Bài tập Xác định tọa độ các phép toán vectơ, tọa độ điểm, độ dài đoạn thẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có $AB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left( {\frac{{3 + 0}}{2};\frac{{1 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $2\overrightarrow a = \left( {8; - 6; - 2} \right)$ và $\overrightarrow b = \overrightarrow i + 2\overrightarrow j + \overrightarrow k$$\Rightarrow \overrightarrow b = \left( {1;2;1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow b = \left( {3;6;3} \right)$.

Do đó $2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {8 + 3; - 6 + 6; - 2 + 3} \right) = \left( {11;0;1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\frac{3}{2}\overrightarrow a = \left( { - 3;9;3} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A(2; −3; 5) lên Oy. Suy ra H(0; −3; 0).

Vì A' đối xứng với A qua trục Oy nên H là trung điểm đoạn AA'.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = - 2\\{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = - 3\\{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 5\end{array} \right.$ Þ A'(−2; −3; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {BA} = \left( { - 2;4; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {OB} = \left( {3; - 1;4} \right)$ suy ra $2\overrightarrow {BA} = \left( { - 4;8; - 4} \right)$.

Vậy $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {OB} = \left( { - 7;9; - 8} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CK} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} - \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GF} - \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GK} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} - \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0$.

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác EFK.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 0 + 2}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{3 - 1 + 4}}{3} = 2\\{z_G} = \frac{{2 + 5 - 1}}{3} = 2\end{array} \right.$. Vậy G(1; 2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {8; - 7; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {NP} = \left( { - 1;10; - 3} \right)$.

Suy ra $MN = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt {114}$ và $NP = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {110}$.

Chu vi của hình bình hành MNPQ là $2\left( {MN + NP} \right) = 2\sqrt {114} + 2\sqrt {110} = \sqrt {456} + \sqrt {440}$.

Khi đó a = 456; b = 440. Vậy a – b = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow b - \overrightarrow a + 2\overrightarrow c = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow b = \overrightarrow a - 2\overrightarrow c = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - x;2 - y;3 - z} \right)$ và $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - x; - 4 - y;9 - z} \right)$.

Ta có MA = 2 MB $\Rightarrow \overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\left( { - 2 - x} \right)\\2 - y = - 2\left( { - 4 - y} \right)\\3 - z = - 2\left( {9 - z} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 2\\z = 7\end{array} \right.$

Þ M(−1; −2; 7). Khi đó $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1; - 2;7} \right)$. Vậy $OM = \sqrt {54}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Véctơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ có toạ độ (1; 2; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow a = (1;1; - 2)}\\{\overrightarrow b = ( - 2;1;4)}\end{array}} \right.$ ⇒$\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ = (5; −1; −10).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (2−1; 1 – (−1); −4 – 2) = (1; 2; −6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (−1; 3; 3) ⇒ AB = $\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3{}^2 + {3^2}}$ = $\sqrt {19}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi D(x; y; z) là điểm cần tìm.

Ta có: $\overrightarrow {AB}$ = (1; −3; 4), $\overrightarrow {DC}$ = (−3 – x; 5 – y ; 1 – z).

Có $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {DC}$⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 = 2\left( { - 3 - x} \right)}\\{ - 3 = 2\left( {5 - y} \right)}\\{4 = 2\left( {1 - z} \right)}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{ - 7}}{2}}\\{y = \frac{{13}}{2}}\\{z = - 1}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d)Đúng.

a) Sai. $\overrightarrow a + \overrightarrow b$ = (2 + (−1); −1 + 5; 3 + 2) = (1; 4; 5).

b) Đúng. $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ = (2 – (−1); −1 – 5; 3 – 2) = (3; −6; 1).

c) Đúng. 3$\overrightarrow b$ = (−1∙3; 3∙5; 3∙2) = (−3; 15; 6).

d) Đúng. $2\overrightarrow a - \overrightarrow b$ = (2∙2 +1; −1∙2 – 5; 2∙3 – 2) = (5; −7; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi G(x; y; z) là trọng tâm tam giác ABC.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = \frac{{ - 1 + 4 + 3}}{3} = 2}\\{y = \frac{{0 + 2 + 1}}{3} = 1}\\{z = \frac{{3 + 0 - 3}}{3} = 0}\end{array}} \right.$Þ G(2; 1; 0).

b) Đúng. Gọi D(x; y; z) là đỉnh của hình bình hành ABCD.

Do D là một đỉnh của hình bình hành ABCD nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 1 = 3 - 4}\\{y - 0 = 1 - 2}\\{z - 3 = - 3 - 0}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 2}\\{y = - 1}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ ⇒ D(−2; −1; 0).

c) Sai. Gọi M(a; b; c) thoả mãn $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB}$

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 1;y;z - 3} \right);$$\overrightarrow {CB} = \left( {1;1;3} \right)$ ⇒ $3\overrightarrow {CB} = \left( {3;3;9} \right).$

$\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {CB}$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 1 = 3}\\{y = 3}\\{z - 3 = 9}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2}\\{y = 3}\\{z = 12}\end{array}} \right..$

Vậy M(2; 3; 12).

Suy ra a + b + c = 17.

d) Sai. Gọi M(a; b; c) ∈ Ox ⇒ b = 0; c = 0.

$\overrightarrow {BM} = \left( {a - 4; - 2;0} \right)$; $\overrightarrow {AC} = (4;1; - 6).$

BM vuông góc với đường thẳng AC khi $\overrightarrow {BM} \bot \overrightarrow {AC}$ ⇔ $\overrightarrow {BM} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$

Do đó: 4(a – 4) − 2∙1 = 0 ⇔ 4a = 18 ⇔ a = $\frac{9}{2}$.

