Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì mệnh đề kéo theo được phát biểu dưới dạng là “Nếu $P$ thì $Q$”.

Nên mệnh đề $P$ kéo theo $Q$ là “Nếu $x$ là số chẵn thì $x$ chia hết cho $2$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có:

+ Các ước là số tự nhiên của $20$ là: $1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20$.

+ Các ước là số tự nhiên của $40$ là: $1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4}};{\rm{ }}5;{\rm{ 8}};{\rm{ }}10;\,\,20;\,\,40$.

Do đó các ước chung là số tự nhiên của $20$ và $40$ là $1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4;}}\,\,\,5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20$.

$\Rightarrow E{\rm{ = }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ 4;}}\,\,\,5;{\rm{ }}10;{\rm{ }}20} \right\}$.

Vì vậy tập hợp $E$ gồm có $6$ phần tử.

$\Rightarrow n\left( E \right) = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có:

$({x}^{2}-3)(4{x}^{2}-10x+6)=0\Leftrightarrow [\begin{matrix}{x}^{2}-\ 3=0 \\ 4{x}^{2}-\ 10x\ +\ 6=0\end{matrix}\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=\sqrt{3} \\ x=-\sqrt{3} \\ x=1 \\ x=\frac{3}{2}\end{matrix}$

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên ta chỉ nhận một giá trị là $x = 1$.

Do đó tập hợp $X$ có $1$ phần tử.

$\Rightarrow n\left( X \right) = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta thấy chỉ có bất đẳng thức $2x + y < 1$ có dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn với $a = 2,{\rm{ }}b = 1,{\rm{ }}c = - 1$.

Đáp án đúng là: A

Hướng dẫn giải

Xét bất phương trình: $3(x-1)+4(y-2)<5x-3$

⇔ $3x-3+4y-8<5x-3$

⇔ $2x-4y+8>0$

⇔ $x-2y+4>0$

Tại điểm $\left( {0;{\rm{ }}0} \right)$ ta có $0-2.0+4=4>0$. Do đó $\left( {0;{\rm{ }}0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Tại điểm $\left( { - 4;{\rm{ }}2} \right)$ ta có $(-4)-2.2+4=-4<0$. Do đó $\left( { - 4;{\rm{ }}2} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Tại điểm $\left( { - 2;{\rm{ }}2} \right)$ ta có $-2-2.2+4=-2<0$. Do đó $\left( { - 2;{\rm{ }}2} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Tại điểm $\left( { - 5;{\rm{ }}3} \right)$ ta có $-5-2.3+4=-7<0$. Do đó $\left( { - 5;{\rm{ }}3} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đồng biến trên khoảng $( - \infty ;\,\,2)$ vì trên khoảng này đồ thị hàm số đi lên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhìn vào BBT ta thấy:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\,\, - \frac{3}{2}} \right)$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = \left( {a - 1} \right)x + a\,\,\left( {a \ne 1} \right)$ là hàm số bậc nhất có đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $y = 2\;$thì hoành độ $x = 0$. Khi đó thay $x = 0$ và $y = 2\;$vào hàm số ta được $2 = \left( {a - 1} \right).0 + a\,\, \Leftrightarrow a = 2$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $a = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ là đường thẳng cắt cả hai trục tọa độ nên hàm số đó là hàm số bậc nhất $y = f\left( x \right) = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Giao điểm của đồ thị đó với trục Oy là điểm có tọa độ $\left( {0;{\rm{ }}b} \right)$ nên $b = - 2$.

Suy ra $y=f(x)=ax-2$ (*)

Vì đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ $\left( {1;{\rm{ }}1} \right)$ nên ta thay $x = 1;\,\,y = 1$ vào phương trình (*), ta được $a = 3$.

Vậy $y=f(x)=3x-2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ với $a > 0$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{b}{{2a}}; + \infty } \right)$, nghịch biến

trên khoảng $\left( { - \infty ; - \frac{b}{{2a}}} \right)$.

