Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 8

Đáp án đúng là: B

Phát biểu “Bất phương trình $3x + 2 < 0$ có phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn không?” không phải là mệnh đề vì đây là câu hỏi, không khẳng định tính đúng sai.

Đáp án đúng là: B

Vì $n \in \mathbb{N}$ nên ta xét lần lượt các số tự nhiên $n$ như sau:

+ Với $n = 0$, ta có $x = 7 - 0 = 7$.

+ Với $n = 1$, ta có $x = 7 - 1 = 6$.

+ Với $n = 2$, ta có $x = 7 - 2 = 5$.

+ Với $n = 3$, ta có $x = 7 - 3 = 4$.

+ Với $n = 4$, ta có $x = 7 - 4 = 3$.

+ Với $n = 5$, ta có $x = 7 - 5 = 2$.

+ Với $n = 6$, ta có $x = 7 - 6 = 1$.

+ Với $n = 7$, ta có $x = 7 - 7 = 0$.

+ Với $n = 8$, ta có $x = 7 - 8 = - 1$.

Tiếp tục như trên, ta nhận được các giá trị của $x$ tiếp theo là số nguyên âm, mà$x \in \mathbb{N}$, do đó các giá trị $x$ thỏa mãn tập hợp $E$ là 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0.

Vậy $E = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $A \cap B = \left[ { - 4;\,1} \right) \cup \left[ { - 2;\,\,3} \right] = \left[ { - 4;\,\,3} \right]$.

Suy ra ${C_\mathbb{R}}\left( {A \cup B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cup B} \right) = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: A

Đổi 4,5 lít = 4 500 ml.

Pha $x$ lít nước cam loại 1 cần $900x$ ml nước cốt cam, pha $y$ lít nước cam loại 2 cần $850y$ ml nước cốt cam. Do đó, pha $x$ lít nước cam loại 1 và $y$ lít nước cam loại 2 cần $900x + 850y$ ml nước cốt cam, mà Hồng có 4,5 lít nước cam nên $900x + 850y \le 4\,\,500$ hay $18x + 17y \le 90$.

Vậy bất phương trình mô tả số lít nước cam loại 1 và loại 2 mà bạn Hồng có thể pha chế được là $18x + 17y \le 90$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 2 + 2 \cdot \left( { - 5} \right) = - 12 < 5$ nên cặp số $\left( { - 2;\,\, - 5} \right)$ không thỏa mãn bất phương trình thứ nhất trong hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y > 5\\2x - 5y < 9\end{array} \right.$. Do đó, cặp số này không là nghiệm của hệ trên.

Đáp án đúng là: B

Từ bảng trên ta thấy, giá trị của hàm số tại $x = 3$ là $y = 2$.

Đáp án đúng là: C

Parabol$\left( P \right):y = {x^2} - 3x + 2$ có: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 3}}{{2.1}} = \frac{3}{2}$ và $y\left( {\frac{3}{2}} \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 3.\frac{3}{2} + 2 = - \frac{1}{4}$.

Vậy đỉnh của parabol $\left( P \right)$ là $I\left( {\frac{3}{2};\, - \frac{1}{4}} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số $y = a{x^2} + bc + c\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ có đỉnh $I\left( {1;\,\,1} \right)$ và đi qua điểm $A\left( {2;\,\,3} \right)$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 1\\2a + b = 0\\4a + 2b + c = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 4\\c = 3\end{array} \right.$.

Do đó, $S = {a^2} + {b^2} + {c^2} = {2^2} + {\left( { - 4} \right)^2} + {3^2} = 29$.

Đáp án đúng là: D

Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai với tam thức $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$, nếu $\Delta = {b^2} - 4ac = 0$ thì $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{b}{{2a}}} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam thức $f\left( x \right) = 2{x^2} - 7x - 9$ có $\Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.\left( { - 9} \right) = 121 > 0$ nên tam thức này có hai nghiệm ${x_1} = - 1$ và ${x_2} = \frac{9}{2}$.

