Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án A: Nếu $a \ge b$ thì ${a^2} \ge {b^2}$ là mệnh đề sai, ví dụ với $a = - 2 \Rightarrow {a^2} = 4$; $b = - 3 \Rightarrow {b^2} = 9$ ta có $a > b$ nhưng ${a^2} < {b^2}$.

Đáp án B: Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $9$ là mệnh đề sai, ví dụ với $a = 6$ chia hết cho $3$ nhưng $6$ không chia hết cho $9$.

Đáp án C: Nếu tam giác có một góc bằng $60^\circ$ thì tam giác đó là tam giác đều là mệnh đề sai ví dụ ta có:

Tam giác $ABC$ có góc $\widehat C = 60^\circ$nhưng tam giác $ABC$ không phải là tam giác đều

Đáp án D: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại là mệnh đề đúng (theo bất đẳng thức tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các tập con của tập $A$ là: $\left\{ 1 \right\},\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\},\,\,\emptyset$.

Vậy tập không là con của tập $A$ là: $\left\{ {12;\,3} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $A\backslash B = \left\{ {3;\,4} \right\}$ và $B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$

Vậy $\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ $2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5 \Leftrightarrow 2x + 3y > 13$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ $x - y(2y + 1) \le - 3 \Leftrightarrow x - 2{y^2} - y \le - 3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ${y^2}$.

+ $2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2 \Leftrightarrow 4\sqrt y < 4$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $\sqrt y$.

+ $2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - y \le 2$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ${x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) $\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình ${x^2} - y \ge 1$ có chứa ${x^2}$ nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn là $x,\,\,y,\,\,z$.

+) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình ${x^2} \ge 0$ có chứa ${x^2}$ và bất phương trình $x - 3{y^2} + 4 < 0$có chứa ${y^2}$ đều không là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ ${x^2} - {y^2} = 0$không phải là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$ mà với $x = 1 \Rightarrow {1^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ (có 2 giá trị).

+ $y = x - 3$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$ .

+ $y = {x^2} - 2x$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$.

+ $y = 2x$ là hàm số vì hàm số biểu thị một giá trị của $x$ tương ứng với duy nhất một giá trị của $y$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của hàm số: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \ne 4\end{array} \right.$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \left[ {1; + \infty } \right)\backslash \left\{ 4 \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đỉnh $S$ có toạ độ: ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 4}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2;\,{y_S} = - {2^2} + 4.2 = 4$

Vậy $S(2;4)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, đồ thị hàm số bậc hai $y = - {x^2} + 2x + 3$ là một đường Parabol:

- Có đỉnh $S$ với ${x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2}}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1;\,{y_S} = - {1^2} + 2.1 + 3 = 4$

- Có trục đối xứng là đường thẳng $x = 1$ (đường thẳng này đi qua đỉnh $S$ và song song với trục $Oy$)

- Có bề lõm quay xuống dưới vì $a < 0$.

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $3$ tức là đồ thị đi qua điểm có toạ độ $\left( {0;3} \right)$.

- Phương trình $- {x^2} + 2x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = - 1;{x_2} = 3$ nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có toạ độ $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {3;0} \right)$.

Đồ thị của hàm số là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi góc $\alpha$ thoả mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ ta luôn có

$\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$;

${\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha$;

$\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)$;

$\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)$.

Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ là khẳng định đúng (theo định lí cosin).

Xét đáp án B: $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}$ là khẳng định đúng (theo địn lí sin).

Xét đáp án C: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ là khẳng định đúng (theo công thức Heron).

Xét đáp án D: $S = \frac{1}{2}ab.\sin C$ khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABD$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên có: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}$

Vậy $CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61{,}4m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Do đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng và $AB = CD$.

Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$ là: $\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF}$.

Vậy có $6$ vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ đều nên $AM \bot BC$

Ta có $A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {1^2} - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4} \Rightarrow AM = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\vec a + \vec b = \vec b + \vec a$; $\left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c = \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right)$; $\vec a + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 + \vec a = \vec a$.

Vậy đáp án A, B, C đúng; đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} - \overrightarrow {PN} - \overrightarrow {RQ} = \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RP} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR}$$

$$= \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} + \overrightarrow {RP} = \overrightarrow {MP}$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do $\vec a,\overrightarrow b$ ngược hướng nên $m = - \frac{{\left| {\vec a} \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{5}{{15}} = - \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam giác $ABD$ cân tại $A$ và có góc $\widehat {BAD} = 60^\circ$ nên $\Delta ABD$ đều.

$\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AO} } \right| = 2.AO = 2.\sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = 2.\sqrt {4{a^2} - {a^2}} = 2a\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết: $\widehat {BAD} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 120^\circ$.

$\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) = AB.BC.\cos \widehat {ABC} = 2.1.\cos 120^\circ = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $a$ là số gần đúng của $\overline a$ với độ chính xác $d$ qui ước viết gọn là $\overline a = a \pm d$. Vậy độ chính xác của phép đo là $d = 0{,}1m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có ${\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}}$ suy ra ${\Delta _a} = {\delta _a}.\left| a \right|$. Do đó ${\Delta _a} \le \frac{{0{,}5}}{{100}}.5{,}7824 = 0{,}028912 \approx 2{,}89\%$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$200 < 215 < 500$ nên số sản phẩm tháng 7 thỏa mãn điều kiện.

