Bài tập Xác định tọa độ các điểm của một hình lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Với A(–1; 0), B(–2; 3), C(1; 2) ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {2;2} \right).$

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

Gọi D(x; y). Khi đó $\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x;2 - y} \right)$ nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 1\\2 - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm D cần tìm là D(2; –1).

Đáp án đúng là: A

Với A(–2; 3), B(5; 2), C(–1; 0), ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {7; - 1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CA} = \left( { - 1;3} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {CB} = \left( {6;2} \right).$

Suy ra $AB = 5\sqrt 2 ,{\rm{ }}AC = \sqrt {10} ,{\rm{ }}BC = 2\sqrt {10} .$

Do đó AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$.

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông tại C (theo định lí Pythagore đảo).

Đáp án đúng là: D

Ta có M là trung điểm của BC nên ${x_M} = \frac{{ - 3 + 8}}{2} = \frac{5}{2}.$

N là trung điểm của AC nên ${x_N} = \frac{{1 + 8}}{2} = \frac{9}{2}.$

P là trung điểm của AB nên ${x_P} = \frac{{1 + \left( { - 3} \right)}}{2} = - 1.$

Vậy ${x_M} + {x_N} + {x_P} = \frac{5}{2} + \frac{9}{2} - 1 = 6.$

Đáp án đúng là: C

Gọi D(x; y).

Vì C là trọng tâm tam giác ABD nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 = \frac{{ - 4 + 2 + x}}{3}\\ - 2 = \frac{{1 + 4 + y}}{3}\end{array} \right.$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = - 11\end{array} \right..$

Vậy D(8; –11).

Đáp án đúng là: D

Gọi A(x; y). Khi đó: $\overrightarrow {AM} = \left( {1 - x; - 1 - y} \right),\overrightarrow {GM} = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right).$

Ta có: $3\overrightarrow {GM} = \left( {1; - 3} \right)$.

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM}$.

Tức là: $\left\{ \begin{array}{l}1 - x = 1\\ - 1 - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2\end{array} \right.$.

Vậy A(0; 2).

Đáp án đúng là: B

Do M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB và $MN = \frac{1}{2}AB.$

Mà P là trung điểm của AB nên $AP = \frac{1}{2}AB$, do đó MN = AP.

Khi đó MNAP là hình bình hành nên $\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} .$

Gọi A(x; y). Ta có $\overrightarrow {PA} = \left( {x + 1;y - 6} \right)$ và $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 7} \right).$

Khi đó $\overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = - 2\\y - 6 = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3\\y = - 1\end{array} \right.$.

Vậy A(–3; –1).

Đáp án đúng là: D

Ta có S$_{ABC}$ = 3S$_{ABM}$ nên BC = 3BM, do đó $\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM}$ hoặc $\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} .$

Gọi M(x; y), khi đó $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right).$

Ta có $\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = 3\left( {x - 2} \right)\\ - 3 = 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right..$ Do đó M$_{1}$(1; 0).

Ta có $\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 = - 3\left( {x - 2} \right)\\ - 3 = - 3\left( {y - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right..$ Do đó M$_{2}$(3; 2).

Đáp án đúng là: C

Do N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh CA, AB nên ta có NP // BC và $NP = \frac{1}{2}BC.$

Mà M là trung điểm của BC nên $BM = \frac{1}{2}BC$, do đó NP = BM.

Suy ra tứ giác BPNM là hình bình hành nên $\overrightarrow {BP} = \overrightarrow {MN} .$

Gọi B(x; y). Ta có $\overrightarrow {BP} = \left( { - 1 - x;3 - y} \right)$ và $\overrightarrow {MN} = \left( {0;2} \right).$

Khi đó $\overrightarrow {BP} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 0\\3 - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right..$

Vậy B(–1; 1).

Đáp án đúng là: D

Gọi M(0; y) là điểm thuộc trục tung.

Khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {1;y + 1} \right)$ và $\overrightarrow {BM} = \left( { - 3;y - 1} \right).$

Điểm M cách đều hai điểm A, B khi và chỉ khi AM = BM.

Tức là AM$^{2}$ = BM$^{2}$

Ta có 1$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = (–3)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$

⇔ 1 + y$^{2}$ + 2y + 1 = 9 + y$^{2}$ – 2y + 1

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2.

Vậy tọa độ điểm M là M(0; 2).

Đáp án đúng là: A

Do I là trung điểm của CD nên ta đặt C(4 – x; –1 – y) và D(4 + x; –1 + y).

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {DC} = \left( { - 2x; - 2y} \right).$

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = - 2x\\ - 2 = - 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right..$

Do đó C(2; –2) và D(6; 0).