Mặt khác có hệ số $a = 2 > 0$ nên ta có bảng xét dấu sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy $f\left( x \right)$ nhận giá trị âm khi $x \in \left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$.

Các giá trị nguyên trong khoảng $\left( { - 1;\,\,\frac{9}{2}} \right)$ là 0; 1; 2; 3; 4.

Ta có: $0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2$, ${x_2} = 3$.

Mặt khác có hệ số $a = 1 > 0$, do đó ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6 \le 0$$\Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S = \left[ { - 2;\,\,3} \right]$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {57x + 31{x^2} + 2} = 5x + 4$ ta được:

$57x + 31{x^2} + 2 = 25{x^2} + 40x + 16$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $6{x^2} + 17x - 14 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{7}{2}$ hoặc $x = \frac{2}{3}$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có $x = \frac{2}{3}$ thỏa mãn.

Do đó, tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {\frac{2}{3}} \right\}$. Mà $\frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$. Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {5{x^2} - 28x - 29} = \sqrt {{x^2} - 5x + 6}$ ta được:

$5{x^2} - 28x - 29 = {x^2} - 5x + 6$.

Thu gọn phương trình trên ta được: $4{x^2} - 23x - 35 = 0$. Từ đó suy ra $x = - \frac{5}{4}$ hoặc $x = 7$.

Lần lượt thay các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là $S = \left\{ { - \frac{5}{4};\,\,7} \right\}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 77^\circ$.

Áp dụng định lí sin trong $\Delta ABC$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{BC}}{{\sin A}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{9 \cdot \sin 77^\circ }}{{\sin 48^\circ }} \approx 11{,}8$.

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi của tam giác là $\frac{{12 + 14 + 16}}{2} = 21$.

Áp dụng công thức Heron, ta có diện tích của tam giác là

$S = \sqrt {21 \cdot \left( {21 - 12} \right) \cdot \left( {21 - 14} \right) \cdot \left( {21 - 16} \right)} = 21\sqrt {15}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\,{\rm{//}}\,CD$, do đó vectơ $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {CD}$.

Đáp án đúng là: A

Xét chữ nhật$ABCD$ có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành).

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$.

Từ định lí Pythagore trong tam giác vuông $ABC$, suy ra

$AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = \left( { - 1} \right)\overrightarrow x = - \overrightarrow x$, do đó vectơ $2\overrightarrow {a\,} - \overrightarrow b$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow {x\,}$. Đáp án A sai.

Lại có: $- \,\overrightarrow {a\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow b = \frac{1}{2} \cdot \left( { - 2\,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow x$, do đó vectơ $- \,\overrightarrow {\,a\,\,} + \frac{1}{2}\overrightarrow {\,b\,}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {x\,}$. Đáp án B đúng.

Đáp án C và D sai vì ta không thể biểu diễn được các vectơ $4\,\overrightarrow {a\,} + 2\overrightarrow {b\,}$ và $- \,\overrightarrow {a\,} + \overrightarrow b$ dưới dạng $k\overrightarrow x$.

Đáp án đúng là: D

Do $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$ và $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$.

Hơn nữa, $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$.

Do đó, $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: A

Vì hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = 2 \cdot 8 \cdot \cos 180^\circ = - 16$.

Đáp án đúng là: C

Vì hình vuông $ABCD$ có tâm $O$ nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Phương án A: $\overrightarrow {OA} \bot \overrightarrow {OB}$ suy ra $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OB} = 0$ nên đáp án A đúng, loại A.

Phương án B: $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = - OA \cdot OC = - O{A^2}$

và $\frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{1}{2} \cdot OA \cdot AC = - \frac{1}{2}OA \cdot 2OA = - O{A^2}$.

Suy ra $\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {AC} = - O{A^2}$ nên đáp án B đúng, loại B.

Phương án C và D: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = AB \cdot AB\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$.

