Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 3

Đáp án đúng là: B

Vì số $\pi$ là số vô tỉ nên phát biểu “$\pi$là một số hữu tỉ.” là mệnh đề sai.

Phát biểu “Bạn có chăm học không?” không là mệnh đề.

Phát biểu “Con thì thấp hơn cha.” không xác định tính đúng sai nên không là mệnh đề.

Theo bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác tổng độ dài của hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba, vậy phát biểu ở đáp án B đúng.

Đáp án đúng là: D

Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 > 0$” là mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{R},\,2{x^2} + x + 1 \le 0$”.

Đáp án đúng là: A

Mọi tập hợp đều có hai tập con là chính nó và tập rỗng ($\emptyset$).

Riêng tập rỗng chỉ có một tập con là chính nó (chính là tập $\emptyset$).

Đáp án đúng là: C

Cách 1: Giải phương trình $2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 1}\\{x = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$. Mà $x \in \mathbb{R}$ nên $A = \left\{ {\frac{1}{2};\,1} \right\}$.

Giải bất phương trình $3x - 2 < 10 \Leftrightarrow x < 4$. Mà $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên chọn $B = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\}$.

Ta có: $A\backslash B = \left\{ {\frac{1}{2};\,\,1} \right\}\backslash \left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\} = \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}$.

Cách 2: Ta thử từng phần tử của các đáp án, nếu thỏa yêu cầu bài toán của tập $A$ mà không thuộc tập $B$ thì đó là đáp án đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét cặp số $\left( { - 3;\,\,0} \right)$ và bất phương trình $- 5x - y > 6$, ta có: $\left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 3} \right) - 0 = 15 > 6$.

Do đó, cặp số $\left( { - 3;\,\,0} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình $- 5x - y > 6$.

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng $d$ có phương trình: $y = ax + b$.

Từ hình vẽ ta thấy, đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ $\left( {0;\,\,1} \right)$ và $\left( {0{,}5;\,\,0} \right)$.

Khi đó ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}a \cdot 0 + b = 1\\a \cdot 0{,}5 + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 1\end{array} \right.$.

Do đó, $d:y = - 2x + 1$ hay $d:2x + y = 1$.

Lấy điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ không thuộc đường thẳng $d$, ta thấy $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 1$ và nửa mặt phẳng không bị gạch chéo không chứa điểm $O$.

Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch chéo ở hình đã cho là miền nghiệm của bất phương trình $2x + y > 1$.

Đáp án đúng là: D

Ta thấy hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 4 \ge y}\\{3x + 4y < 2}\end{array}} \right.$ có hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho nên đáp án D thỏa yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.$ .

+ Vẽ đường thẳng ${d_1}:2x + y = 4$. Ta có $2 \cdot 0 + 0 = 0 < 4$, do đó miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ${d_1}$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ (kể cả bờ ${d_1}$).

+ Vẽ đường thẳng ${d_2}: - 3x + 2y = - 5$. Ta có $- 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 > - 5$, do đó miền nghiệm của bất phương trình $- 3x + 2y \ge - 5$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng ${d_2}$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ (kể cả bờ ${d_2}$).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 4\\ - 3x + 2y \ge - 5\end{array} \right.$ là giao của hai miềm nghiệm của hai bất phương trình $2x + y \le 4$, $- 3x + 2y \ge - 5$ và chính là phần mặt phẳng không bị gạch trong hình ở đáp án B.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $s\left( t \right)$ mô tả sự phụ thuộc của quãng đường đi được vào thời gian $t$ (h) của một vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $5$ km/h.

Công thức của hàm số $s\left( t \right)$ là: $s\left( t \right) = 5t$ (km).

(quãng đường của chuyển động thẳng đều bằng vận tốc nhân thời gian).

Đáp án đúng là: C

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên khoảng $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$, do đó, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}$ là: $2x - 8 \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne 8 \Leftrightarrow x \ne 4$.

Do vậy, tập xác định của hàm số $f\left( x \right) = \frac{{x - 3}}{{2x - 8}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy đồ thị hàm số có đỉnh và trục đối xứng lần lượt là: $O\left( {0;0} \right)$ và $x = 0$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 2x + 4$ có: $a = 1 > 0$, $b = - 2$, $c = 4$.

Ta có: $\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \left( { - 2} \right)}}{{2.1}} = 1$.

Như vậy, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: C

Hàm số bậc hai $y = f\left( x \right)$ có dạng: $y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Đồ thị đi qua điểm $A\left( {0;0} \right)$ nên ta có: $a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0$.