$200 < 237 < 500$ nên số sản phẩm tháng 8 thỏa mãn điều kiện.

$200 < 360 < 500$ nên số sản phẩm tháng 9 thỏa mãn điều kiện.

$586 > 500$ nên số sản phẩm tháng 10 không thỏa mãn điều kiện. Do đó tháng 10 bị thống kê sai.

$200 < 300 < 500$nên số sản phẩm tháng 11 thỏa mãn điều kiện.

$200 < 345 < 500$nên số sản phẩm tháng 12 thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta xắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm $200;\,\,\,240;\,\,\,250;\,\,\,250;\,\,\,260;\,\,\,260;\,\,\,300;\,\,\,300$.

Vì cỡ mẫu bằng $8$ nên số trung vị là trung bình cộng của số liệu thứ $4$ và thứ $5$ của dãy trên tức là: ${Q_2} = \frac{1}{2}\left( {250 + 260} \right) = 255$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${M_o} = {X_3}$ là duy nhất của bảng số liệu nên $\left\{ \begin{array}{l}{n^2} > 16\\{n^2} > 6n - 5\end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\{\begin{matrix}[\begin{matrix}n>4 \\ n<-4\end{matrix} \\ [\begin{matrix}n<1 \\ n>5\end{matrix}\end{matrix}\Rightarrow [\begin{matrix}n<-4 \\ n>5\end{matrix}$

Vì $n$ là số tự nhiên nên $n > 5$ thoả mãn.

Hướng dẫn giải

Giả sử Parabol có dạng: $y = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)$

Chọn hệ trục như hình vẽ khi đó Parabol đi qua điểm $A\left( {100;30} \right)$ có đỉnh $C\left( {0;5} \right)$

+) Điểm đỉnh $C\left( {0;5} \right)$, có: ${x_C} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Leftrightarrow b = 0$

Thay $x = 0$, $y = 5$ vào hàm số ta được: $c = 5$.

Khi đó hàm số trở thành: $y = a{x^2} + 5$

+) Thay tọa độ điểm $A\left( {100;30} \right)$ với $x = 100$ và $y = 30$ vào hàm số ta được:

$30 = a{.100^2} + 5$

$\Leftrightarrow 30 = a.10\,\,000 + 5$

$\Leftrightarrow 10\,\,000a = 25$

$\Leftrightarrow a = \frac{1}{{400}}$ (thỏa mãn điều kiện)

Suy ra Parabol có dạng: $y = \frac{1}{{400}}{x^2} + 5$.

Mà đoạn $AB$ được chia làm $8$ phần bằng nhau nên mỗi phần $25m$

Khi đó tổng độ dài cáp treo bằng $OC + 2{y_1} + 2{y_2} + 2{y_3}$

Hay $5 + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.25}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.50}^2} + 5} \right) + 2\left( {\frac{1}{{400}}{{.75}^2} + 5} \right) = 78{,}75\left( m \right)$.

Vậy tổng độ dài cáp treo là $78{,}75\,\,m$.

Hướng dẫn giải

a) Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$ và $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$.

Hơn nữa, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$.

Do đó, $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {AB} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}.{a^2} + \frac{1}{3}.a.a.{\rm{cos}}60^\circ$

$= \frac{1}{2}{a^2}$.

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm các học sinh đạt được lần lượt là $a;\,b;\,c;\,d\,\left( {a < b < c < d} \right)$ và $a,\,b,\,c,\,d \in \mathbb{N}$

Ta có số trung vị: ${Q_2} = \frac{{b + c}}{2} = 14 \Rightarrow b + c = 28$

Mà $\overline x = 14 \Rightarrow a + b + c + d = 56 \Rightarrow a + d = 28$

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a < b < c}\\{b + c = 28}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{10 < b < 14}\\{2b < 28}\end{array}} \right.$ hay $10 < b < 14$ mà $b \in \mathbb{N} \Rightarrow b \in \left\{ {11;\,12;\,13} \right\}$

+ Nếu $b = 11$ thì $c = 17$, mà $10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow a = 10;d = 18$

Khi đó điểm các em đạt được lần lượt là $10;\,\,\,11;\,\,\,17;\,\,18$

+ Nếu $b = 12$ thì $c = 16$ mà $10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\end{array} \right.$

Khi đó điểm các học sinh đạt được có thể là là: $10;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,18$ hoặc $11;\,\,\,12;\,\,\,16;\,\,\,17$.

+ Nếu $b = 13$ thì $c = 15$, mà $10 \le a < b,a \in \mathbb{N} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10 \Rightarrow d = 18\\a = 11 \Rightarrow d = 17\\a = 12 \Rightarrow d = 16\end{array} \right.$

Khi đó có ba mẫu số liệu thỏa đề bài có giá trị là: $10;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,18$ hoặc $11;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,17$ hoặc $12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16$.

Vì khoảng biến thiên bằng $4$ nên số điểm các em đạt được là: $12;\,\,\,13;\,\,\,15;\,\,\,16$.