;10$

Vì mẫu số liệu có $n = 7$ là số lẻ nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: ${Q_2} = 5$

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu $3;\,4;\,4$. Do đó ${Q_1} = 4$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu $7;\,9;\,10$. Do đó ${Q_3} = 9$.

Vậy ${Q_1} = 4;\,{Q_2} = 5;\,{Q_3} = 9$.

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục như hình vẽ.

Giả sử phương trình Parabol có dạng: $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)$

Parabol đi qua điểm $A\left( {0;0} \right);\,B\left( {162;0} \right);\,M\left( {10;\,43} \right)$ nên ta có:

Tại $A\left( {0;\,\,0} \right)$, thay $x = 0$ và $y = 0$ vao hàm số ta được: $0 = a{.0^2} + b.0 + c\, \Leftrightarrow c = 0$.

Tại $B\left( {162;0} \right)$, thay $x = 162$ và $y = 0$ vào hàm số ta được: $0 = a{.162^2} + b.162 + c\,$

$\Leftrightarrow 26\,\,244a + 162b + c\, = 0$

Mà $c = 0$ nên $26\,\,244a + 162b = 0$ $\left( 1 \right)$.

Tại $M\left( {10;\,43} \right)$, thay $x = 10$ và $y = 43$ vào hàm số ta được: $43 = a{.10^2} + b.10 + c\,$

$\Leftrightarrow 100a + 10b + c\, = 43$

Mà $c = 0$ nên $100a + 10b = 43$ $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}26\,\,244a + 162b = 0\\100a + 10b = 43\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{43}}{{1520}}\\b = \frac{{3483}}{{760}}\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Suy ra parabol có dạng: $y = - \frac{{43}}{{1520}}{x^2} + \frac{{3483}}{{760}}x$.

Tọa độ điểm đỉnh $S$ là: ${x_S} = - \frac{{\frac{{3483}}{{760}}}}{{2.\left( { - \frac{{43}}{{1520}}} \right)}} = 81$; ${y_S} = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 \approx 185{,}6$.

Do đó chiều cao cổng chính là trị tuyệt đối tung độ của đỉnh $S$ là $185{,}6\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Qua điểm $I$ dựng các đoạn $MQ\parallel AB,PS\parallel BC,NR\parallel CA$.

Vì $ABC$ là tam giác đều nên các tam giác $IMN,IPQ,IRS$ cũng là tam giác đều.

Suy ra $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $MN,PQ,RS$.

Khi đó: $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IP} + \overrightarrow {IQ} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IR} + \overrightarrow {IS} } \right)$$= \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IR} } \right) + \left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)$

$= \frac{1}{2}.3\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO}$.

Vậy $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO}$.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số học sinh khối $12$ $\left( {x > 0} \right)$.

Số học sinh của khối $11$ là $1{,}5x$ (học sinh).

Theo đề: $x + 1{,}5x = 80 \Leftrightarrow x = 32$.

Suy ra số học sinh của khối $11$ là $1{,}5.32 = 48$ (học sinh)

Gọi $y$ là điểm trung bình của học sinh khối $11$.

Suy ra điểm trung bình của học sinh khối $12$ là $1{,}5y$.

Điểm trung bình của $80$ học sinh bằng $10$ nên ta có: $\frac{{48y + 1{,}5y.32}}{{80}} = 10 \Leftrightarrow y = \frac{{25}}{3}$

Suy ra điểm trung bình của học sinh khối $12$ là: $1{,}5y = 1{,}5.\frac{{25}}{3} = 12{,}5$.