Khi đó: 4a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ = 81.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. −2$\overrightarrow a$ + $\overrightarrow b$ = (−2∙2 − 1; −2∙1; −2) = (−5; −2; −2).

b) Sai. $\overrightarrow b \bot \overrightarrow c$ ⇔ $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow c$ = 0 ⇔ − m – 8 = 0 ⇔ m = −8.

c) Sai. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2}}{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }} = \frac{{ - 2}}{5}$.

d) Đúng.$\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\left| {\overrightarrow a } \right|$ ⇔ $\sqrt {{m^2} + 20} = 2\sqrt 5$ ⇔ m$^{2}$ + 20 = 20 ⇔ m = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow v = (1;3; - 2n)}\end{array}} \right.$ .

Để hai vecto $\overrightarrow v$, $\overrightarrow {AB}$ cùng phương ⇔ $\frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 2n}}{1}$ ⇔ n = $\frac{{ - 1}}{2}$.

b) Đúng. Gọi D(a; b; c) là một đỉnh của hình bình hành ABCD.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {DC} = ( - a;2 - b; - c)}\end{array}} \right.$.

Để ABCD là hình bình hành ⇔ $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - a = 1}\\{2 - b = 3}\\{ - c = 1}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 1}\\{b = - 1}\\{c = - 1}\end{array}} \right.$.

Vậy D(−1; −1; −1).

c) Đúng. Ta có: điểm E(x; y; −2).

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow {BC} = ( - 2; - 3; - 4)}\\{\overrightarrow {BE} = (x - 2;y - 5; - 6)}\end{array}} \right.$.

Để B, C, E thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {BC}$, $\overrightarrow {BE}$ cùng phương

⇔ $\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{{ - 6}}{{ - 4}} = \frac{3}{2}$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{y = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$ ⇒ x + y = $\frac{{ - 1}}{2}$.

d) Sai. Ta có M ∈ (Oxy) ⇒ M(m; n; 0), với $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {AM} = (m - 1;n - 2; - 3)}\end{array}} \right.$.

Để A, B, M thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {AB}$ , $\overrightarrow {AM}$ cùng phương

⇔ $\frac{{m - 1}}{1} = \frac{{n - 2}}{3} = \frac{{ - 3}}{1}$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = - 2}\\{n = - 7}\end{array}} \right.$ ⇒ M(−2; −7; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng . b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow a + \overrightarrow b$= (3; −3; −3).

b) Đúng. $\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3$.

c) Sai. $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương.

d) Đúng. $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Giả sử điểm cần tìm có toạ độ E(x; y; z), khi đó $\overrightarrow {CE}$ = (x – 7; y – 4; z + 2) và $\overrightarrow {EB} = (1 - x;2 - y; - 3 - z)$.

Theo giả thiết $\overrightarrow {CE} = 2\overrightarrow {EB}$ nên ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 7 = 2 - 2x}\\{y - 4 = 4 - 2y}\\{z + 2 = - 6 - 2z}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{ - 8}}{3}}\end{array}} \right.$.

Do đó E$\left( {3;\frac{8}{3};\frac{{ - 8}}{3}} \right)$. Suy ra x + y + z = 3 + $\frac{8}{3}$ − $\frac{8}{3}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,4

Gọi M(a; b; c) là điểm nằm trên đoạn BC.

Ta có $\overrightarrow {CM} = \left( {a + 3;b - 6;c - 4} \right)$và $\overrightarrow {MB} = \left( { - a;3 - b;1 - c} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {CM} = 2\overrightarrow {MB}$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a + 3 = - 2a}\\{b - 6 = 6 - 2b}\\{c - 4 = 2 - 2c}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 1}\\{b = 4}\\{c = 2}\end{array}} \right.$ ⇒ M(−1; 4; 2) ⇒ $\overrightarrow {AM} = \left( { - 3;4;2} \right)$.

Do đó AM = $\sqrt {29}$ ≈ 5,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

M ∈ (Oxz) ⇒ M(x; 0; z); $\overrightarrow {AB} = \left( {7;3;1} \right)$⇒ AB = $\sqrt {59}$; $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 2; - 3;z - 1} \right)$.

A, B, M thẳng hàng nên $\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AB}$ (k ∈ ℝ)

Nên $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x + 2 = 7k}\\{ - 3 = 3k}\\{z - 1 = k}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 9}\\{ - 1 = k}\\{z = 0}\end{array}} \right.$ ⇒ M(−9; 0; 0).

$\overrightarrow {BM} = \left( { - 14; - 6; - 2} \right)$; $\overrightarrow {AM} = \left( { - 7; - 3; - 1} \right)$.

BM = 2$\sqrt {59}$; AM = $\sqrt {59}$

⇒ $\frac{{AM}}{{BM}} = \frac{1}{2}$ = 0,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Giả sử M(a; b; c).

Ta có: $\overrightarrow {BM} = \left( {a;b - 3;c - 1} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;3;3} \right)$.

Mà $\overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {BM}$⇒ $\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}$.

Khi đó $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = \frac{1}{3} \cdot \left( { - 3} \right)}\\{b - 3 = \frac{1}{3} \cdot 3}\\{c - 1 = \frac{1}{3} \cdot 3}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = - 1}\\{b = 4}\\{c = 2}\end{array}} \right.$⇒ M(−1; 4; 2).

Do đó M(−1; 4; 2).

Vậy b = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10,6

Theo công thức tính độ dài vectơ ta có:

$AB = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{( - 1 + 2)}^2}} = \sqrt 3$,

$BC = \sqrt {1 + 9 + 9} = \sqrt {19}$;

$AC = \sqrt {0 + 4 + 16} = 2\sqrt 5$.

Chu vi tam giác ABC: $\sqrt 3 + \sqrt {19} + 2\sqrt 5$ ≈ 10,6.