Bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2;3; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành nhận $\overrightarrow u = - \overrightarrow i = \left( { - 1;0;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua M và song song với Oy nhận $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ở đáp án B thỏa mãn.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua A(1; 1; 0) song song với BC nên nhận $\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương do đó có phương trình là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua A và song song BC nhận $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng $\frac{x}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Đáp án đúng là: B

Trung điểm của AB là I(0; 1; −1).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$ nên đường thẳng cần tìm cũng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Oxy) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {0;0;1} \right)$, $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;0} \right)$.

Có $\left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = - \left( {1; - 1;0} \right)$.

Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó đường thẳng d nhận $\overrightarrow u = \left( {1; - 1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - t\\z = - 1\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {1;3;5} \right)$.

Phương trình của đường thẳng : $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{5}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;1} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận $\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 5} \right)$.

Suy ra a = −1; b = −5. Do đó a + b = −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Theo giả thiết, đường thẳng d đi qua điểm A(2; −1; 3). Vì đường thẳng d song song với đường thẳng BC nên d nhận vectơ $\overrightarrow {BC}$ làm một vectơ chỉ phương.

Có $\overrightarrow {BC} = \left( {3;2;3} \right)$.

Khi đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {BC}$ được lập là: $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{3}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 4). Vì đường thẳng d song song với trục hoành Oy nên d nhận vectơ đơn vị của trục Oy là $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; 4) và có vectơ chỉ phương $\vec i$ sẽ có phương trình tham số là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 0 \cdot t}\\{y = 3 + 1 \cdot t}\\{z = 4 + 0 \cdot t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1}\\{y = 3 + t}\\{z = 4}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1).

Vì đường thẳng d song song với đường thẳng NP nên d nhận vectơ $\overrightarrow {NP}$ làm vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {NP} = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {NP}$ được viết như sau: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Gọi d là đường thẳng cần tìm.

Từ phương trình của mặt phẳng (P) và (Q), ta xác định được các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng nên d vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến này. Do đó, d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương.

$\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 5;5;5} \right) = - 5\left( {1; - 1; - 1} \right)$.

Đường thẳng d đi qua M(3; −1; 2) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1; - 1; - 1} \right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_I} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2}\\{{y_I} = \frac{{ - 1 + 5}}{2} = 2}\\{{z_I} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} = - 1}\end{array}} \right.$.

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta có được vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng d nên Δ nhận $\overrightarrow {{u_d}}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua I và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_d}}$ được viết lại là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 2t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Từ phương trình tổng quát của mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng: $\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {2;0; - 2} \right)$.

Rút gọn vectơ này bằng cách chia cho 2, ta được $\vec u = \left( {1;0; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương hoàn toàn hợp lệ.

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) với vectơ chỉ phương $\vec u$ được viết dưới dạng hệ phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 2}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.$.

Để kiểm tra xem điểm M(2; 2; 2) có nằm trên d hay không, ta thay tọa độ M vào hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2 = 1 + t}\\{2 = 2}\\{2 = 3 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.$.

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm M thuộc d.

d) Sai. Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số của phân thức không được phép bằng 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Phương trình đặc trưng của mặt phẳng (Oxy) là z = 0. Do đó, nó nhận vectơ đơn vị nằm trên trục Oz là $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Oxy) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\vec k} \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)$.

Vectơ $\vec v$ này cùng phương với $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Đúng. Vì đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec v = \left( { - 1; - 1;0} \right)$ với cao độ luôn bằng 0, nên mọi điểm trên d đều có cao độ z = 2 không thay đổi.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 3; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {1;1;0} \right)$ có phương trình $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y − 5 = 0, ta suy ra vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 0 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 0;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( { - 1; - 1; - 2} \right)$.

Nhân vectơ này với −1 để rút gọn, ta được vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;1;2} \right)$.

c) Sai. Theo định nghĩa, do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên d phải vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}$, chứ d không vuông góc với mặt phẳng (P).

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;1;2} \right)$ thì có phương trình chính tắc là: $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình tham số của d', ta trích xuất được ngay vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)$.

b) Đúng. Đường thẳng d song song với d' nên nhận $\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 + 4t}\end{array}} \right.$.

Thay t = 1 vào phương trình của d, ta được $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{0 = 1 - t}\\{3 = 1 + 2t}\\{5 = 1 + 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.$.

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên điểm B thuộc d.

c) Sai. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d' theo giả thiết đã cho nên chúng không có điểm chung, do đó chúng không thể cắt nhau.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 1; 1) và nhận $\vec u = \left( { - 1;2;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc là: $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Lấy các giá trị ở mẫu số của phương trình chính tắc, ta xác định được một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

b) Đúng. Vì đường thẳng d song song với đường thẳng d1 nên d cũng nhận $\overrightarrow {{u_1}}$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua M(−1; 2; 1) có dạng là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.$.

c) Đúng. Để kiểm tra điểm N(1; 1; 4), ta thay tọa độ N vào hệ phương trình tham số của d: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 = - 1 + 2t}\\{1 = 2 - t}\\{4 = 1 + 3t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2t = 2}\\{t = 1}\\{3t = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = 1$.