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = - AB \cdot DC = - A{B^2}$, $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD} = AC \cdot AD \cdot \cos 45^\circ = AB\sqrt 2 \cdot AB \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AD}$ nên chọn C và loại D.

Gọi cạnh hình vuông được uốn thành là $x$ (cm) $\left( {0 < x < 15} \right)$.

Chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông hay chính là chu vi của hình vuông là $4x$ (cm).

Chiều dài đoạn dây uốn thành vòng tròn hay chính là chu vi vòng tròn là $60 - 4x$ (cm). Khi đó bán kính của hình tròn là $r = \frac{{60 - 4x}}{{2\pi }} = \frac{{30 - 2x}}{\pi }$ (cm).

Diện tích hình vuông được uốn thành là ${S_1} = {x^2}$ (cm$^{2}$).

Diện tích hình tròn được uốn thành là

${S_2} = \pi {r^2} = \pi .{\left( {\frac{{30 - 2x}}{\pi }} \right)^2} = \frac{{{{\left( {30 - 2x} \right)}^2}}}{\pi } = \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right)$ (cm$^{2}$).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn thành là:

$S = {S_1} + {S_2} = {x^2} + \frac{1}{\pi }\left( {4{x^2} - 120x + 900} \right) = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }$ (cm$^{2}$).

Nhận thấy $S$ là hàm số bậc hai của $x$, do đó $S$ nhỏ nhất tại đỉnh của đồ thị hàm số $S = \left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right){x^2} - \frac{{120}}{\pi }x + \frac{{900}}{\pi }$.

Khi đó, tổng diện tích của hình vuông và hình tròn được uốn nhỏ nhất khi$x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\frac{{ - 120}}{\pi }}}{{2\left( {1 + \frac{4}{\pi }} \right)}} = \frac{{60}}{{4 + \pi }}$ (cm).

Vậy chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông lúc này bằng $4x = 4.\frac{{40}}{{4 + \pi }} \approx 33{,}61$ (cm).

Gọi $A,\,B,\,C,M,\,H$ lần lượt là đỉnh tháp viễn thông, điểm trên sườn dốc cách chân tháp 35 m, chân tháp viễn thông, chân sườn dốc, hình chiếu của điểm A lên phương ngang như hình vẽ sau

Khi đó ta có: $AC = 48\,$m, $BC = 35$m, $\widehat {CMH} = 25^\circ$, $\widehat {CHM} = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat {MCH} = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$.

Ta có: $\widehat {ACB} = \widehat {MCH} = 65^\circ$ (2 góc đối đỉnh).

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC \cdot BC \cdot \cos \widehat {ACB}$$= {48^2} + {35^2} - 2 \cdot 48 \cdot 35 \cdot \cos 65^\circ \approx 2\,\,109$

Suy ra $AB \approx 46$ (m).

Vậy chiều dài của sợi dây cáp đó khoảng 46 m.

a) Ta có: $AC \bot DB \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$

$$\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)$$

$$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} - A{B^2} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB}$$

Ta lại có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$

Và $A{B^2} = {h^2},\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {AD} = BC \cdot AD = ab$ .

Do đó, $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = 0 - {h^2} + ab - 0 = ab - {h^2}$.

Vậy $\overrightarrow {AC} \bot \overrightarrow {BD} \Leftrightarrow ab - {h^2} = 0$.

b) Vì $I$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow {AI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$ và $\overrightarrow {BI} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.

Khi đó ta có: $\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} \cdot \overrightarrow {BI} = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right) = 0$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BD} = 0$$

Mà $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + {\overrightarrow {BC} ^2} = 0 + B{C^2} = {b^2}$; $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = ab - {h^2}$;

$\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BC} = AD \cdot BC = ab$; $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BA}+{\overrightarrow{AD}}^{2}=0+A{D}^{2}={a}^{2}$

Do đó, ta có: $\widehat {AIB} = 90^\circ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {h^2} + 2ab = 0 \Leftrightarrow a + b = h.$