Đồ thị đi qua điểm $B\left( { - 1;5} \right)$ nên ta có: $a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 5 \Leftrightarrow a - b = 5$.

Đồ thị có trục đối xứng $x = \frac{3}{4}$ nên ta có: $\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{3}{4} \Rightarrow 6a + 4b = 0$.

Từ những điều trên, ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\6a + 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 3\\a = 2\end{array} \right.$.

Như vậy, $y = f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x$.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Như vậy, $f\left( x \right) = {x^3} - 4{x^2}$ không phải là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là: D

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$ có $a > 0$ và $\Delta \ge 0$. Khi đó, $f\left( x \right)$ luôn không âm trên tập số thực hay $f\left( x \right) \ge 0\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: B

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x$ có: $a = 1 > 0$ và $b = - 2022$ và $c = 0$.

$Δ={(-2022)}^{2}-4.0.1={2022}^{2}>0\Rightarrow \sqrt{Δ}=2022$

Do đó, $f\left( x \right) = {x^2} - 2022x = 0$ có hai nghiệm:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) + 2022}}{{2.1}} = 2022$; ${x_2} = \frac{{ - \left( { - 2022} \right) - 2022}}{{2.1}} = 0$

Như vậy, $f\left( x \right)$ mang dấu âm trên khoảng $\left( {0;2022} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 0$ vào các bất phương trình đã cho ta thấy bất phương trình ở đáp án D thỏa mãn ${3.0^2} - 3.0 - 1 = - 1 < 0$ nên $x = 0$ là một nghiệm của bất phương trình $3{x^2} - 3x - 1 < 0$.

Đáp án đúng là: A

Xét tam thức bậc hai $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1$ có:

$a = - 4 < 0$

$\Delta = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) = - 12 < 0$

Do đó, $f\left( x \right) = 2x - 4{x^2} - 1 < 0$ với mọi số thực $x$

Hay $2x - 4{x^2} < 1$ với mọi số thực $x$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình $2x - 4{x^2} < 1$ là: $S = \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: – 3 – 2 = – 5 < 0, do đó khi $x = - 3$ thì vế phải của phương trình âm, mà vế trái luôn không âm. Vậy giá trị $x = - 3$ không thể là nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: D

Bình phương hai vế của phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ ta được:

$2{x^2} - 5x - 9 = 3{x^2} - 2x + 3 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 0 \Leftrightarrow x \in \emptyset$.

Vậy phương trình $\sqrt {2{x^2} - 5x - 9} = \sqrt {3{x^2} - 2x + 3}$ vô nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau, côsin, tang, côtang đối nhau nên với hai góc bù nhau $\alpha$ và $180^\circ - \alpha$ ($0^\circ < \alpha < 180^\circ$), ta có:

$\sin \alpha = \sin \left( {180^\circ - \alpha } \right)$;

$\cos \alpha = - \cos \left( {180^\circ - \alpha } \right)$;

$\tan \alpha = - \tan \left( {180^\circ - \alpha } \right)\,\,\,\,\,\left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)$;

$\cot \alpha = - \cot \left( {180^\circ - \alpha } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A = \tan 1^\circ \cdot \tan 2^\circ \cdot \tan 3^\circ ...\tan 88^\circ \cdot \tan 89^\circ$

$= \left( {\tan 1^\circ \cdot \tan 89^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \tan 88^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \tan 46^\circ } \right) \cdot \tan 45^\circ$

$= \left( {\tan 1^\circ \cdot \cot 1^\circ } \right) \cdot \left( {\tan 2^\circ \cdot \cot 2^\circ } \right)...\left( {\tan 44^\circ \cdot \cot 44^\circ } \right) \cdot 1 = 1$

Đáp án đúng là: D

Công thức tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{{abc}}{{4R}}$, do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.

Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A$ nên đáp án B sai.

Theo định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$, do đó đáp án C sai.

Đáp án đúng là: A

Theo định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$.

Suy ra $R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{24}}{{2\sin 150^\circ }} = 24$.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos B = {6^2} + {8^2} - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ = 52$.

Suy ra$AC = 2\sqrt {13}$.

Đáp án đúng là: C

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OD}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là:$\,\overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow {DA} ,\,\overrightarrow {BC} ,\,\overrightarrow {CB} ,\,\overrightarrow {EF} ,\,\overrightarrow {FE}$.

Vậy có 6 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất giao hoán và quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {IA} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {IB} \ne \overrightarrow {BI}$ nên đáp án A sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành đối với hình bình hành $ABCD$, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD}$ nên đáp án B sai.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$. Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {DD} = \vec 0$, do đó đáp án C đúng.

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow 0$ nên đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC\;$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$.

