Bài tập Xét tính bị chặn của dãy số lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: u$_{n}$ = n ≥ 1 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ và khi n → +∞ thì u$_{n}$ → +∞.

Vậy u$_{n}$ bị chặn dưới và không bị chặn trên.

Đáp án đúng là: B

Dãy số (u$_{n}$) là dãy số hữu hạn với n ∈ [1; 9].

⟹ u$_{1}$ ≤ u$_{n}$ ≤ u$_{9}$ $\Leftrightarrow$ 1 ≤ u$_{n}$≤ 81.

Vậy dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Ta có: u$_{n}$ = 4 – n ≤ 3 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ và khi n → +∞ thì u$_{n}$ → –∞.

Vậy u$_{n}$ bị chặn trên và không bị chặn dưới.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$0 < {u_n} = \frac{2}{n} \le 2\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Đáp án đúng là: A

Ta có: -1 ≤ u$_{n}$ = sin(n) ≤ 1, ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy u$_{n}$là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}$> 0 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ u$_{n}$ bị chặn dưới.

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{n + 1}}{{4n + 2}}$=$\frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{{4n + 2}}$

Mặt khác: $\frac{1}{{4n + 2}} \le \frac{1}{6} \Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{4} + \frac{1}{2}.\frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

⟹ u$_{n}$ bị chặn trên.

Vậy u$_{n}$ bị chặn.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}$> 0 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$ ⟹ u$_{n}$ bị chặn dưới.

Ta có: u$_{n}$ = $\frac{{4n + 2}}{{n + 1}}$=$4 - \frac{2}{{n + 1}}$< 4 ⟹ u$_{n}$ bị chặn trên.

Vậy u$_{n}$ bị chặn: 0 < u$_{n}$ < 4.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $0 < {u_n} = \frac{1}{n} \le 1\;\forall n \in {\mathbb{N}^*}.$

Vậy dãy số u$_{n}$ = $\frac{1}{n}$ bị chặn.

Đáp án đúng là: B

Ta có: -1 ≤ u$_{n}$ = 2cos(n) ≤ 1 ∀ n ∈ ℕ$^{*}$.

Suy ra u$_{n}$ = 2cos(n) là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: D

Khi n → +∞ thì u$_{n}$ → +∞ ⟹ Dãy không bị chặn trên.

Xét phương trình bậc 2 có dạng:

y = 2x$^{2}$ – ax (x ≥ 1) (1).

Phương trình (1) có đạt cực tiểu tại x = $\frac{{ - \,( - \,a)}}{{2.2}} = \frac{a}{4}$

Giá trị cực tiểu của (1) là: y$_{min}$ = $2.{\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} - a.\frac{a}{4} = \frac{{ - \,{a^2}}}{8}$.

$\Leftrightarrow$ y ≥ $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$ ⟹ u$_{n}$ ≥ $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$.

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán: $\frac{{ - \,{a^2}}}{8}$= – 5 ⟹ a$^{2}$ = 40.

a > 5 suy ra a = $2\sqrt {10}$.

Đáp án đúng là: C

Xét u$_{n}$ = n$^{2}$ + 1.

Do n ∈ ℕ$^{*}$ => n ≥ 1 => n$^{2}$ + 1 ≥ 2.

Do đó dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Khi n tiến ra vô cùng thì n$^{2}$ + 1 cũng tiến ra vô cùng nên không bị chặn trên.

Đáp án đúng là: D

a có ${u_n} = \frac{n}{{n + 1}}$. Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên n > 0 và n < n + 1.

$\Rightarrow 0 < \frac{n}{{n + 1}} < 1\quad \forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Do đó dãy số (u$_{n}$) vừa bị chặn dưới bởi 0, vừa bị chặn trên bởi 1 nên nó là dãy số bị chặn.

Đáp án đúng là: A

${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 2}} = \frac{{2\left( {n + 2} \right) - 5}}{{n + 2}} = 2 - \frac{5}{{n + 2}}$.

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n + 2 > 0 \Rightarrow \frac{5}{{n + 2}} > 0 \Rightarrow 2 - \frac{5}{{n + 2}} < 2$.