Hàm số $y = 2{x^2} + 4x - 1$ có $a = 2 > 0$ và $- \frac{b}{{2a}} = - 1$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có hàm số $y = \left( { - m + 2} \right){x^2} + 4mx + 1$ là hàm số bậc hai khi $- m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = {x^2} - 3x$ có $a = 1 > 0$ nên bề lõm hướng lên.

Hoành độ đỉnh $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{3}{2} \in \left[ {0;2} \right]$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m = \min y = f\left( {\frac{3}{2}} \right) = - \frac{9}{4}\\M = \max y = \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 2 \right)} \right\} = \max \left\{ {0, - 2} \right\} = 0\end{array} \right.$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = m{x^2} - 2mx - 3m - 2$ có $m \ne 0$ là hàm số bậc hai.

Tọa độ đỉnh: $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1$, $y = m{.1^2} - 2m.1 - 3m - 2 = - 4m - 2$.

TH1: Nếu $m > 0$ thì hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 10$ trên $\mathbb{R}$ thì $- 4m - 2 = - 10 \Leftrightarrow m = 2$ (thỏa mãn điều kiện).

TH2: Nếu $m < 0$ thì hàm số có giá trị lớn nhất trên $\mathbb{R}$ và không có giá trị nhỏ nhất trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$$A = {\sin ^2}3^\circ + {\sin ^2}15^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ$$

$$= {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}87^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}75^\circ + {\sin ^2}75^\circ + {\sin ^2}87^\circ$$

$$= \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}87^\circ + {{\sin }^2}87^\circ } \right) + \left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}75^\circ + {{\sin }^2}75^\circ } \right)$$

$= 1 + 1 = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $ABC$ ta có:

$B{C}^{2}=A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB.AC.cosA$

$\Leftrightarrow B{C}^{2}={6}^{2}+{8}^{2}-2.6.8.cos60^{\circ}$

$\Leftrightarrow B{C}^{2}=36+64-48=52$

$\Leftrightarrow BC = \sqrt {52} = 2\sqrt {13}$

Vậy $BC = 2\sqrt {13}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ và $p$ lần lượt là diện tích và nửa chu vi của tam giác $ABC$.

Ta có: $p = \frac{{a + b + c}}{2}$ và $S = pr = \frac{{a + b + c}}{2}.r$

Mặt khác $S = \frac{{abc}}{{4R}}$

$\Rightarrow \frac{{abc}}{{4R}} = \frac{{a + b + c}}{2}.r$

$\Leftrightarrow Rr = \frac{{abc}}{{2\left( {a + b + c} \right)}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Chiều dài của dây cáp là đoạn $AD$.

Theo bài ra ta có: $CD = 20\,m$, $AB = 72\,\,m$, $\widehat {CAB} = 17^\circ$, $\widehat {ABD} = 90^\circ$.

$\widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {ACB} - \widehat {ACD} = {\rm{ }}180^\circ - 17^\circ - 90^\circ {\rm{ }} = 73^\circ$(tổng ba góc một tam giác bằng 180°).

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ , có :

$AC = \frac{{AB}}{{\cos \widehat {CAB}}} = \frac{{72}}{{\cos 17^\circ }} \approx 75{,}3\,\,m$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ACD$, ta có:

$A{D}^{2}=A{C}^{2}+C{D}^{2}-2AC.CD.\cos \widehat{ACD}$

$={(75{,}3)}^{2}+{20}^{2}-2.75{,}3.20.cos107^{\circ}\approx 6950{,}7$$AD = 83{,}4\,\,m$

Vậy chiều dài của dây cáp là $83{,}4\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vecto $\overrightarrow {OB}$ mà có điểm đầu và điểm cuối là các điểm có trên hình vẽ là các vectơ: $\overrightarrow {BE}$, $\overrightarrow {EB}$, $\overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {DC}$, $\overrightarrow {AF}$, $\overrightarrow {FA}$, $\overrightarrow {OE}$, $\overrightarrow {EO}$, $\overrightarrow {BO}$.