Tọa độ khớp hoàn toàn với giá trị t = 1.

d) Sai. Giao điểm của d và mặt phẳng (Oxy) phải có cao độ z = 0.

Thay z = 0 vào phương trình tham số thứ ba của d để giải ra t, sau đó thay t vào phương trình hoành độ x: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 + 3t = 0}\\{x = - 1 + 2t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = - \frac{1}{3}}\\{x = - 1 + 2\left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.$.

Vì hoành độ của giao điểm là $- \frac{5}{3}$ khác 0, nên mệnh đề sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -0,5

Từ phương trình chính tắc của đường thẳng d, ta xác định được vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3; - 2;4} \right)$.

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương dựa theo biểu thức đề bài là $\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {a;b; - 2} \right)$.

Vì hai đường thẳng này song song với nhau nên hai vectơ chỉ phương của chúng phải cùng phương.

Ta có: $\frac{a}{3} = \frac{b}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} = - 0{,}5 \Leftrightarrow a = - 1{,}5;b = 1$.

Tổng cần tìm là a + b = −1,5 + 1 = −0,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -2,4

Từ phương trình tham số của đường thẳng d', ta xác định được vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {2;5;4} \right)$.

Đường thẳng d song song với d' nên d cũng nhận $\overrightarrow {{u_{d'}}}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M(1; 2; −1) được viết dưới dạng hệ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + 5t}\\{z = - 1 + 4t}\end{array}} \right.$.

Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxz) nên có tung độ y bằng 0.

Thay y = 0 vào hệ phương trình tham số trên để giải ra t:

2 + 5t = 0 => 5t = −2 => t = −0,4.

Sử dụng giá trị t = −0,4 để tính tọa độ của điểm K trong một chuỗi biểu thức: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_0} = 1 + 2\left( { - 0{,}4} \right) = 0{,}2}\\{{z_0} = - 1 + 4\left( { - 0{,}4} \right) = - 2{,}6}\end{array}} \right.$.

Tổng giá trị biểu thức cần tính là x$_{0}$ + z$_{0}$ = 0,2 + (−2,6) = −2,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,4

Từ phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q), ta có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {6; - 3; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;2; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng d song song với giao tuyến của hai mặt phẳng nên d nhận tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương:

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right)2;\left( { - 1} \right)0 - 6\left( { - 1} \right);6 \cdot 2 - \left( { - 3} \right)0} \right) = \left( {5;6;12} \right)$.

Đường thẳng d cũng nhận $\vec u = \left( {2;m;n} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên $\vec u$ và $\vec v$ phải cùng phương.

Ta thiết lập chuỗi tỉ lệ để tìm m và n: $\frac{2}{5} = \frac{m}{6} = \frac{n}{{12}} = 0{,}4 \Leftrightarrow m = 2{,}4;n = 4{,}8$.

Hiệu cần tìm là n − m = 4,8 − 2,4 = 2,4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,33

Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Q) nên d vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến trên:

$\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 1; - 2} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2; −1) là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 3t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 1 - 2t}\end{array}} \right.$.

Giao điểm B của d với mặt phẳng (Oyz) có hoành độ x = 0. Thay vào phương trình đầu tiên ta giải được: 2 + 3t = 0 => t = $- \frac{2}{3}$.

Thay t vào biểu thức của y và z để tính hiệu y$_{0}$ - z$_{0}$ một mạch như sau:

${y_0} - {z_0} = \left( {2 - \left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) - \left( { - 1 - 2\left( { - \frac{2}{3}} \right)} \right) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,75

Đường thẳng d$_{1}$ nhận vectơ nối hai điểm $\overrightarrow {MN} = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đường thẳng d$_{2}$ song song với d$_{1}$ nên d$_{2}$ cũng nhận $\vec u = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Vì d$_{2}$ nằm trong mặt phẳng (R) nên điểm K(0; a; b) thuộc d$_{2}$ cũng phải nằm trên mặt phẳng (R).

Thay tọa độ K vào phương trình (R), ta có: a + b − 2 = 0 Þ b = 2 − a.

Ta có tọa độ điểm K(0; a; 2 − a). Vectơ nối M và K là $\overrightarrow {MK} = \left( { - 1;a;3 - a} \right)$.

Ta tính tích có hướng của $\overrightarrow {MK}$ và $\vec u$ để áp dụng công thức tính khoảng cách:

$\left[ {\overrightarrow {MK} ,\vec u} \right] = \left( {a \cdot 0 - \left( {3 - a} \right)0;\left( {3 - a} \right)1 - \left( { - 1} \right)0;\left( { - 1} \right)0 - a \cdot 1} \right) = \left( {0;3 - a; - a} \right)$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là độ dài đường cao hình bình hành:

$\frac{{\sqrt {{0^2} + {{\left( {3 - a} \right)}^2} + {{\left( { - a} \right)}^2}} }}{1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 6a + 9} = \sqrt {4{,}5} \Leftrightarrow 2{a^2} - 6a + 4{,}5 = 0$

$\Leftrightarrow 4{a^2} - 12a + 9 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2a - 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1{,}5$.

Với a = 1,5, ta suy ra b = 2 − 1,5 = 0,5.

Tích số cần tìm là a x b = 1,5 x 0,5 = 0,75.