Do đó u$_{n}$ < 2 với mọi n ∈ ℕ$^{*}$.

Lại có n ≥ 1 nên $- \frac{5}{{n + 2}} \ge - \frac{5}{3} \Rightarrow {u_n} \ge \frac{1}{3}$. Do đó (u$_{n}$) bị chặn.

Đáp án đúng là: C

Nếu n chẵn: ${u_n} = \frac{1}{{{n^2} + 2}}$. Vì $n \ge 2 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 6 \Rightarrow 0 < {u_n} \le \frac{1}{6}$.

Nếu n lẻ: ${u_n} = \frac{{ - 1}}{{{n^2} + 2}}$. Vì $n \ge 1 \Rightarrow {n^2} + 2 \ge 3 \Rightarrow - \frac{1}{3} \le {u_n} < 0$.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: $- \frac{1}{3} \le {u_n} \le \frac{1}{6},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Dãy số bị chặn trong đoạn này.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}}$.

${u_n} = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \ldots + \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow 0 < \frac{1}{{n + 1}} \le \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \le 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1$.

Vậy dãy số bị chặn dưới bởi $\frac{1}{2}$ và bị chặn trên bởi $1$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì −1 ≤ cosn ≤ 1 nên 1 ≤ cosn + 2 ≤ 3 nên dãy số bị chặn.

b) Sai. Do n ∈ ℕ$^{*}$nên 3$^{n}$ ≥ 3, dãy số bị chặn dưới bởi 3 và tăng lên vô hạn nên không bị chặn trên.

c) Đúng. Ta có ${u_n} = \frac{{ - n - 1}}{n} = - 1 - \frac{1}{n}$. Vì $\frac{1}{n} > 0 \Rightarrow - 1 - \frac{1}{n} < - 1$. Do đó dãy số này bị chặn trên bởi −1.

d) Đúng. Đây chính là định nghĩa về tính bị chặn của dãy số.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì n ∈ ℕ$^{*}$ nên cả tử và mẫu đều dương.

b) Sai. Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4n + 5}}{{n + 2}} - \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{3}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} > 0$, đây là dãy số tăng.

c) Đúng. Vì là dãy số tăng nên số hạng đầu tiên ${u_1} = \frac{{4 \cdot 1 + 1}}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}$ là giá trị nhỏ nhất, tức là giá trị chặn dưới của dãy số là $\frac{5}{2}$.

d) Đúng. Ta có ${u_n} = \frac{{4n + 1}}{{n + 1}} = \frac{{4\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 4 - \frac{3}{{n + 1}} < 4$. Dãy số bị chặn trên bởi 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. −1 ≤ sinn ≤ 1; −1 ≤ cosn ≤ 1.

b) Đúng. Theo BĐT Bunhiacốpki:

${\left( {2\sin n + 3\cos n} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {3^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}n + {{\cos }^2}n} \right) = 13 \cdot 1 = 13$.

c) Đúng. Từ ý b suy ra $- \sqrt {13} \le 2\sin n + 3\cos n \le \sqrt {13} \Rightarrow - \frac{{\sqrt {13} }}{4} \le {u_n} \le \frac{{\sqrt {13} }}{4}$.

d) Sai. Theo câu c, giá trị chặn dưới lớn nhất của dãy số này là $- \frac{{\sqrt {13} }}{4}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì $n + 2 > n \Rightarrow \sqrt {n + 2} > \sqrt n \Rightarrow {u_n} > 0$.

b) Đúng. ${u_n} = \frac{{\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)}}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }} = \frac{2}{{\sqrt {n + 2} + \sqrt n }}$.

c) Sai. Khi mẫu số lớn vô hạn thì dãy số u$_{n}$ giảm dần về 0, điều này chứng tỏ u$_{n}$ luôn nhỏ hơn số hạng đầu tiên u$_{1}$. Dãy số có bị chặn trên.

d) Đúng. Do mẫu số tăng dần nên phân số u$_{n}$ giảm dần (dãy giảm). Vậy giá trị chặn trênlớn nhất đạt được tại ${u_1} = \sqrt 3 - 1$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. ${u_1} = \frac{{{1^2} + 1}}{{1!}} = 2$; ${u_2} = \frac{{{2^2} + 1}}{{2!}} = \frac{5}{2}$.

b) Đúng. Tử và mẫu đều dương với mọi $n \ge 1$.

c) Sai. Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}}{{\left( {n + 1} \right)!}} \cdot \frac{{n!}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{{n^3} + {n^2} + n + 1}}$.