Vậy có $9$ vectơ thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ không là vectơ cùng hướng với mọi vectơ. Do đó A đúng.

Vectơ không có độ dài bằng $0$. Do đó B sai.

Mọi vectơ không đều bằng nhau. Do đó C đúng.

Vectơ đối của vectơ không là bằng chính nó. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

- Vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MN}$ có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {MN}$ cùng hướng, đồng thời $AB = MN = 9$ nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {MN}$.

- Vectơ $\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {HK}$ có giá song song và cùng chiều nên hai vectơ $\overrightarrow {CD}$ và $\overrightarrow {HK}$ cùng hướng, mà $HK = CD = 7$ nên $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {HK}$ .

Do đó có $2$cặp vectơ bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB{\rm{ // }}CD$ và $AB = CD$.

⇒ $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AB}$.

⇒ $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {OB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có hai vectơ $\overrightarrow {OC}$ và $\overrightarrow {OA}$ đối nhau nên $\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow 0$.

Vì vậy $\left| {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OA} } \right| = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE}$

= $\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

= $\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {EC} } \right)$ (áp dụng tính chất kết hợp)

= $\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {BC}$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

= $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA}$ (áp dụng tính chất giao hoán)

= $\overrightarrow {BA}$ (áp dụng quy tắc cộng vectơ)

Vậy $\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BE} = \overrightarrow {BA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có : $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$

$\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC}$

$= \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC}$

$= 2\overrightarrow {AC}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right| = 2AC = 2a\sqrt 2$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {NK} = \frac{1}{4}\overrightarrow {NP} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {NK} - \overrightarrow {NP} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {NI} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {NI} + 4\overrightarrow {IK} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow - 3\overrightarrow {IN} - 4\overrightarrow {IM} - \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {IN} + 4\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$4\left( {2\overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB}$

= $(4.2)\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB}$

= $8\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC} - 3\overrightarrow {AB}$

= $8\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BC}$

= $\left( {8--3} \right)\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {BC}$

= $5\overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {BC}$

= $5\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)$

= $5\overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ có:

$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AG} - 2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0$. Do đó C sai.

$\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GM} = \overrightarrow 0$. Do đó A đúng và B sai.

$\overrightarrow {GM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AM} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GM} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow 0$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+ Vì tam giác $ABC$ vuông cân, mà $AB = AC$

$\Rightarrow$Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

$$\Rightarrow AB \bot AC$$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 90^\circ = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.0 = 0$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$ (tính chất phân phối)

$\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CA} .\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AD} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$ (tính chất phân phối)

$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD}$$

$$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}$$

= $\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} } \right)$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

= $0$

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là B

Ta có độ dài gần đúng của cây thước là $a = 45$ với độ chính xác $d = 0{,}2$ nên sai số tuyệt đối ${\Delta _{45}} \le 0{,}2$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$$l = 1745{,}25 \pm 0{,}01{\rm{ }}cm$$

Vì độ chính xác $d = 0{,}01$ đến hàng phần trăm nên ta quy tròn đến hàng phần chục.

Vậy số quy tròn của $l$ là $1745{,}3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Quan sát biểu đồ ta thấy:

Số dân thành thị tăng qua các năm (vì $22{,}4 < 26{,}5 < 28{,}3 < 31{,}1 < 31{,}9$).

Số dân nông thôn tăng qua các năm (vì $60{,}1 < 60{,}4 < 60{,}5 < 60{,}6 < 60{,}8$).

Do đó ta chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có cỡ mẫu của mẫu số liệu trên là $n = 7$.

Số trung bình của mẫu số liệu là:

$\overline x = \frac{{2 + 5 + 8 + 7 + 10 + 20 + 11}}{7} = 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu là: $38$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $60$.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là $R = 60 - 38 = 22$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

$$2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}10;{\rm{ }}12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}17;{\rm{ }}23$$

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: $2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6$.