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = - \overrightarrow {GA} \Leftrightarrow \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {AG}$.

Do đó, $\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG$.

Giả sử điểm $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$, khi đó $AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $ABC$ nên $AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {GB} - \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG} } \right| = AG = 4$.

Đáp án đúng là: C

Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên ta có $AG = \frac{2}{3}AM,\,AG = 2GM$.

Hai vectơ $\overrightarrow {GA}$ và $\overrightarrow {GM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {GA} = - 2\overrightarrow {GM}$. Vậy đáp án A và B đều sai.

Hai vectơ $\overrightarrow {GA}$ và $\overrightarrow {AM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {GA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM}$. Vậy đáp án C đúng và đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {IB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}$.

Vì $CM = 2MB$ nên $BM = \frac{1}{3}BC$, do đó $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$.

Ta có: $\overrightarrow {IM} = \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)$

$= \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác vectơ $\overrightarrow 0$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số thực được xác định bởi

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ vuông góc với nhau nên $\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos 90^\circ = 0$.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$ ta có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} = {1^2} + {2^2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ = 3$.

Suy ra $AC = \sqrt 3$.

Theo hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos \widehat {ACB} = \frac{{A{C^2} + B{C^2} - A{B^2}}}{{2 \cdot AC \cdot BC}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {2^2} - {1^2}}}{{2 \cdot \sqrt 3 \cdot 2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left( {\left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}} \right) = - \left( {2 \cdot \sqrt 3 .\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = - 3$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sau:

Cây cầu có dạng hình parabol có phương trình $y = a{x^2} + bx + c$ với $a \ne 0$.

Ta có:$AH = 4 \Rightarrow OH = \frac{{200}}{2} - 4 = 96\,\,\left( {\rm{m}} \right)$; $MH = 12 - 10 = 2\,\left( {\rm{m}} \right)$; $OA = OB = 100\,\,\left( {\rm{m}} \right)$

Do đó, $A\left( { - 100;0} \right)$, $B\left( {100;0} \right)$, $M\left( { - 96;2} \right)$.

Do parabol đi qua ba điểm $A\left( { - 100;0} \right)$, $B\left( {100;0} \right)$, $M\left( { - 96;2} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}a.{\left( { - 100} \right)^2} + b.\left( { - 100} \right) + c = 0\\a{.100^2} + b.100 + c = 0\\a.{\left( { - 96} \right)^2} + b.\left( { - 96} \right) + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 1}}{{392}}\\b = 0\\c = \frac{{1250}}{{49}}\end{array} \right.$.

Do đó, phương trình parabol là: $y = - \frac{1}{{392}}{x^2} + \frac{{1250}}{{49}}$.

Đỉnh parabol có hoành độ $x = 0$ (từ hình vẽ) nên có tung độ là: $y = \frac{{1250}}{{49}} \approx 25{,}5$.

Độ cao của cầu chính là tung độ của đỉnh parabol.

Vậy độ cao của cầu xấp xỉ 25,5 m.

Ta mô phỏng bài toán như sau:

Vì tam giác $AHB$ vuông tại $H$, theo định lí Pythagore ta có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {5^2} + {25^2} = 650$

Suy ra $AB = 5\sqrt {26}$.

Lại có: $\cos \widehat {HAB} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{5\sqrt {26} }} = \frac{1}{{\sqrt {26} }}$, suy ra $\widehat {HAB} \approx 79^\circ$.

Ta có: $\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC} = 79^\circ + 45^\circ = 124^\circ$.

Tứ giác $AHBC$ có: $\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {ACB} + \widehat {HBC} = 360^\circ$.

Suy ra $\widehat {ACB} = 360^\circ - \left( {\widehat H + \widehat {HAC} + \widehat {HBC}} \right) = 360^\circ - \left( {90^\circ + 124^\circ + 90^\circ } \right) = 56^\circ$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{AB\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{5\sqrt {26} \cdot \sin 45^\circ }}{{\sin 56^\circ }} \approx 21{,}75$.

Vậy chiều cao $BC$ của cây xấp xỉ 21,75 m.

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$.

Suy ra $AM = {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right)$

Lại có $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = c \cdot b.\cos A = bc \cdot \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)$

Nên $A{M^2} = \frac{1}{4}\left( {{c^2} + 2.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right) = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}$.

Theo tính chất đường phân giác thì $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}$.

Suy ra $\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{b}{c}\overrightarrow {DC\,} \,\,\,\,\,\left( * \right)$

Mặt khác $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$ thay vào (*) ta được

$$\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC}$$

$$\Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2}$$

$$\Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc.\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2}$$

$$\Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)$$

Vậy ${\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right)$.