Với n ≥ 2, ta dễ thấy tử số luôn nhỏ hơn mẫu số nên $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1$.

Đây là dãy số giảm kể từ số hạng thứ 2 trở đi chứ không phải dãy tăng.

d) Đúng. Dãy số bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi giá trị lớn nhất trong các số hạng (ở đây là u$_{2}$ = 2,5). Do đó dãy số bị chặn.

Đáp án: 1

Vì dãy (u$_{n}$) là một dãy tăng và bị chặn dưới nên số hạng nhỏ nhất của dãy là ${u_1} = \frac{{3 \cdot 1 - 1}}{{1 + 1}} = 1$

Đáp án: 2

${u_n} = n + \frac{4}{n}$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $n$ và $\frac{4}{n}$:

${u_n} = n + \frac{4}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{4}{n}} = 2 \cdot 2 = 4$. Dấu “=” xảy ra khi n = 2 ∈ ℕ$^{*}$.

Do đó u$_{2}$ = 4 => m = 2.

Đáp án: 9

${u_n} = \frac{{2({n^2} + 1) + 5n}}{{{n^2} + 1}} = 2 + \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}}$.

Ta có n$^{2}$ + 1 ≥ 2n $\Rightarrow \frac{{5n}}{{{n^2} + 1}} \le \frac{{5n}}{{2n}} = 2{,}5$.

Suy ra u$_{n}$ ≤ 2 + 2,5 = 4,5.

Dấu “=” xảy ra khi n = 1 ∈ ℕ$^{*}$.

Vậy giá trị lớn nhất của dãy số là u$_{1}$ = 4,5.

Do đó P = 9.

Đáp án: 5

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho mẫu số: ${n^2} + 9 \ge 2\sqrt {{n^2} \cdot 9} = 6n$.

$\Rightarrow {u_n} = \frac{{10n}}{{{n^2} + 9}} \le \frac{{10n}}{{6n}} = \frac{5}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi n = 3 ∈ ℕ$^{*}$.

Suy ra $M = \frac{5}{3} \Rightarrow 3M = 5$.

Đáp án: 2

Xét dãy số ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$:

Ta có: ${u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}{{n + 1}} = 2 - \frac{3}{{n + 1}}$.

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n \ge 1 \Rightarrow 0 < \frac{3}{{n + 1}} \le \frac{3}{2} \Rightarrow 2 - \frac{3}{2} \le 2 - \frac{3}{{n + 1}} < 2 \Rightarrow 0{,}5 \le {u_n} < 2$.

Dãy số vừa bị chặn dưới bởi 0,5, vừa bị chặn trên bởi $2$ nên $({u_n})$ là dãy số bị chặn.

Xét dãy số ${v_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n} = n + \frac{1}{n}$:

Vì n ∈ ℕ$^{*}$ => n ≥ 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: ${v_n} = n + \frac{1}{n} \ge 2\sqrt {n \cdot \frac{1}{n}} = 2$.

Suy ra dãy số bị chặn dưới bởi 2.

Tuy nhiên, khi n tiến ra vô cùng, biểu thức v$_{n}$ cũng tiến ra vô hạn, do đó dãy số không bị chặn trên.

Vì không bị chặn trên nên (v$_{n}$) không phải là dãy số bị chặn.

Xét dãy số ${x_n} = \sin (n) + \cos (n)$:

${x_n} = \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)$

Vì $- 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow - \sqrt 2 \le {x_n} \le \sqrt 2$ với mọi $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Dãy số vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên nên (x$_{n}$) là dãy số bị chặn.

Xét dãy số y$_{n}$ = (−2)$^{n}$. Đây là dãy số đan dấu

Dãy số này không bị chặn trên cũng không bị chặn dưới.

Do đó, (y$_{n}$) không phải là dãy số bị chặn.

Vậy có tất cả 2 dãy số bị chặn.