Bài tập Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có f(1) = $\frac{1}{3}$.

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{{x}^{2}+2x-3}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{x(x-1)}{(x-1)(x+3)}=\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{x}{x+3}=\frac{1}{3}=f(1)$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho không xác định tại x = 1 nên không liên tục tại x = 1.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy, hàm số trên không xác định tại các điểm x = 0, x = 2 và x = −2 nên không liên tục tại các điểm đó. Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{1-2x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x+1-1+2x}{x(\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x})}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x}}=2$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi $f(0)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=2$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho không xác định tại điểm x = 2 nên không liên tục tại điểm đó. Vậy đáp án A là đáp án sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }({x}^{3}-5x+7)=5$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số trên không xác định tại x = 0 và x = 4. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Để hàm số liên tục trên ℝ thì:

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{{x}^{2}+6x}{5x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x(x+6)}{5x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x+6}{5}=\frac{6}{5}=f(0)$.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy hàm số trên không xác định tại x = 1 nên không liên tục tại x = 1. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }2(\sqrt{x+1}+1)=4=f(0)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt $f\left( x \right) = \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}$

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.$.

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt 2 \left( {2 - 1} \right)}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$ và $f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra hàm số liên tục tại x = $\sqrt 2$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 3}}$ không xác định tại x = 3 nên gián đoạn tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số liên tục tại x = 1 $\Leftrightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5$. Suy ra f(1) = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+) Với x > -1, ta có: $f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {3 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}$

$= \frac{{3 + 2x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}$.

+) Vì x $\ne$ -1 nên hàm số liên tục trên khoảng (-1; +$\infty$).

+) Với x $\le$ -1, ta có: f(x) = 2023x + 2024, là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên (-$\infty$; -1] .

+) Tại x = -1, ta có: f(-1) = 2023.(-1) + 2024 = 1.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2023x + 2024} \right) = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}} \right) = 1$

Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 1$ nên hàm số liên tục tại x = -1.

+) Tại x = 0, ta có: f(0) = $\frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1$

Nhận thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)$ = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5; x = -1 và x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì hàm số $y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}$ có tập xác định: D = ℝ\{3} nên hàm số gián đoạn tại điểm

x$_{0}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: $f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}$.

Vậy $f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}$.

b) Đúng. Ta có: g(1) = -1 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1$ nên $g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$.

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 1.

c) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}$

d) Đúng. Hàm số g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 1.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 1.

Nên hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng (-$\infty$; -1), ta có: f(x) = x$^{2}$ + x + 1. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; -1) nên hàm số liên tục tại điểm x = -2.

b) Sai. Trên khoảng (-1; 1), ta có: f(x) = x + 2. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1) nên hàm số liên tục tại điểm x = 0.

c) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = 1$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1$. Suy ra hàm số liên tục tại x = -1.

d) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5$. Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có hàm số $y = \cos \frac{{\pi x}}{2}$ xác định trên [-1; 1] và hàm số y = x – 1 xác định trên (-$\infty$; -1) $\cup$ (1; +$\infty$) nên hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

b) Sai. g(-1) = $\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

c) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = - 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right)$

Do đó, hàm số g(x) không liên tục tại x = -1.

d) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0$ đồng thời g(1) = $\cos \frac{\pi }{2} = 0$.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)$. Vậy hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Khi x = -2, ta có f(-2) = -6.

b) Sai. f(-2) = -6.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 3} \right) = - 5$

d) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 5 \ne f\left( { - 2} \right) = - 6$ nên hàm số f(x) bị gián đoạn tại x = -2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

Hàm số h(x) xác định trên khoảng (-$\infty$; 0), (0; 2) và (2; +$\infty$). Suy ra, ý a, b đúng.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 2x = 0\end{array} \right.$ $\rightarrow$ h(x) không liên tục tại x = 0.

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}h\left( 2 \right) = 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {3x - 1} \right) = 5\end{array} \right.$ $\rightarrow$ h(x) liên tục tại x = 2

a) Đúng. Hàm số liên tại tục tại x = -1

b) Đúng. Hàm số liên tục tại x = 3.

c) Sai. Hàm số gián đoạn tại x = 0.

d) Đúng. Hàm số liên tục tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 72.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right) = 4 + 4 = 8$.

và f(4) = 8. Do đó, hàm số liên tục tại x = 4 Þ a = 4.

Khi đó: $P = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)} \right)^2} + f\left( 4 \right) = {8^2} + 8 = 64 + 8 = 72$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f(3) = 3$^{2}$ - 4.3 + 3 = 0

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 2$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)$ nên hàm số gián đoạn tại x$_{0}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16.

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + 20} \right) = 32$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32$

f(4) = 3×4 + 20 = 32.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)$ nên hàm số liên tục tại x$_{0}$ = 4.

Do đó, a = 4 $\Rightarrow$ 2a = 2×4 = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: f(1) = -2.1 = -2.

Lại có:

$$\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2 - x} - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2 - x} + 1}}{{ - 1}} = - 2\end{array} \right.$$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$ nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy m = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5.

Ta có: v(5) = 10 và $\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} 10 = 10$ và $\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} \left( {{t^2} - 5t + 10} \right) = 10$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} v\left( t \right) = f\left( 5 \right)$ nên hàm số liên tục tại t = 5. Do đó, a = 5.