Do đó ${Q_1} = \frac{{5 + 5}}{2} = 5$.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: $12;{\rm{ }}15;{\rm{ }}17;{\rm{ }}23$.

Do đó ${Q_3} = \frac{{15 + 17}}{2} = 16$.

⟹ ${\Delta _Q} = {Q_3}--{Q_1} = 16 - 5 = 11$.

Do đó khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là $11$.

Hướng dẫn giải

Gọi hàm quỹ đạo parabol của quả bóng là $h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c\left( {a \ne 0} \right)$.

Quả bóng được đá lên từ độ cao $1{,}2m$ nên $t = 0$, ta có điểm $\left( {0;\,\,1{,}2} \right)$, thay $t = 0$ và $h = 1{,}2$ vào hàm số trên ta được: $c = 1{,}2$.

$\Rightarrow h\left( t \right) = a{t^2} + bt + 1{,}2$ $\left( 1 \right)$

Tại $t = 1$ thì $h = 8{,}5$ khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow a + b + 1{,}2 = 8{,}5 \Leftrightarrow a + b = 7{,}3$ $\left( 2 \right)$.

Tại $t = 2$ thì $h = 6$ khi đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4a + 2b + 1{,}2 = 6 \Leftrightarrow 4a + 2b = 4{,}8 \Leftrightarrow 2a + b = 2{,}4$ $\left( 3 \right)$.

Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 7{,}3\\2a + b = 2{,}4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 4{,}9\\b = 12{,}2\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện).

Do đó hàm số cần tìm là $h\left( t \right) = - 4{,}9{t^2} + 12{,}2t + 1{,}2$.

Quả bóng chạm đất nghĩa là độ cao bằng $0$ khi đó $h = 0$, thay vào hàm số trên ta được:

$- 4{,}9{t^2} + 12{,}2t + 1{,}2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx 2{,}58\\t \approx - 0{,}09\end{array} \right.$.

Vì $t > 0$ nên $t \approx 2{,}58$ thỏa mãn.

Vậy sau khoảng $2{,}58$ giây thì quả bóng chạm đất.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = 2\overrightarrow {OI}$ (Do $I$ là trung điểm của $AB$)

$\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OJ}$ (Do $J$ là trung điểm của $CD$)

Mặt khác $O$ là trung điểm $IJ$ nên $\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OI} + 2\overrightarrow {{\rm{OJ}}} = 2\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {{\rm{OJ}}} } \right) = \overrightarrow 0$

Với mọi điểm $M$, ta lại có:

$\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MC} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 4\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow (-4)\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO}$ (đpcm).

Hướng dẫn giải:

- Điểm trung bình qua 6 lần thi thử của Trung là:

$\overline x = \frac{{5 + 8 + 7 + 6 + 9 + 8}}{6} \approx 7{,}17$

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Thay số ta có:

$${S^2} = \frac{1}{6}[{(5--7{,}17)^2} + {(8--7{,}17)^2} + {(7--7{,}17)^2} + {(6--7{,}17)^2} + {(9--7{,}17)^2} + {(8--7{,}17)^2}] \approx 1{,}81$$

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là $1{,}81$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {1{,}81} \approx 1{,}35$.

- Điểm trung bình qua $6$ lần thi thử của Long là:

$\overline x = \frac{{8 + 4 + 6 + 8 + 9 + 6}}{6} \approx 6{,}83$

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

${S^2} = \frac{1}{n}\left[ {{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \overline x } \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Thay số ta có:

$${S^2} = \frac{1}{6}[{(8--6{,}83)^2} + {(4--6{,}83)^2} + {(6--6{,}83)^2} + {(8--6{,}83)^2} + {(9--6{,}83)^2} + {(6--6{,}83)^2}] \approx 2{,}81$$

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là $2{,}81$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là $S = \sqrt {{S^2}} = \sqrt {2{,}81} \approx 1{,}68$.

Ta thấy phương sai và độ lệch chuẩn trong điểm của Trung bé hơn điểm của Long nên điểm của Trung ổn định hơn.