Bài tập Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {DAB}$.

Dễ thấy $AB \bot AD \Rightarrow \widehat {DAB} = 90^\circ$. Vậy $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {BC}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \widehat {ABC}$.

Mà tam giác ABC vuông tại B. Nên $\widehat {ABC} = 90^\circ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {B'C'} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = 3.4.\cos 60^\circ = 6$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \widehat {BAC}$$\Leftrightarrow 6 = 4.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos 60^\circ$$\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 3$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = 90^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 45^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90^\circ$.

$\left( {\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {C'C} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = \left( {\overrightarrow {CE} ,\overrightarrow {CB'} } \right) = 135^\circ$ trong đó E là điểm đối xứng với C' qua C.

Đáp án đúng là: B

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD}$.

Do tam giác ACD đều nên $AM \bot CD \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} = 0$.

Và tam giác BCD đều nên BM CD $\Rightarrow \overrightarrow {BM} .\overrightarrow {CD} = 0$.

Vậy $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MB} } \right).\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CD} = 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD}$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Đáp án đúng là: A

Ta có

$\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}$.

Xét tam giác SBA vuông tại B ta có $\tan \widehat {SAB} = \frac{{SB}}{{AB}} = \sqrt 3$ $\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: B

C. Giả sử cạnh của tứ diện là a.

D. Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {DM} } \right|}} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} }}{{a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}$.

A. Mặt khác $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}$

B. $= AB.AM.\cos 30^\circ - AB.AD.\cos 60^\circ$$= a.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - a.a.\frac{1}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

C. Do đó $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DM} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{6}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EH} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = {a^2}$.

(vì $\overrightarrow {EH} = \overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AD}$ nên $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Do $\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AA'}$ nên $\left( {AC',\overrightarrow {BB'} } \right) = \left( {AC',\overrightarrow {AA'} } \right) = \widehat {C'AA'}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SD} } \right) = \widehat {BSD}$.

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên $BD = a\sqrt 2$.

Có $S{B^2} = S{D^2} = 2{a^2}$.

Xét $\Delta SBD$ có $\cos \widehat {BSD} = \frac{{S{B^2} + S{D^2} - B{D^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SD}} = \frac{{4{a^2} - 2{a^2}}}{{4{a^2}}} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat {BSD} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} } \right) = 0^\circ$.

Do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {DC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {DC} } \right| \cdot \cos 0^\circ = {3^2} = 9$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có BC$^{2}$ = AB$^{2}$+ AC$^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Do đó $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {BC'} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} } \right)$$= \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} \cdot \overrightarrow {CC'}$

$= - \frac{{{a^2}}}{2} + 0 + 0 + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có $\left( {\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {BSC}$.

Khi đó $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC}$.

b) Đúng. $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {BS} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {CS} } \right) = \overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CS}$.

c) Đúng. Xét DSAB vuông tại A, có $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$.

Tương tự $SC = a\sqrt 2$.

Do đó $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC}$.

d) Sai. Xét $\cos \widehat {BSC} = \frac{{S{B^2} + S{C^2} - B{C^2}}}{{2 \cdot SB \cdot SC}} = \frac{{2{a^2} + 2{a^2} - {a^2}}}{{2 \cdot \sqrt 2 a \cdot \sqrt 2 a}} = \frac{3}{4}$.

Do đó $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SC} } \right| \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \cos \widehat {BSC} = 2{a^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{{3{a^2}}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hai vectơ $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {CB}$ là hai vectơ ngược hướng nên góc giữa chúng bằng 180°.

b) Sai. Hai vectơ $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {BO}$ là hai vectơ cùng hướng nên góc giữa chúng bằng 0°.

c) Đúng. Có $\left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CS} } \right) = \widehat {SCD}$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác SCD có:

$\cos \widehat {SCD} = \frac{{S{C^2} + C{D^2} - S{D^2}}}{{2SC \cdot CD}} = \frac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{2 \cdot 2a \cdot a}} = \frac{1}{4}$.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {SD} = - \overrightarrow {OA} \cdot \left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OS} } \right) = - \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} \cdot \overrightarrow {OS} = 0$ nên góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AO}$ và $\overrightarrow {SD}$ bằng 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có $\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {SB} } \right| \cdot \cos \widehat {ASB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Tương tự $\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2};\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} = \frac{{{a^2}}}{2}$ nên $\overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC}$.

b) Đúng. Có $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {SA} = \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right) \cdot \overrightarrow {SA} = \overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SA} - \overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SA} = 0$.

c) Đúng. Có $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {SM} - \overrightarrow {SA} = - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC}$.

d) Sai. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {SC} = \left( { - \overrightarrow {SA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} } \right) \cdot \overrightarrow {SC}$$= - \overrightarrow {SA} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SB} \cdot \overrightarrow {SC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {SC} \cdot \overrightarrow {SC}$

$= - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^2}}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì $AA' \bot AM$ nên $\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AM}$. Do đó $\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AM} = 0$.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$.

c) Sai. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AA'} } \right)$

$= \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} } \right)$

Vì $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0;\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0$ nên $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} } \right)$$= \frac{1}{2}\left( {{1^2} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{3}{4}$.

d) Sai. Ta có $\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {A'B} }}{{\left| {\overrightarrow {AM} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {A'B} } \right|}} = \frac{{\frac{3}{4}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'B} } \right) \approx 52{,}2^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì AA' ^ AB nên $\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {AB}$. Suy ra $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} = 0$.

b) Đúng. Có $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {BAC'}$.

Ta có $AC' = a\sqrt 3 ,BC' = a\sqrt 2$.

Xét DABC' có $\cos \widehat {BAC'} = \frac{{A{B^2} + A{{C'}^2} - B{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB \cdot AC'}} = \frac{{{a^2} + 3{a^2} - 2{a^2}}}{{2\sqrt 3 {a^2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC'} = a \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = {a^2}$.

c) Đúng. Vì $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\B'D'//BD\end{array} \right.$ nên AC ^ B'D'. Do đó $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} = 0$.

d) Đúng. Có $\left( {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right) = \widehat {B'AC'}$.

$AC' = a\sqrt 3 ,AB' = a\sqrt 2$.

Xét DAB'C' có $\cos \widehat {B'AC'} = \frac{{A{{B'}^2} + A{{C'}^2} - B'{{C'}^2}}}{{2 \cdot AB' \cdot AC'}} = \frac{{2{a^2} + 3{a^2} - {a^2}}}{{2\sqrt 6 {a^2}}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}$.

Khi đó $\overrightarrow {AB'} \cdot \overrightarrow {AC'} = \left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC'} } \right| \cdot \cos \widehat {B'AC'} = a\sqrt 2 \cdot a\sqrt 3 \cdot \frac{2}{{\sqrt 6 }} = 2{a^2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Có $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5$.

Có $\cos \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{4}{5}$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = 3 \cdot 5 \cdot \frac{4}{5} = 12$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Có $\left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \widehat {SBA} = 45^\circ$.

Xét DSAB vuông tại A, có $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2\sqrt 2$.

Khi đó $\overrightarrow {BS} \cdot \overrightarrow {CD} = \left| {\overrightarrow {BS} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CD} } \right| \cdot \cos 45^\circ = 2\sqrt 2 \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 54,7

Ta có $\left( {\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SC} } \right) = \widehat {ASC}$.

Do ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC = a\sqrt 2$.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $\tan \widehat {ASC} = \frac{{AC}}{{SA}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \Rightarrow \widehat {ASC} \approx 54{,}7^\circ$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Ta có $\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| = 3$$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 9$$\Leftrightarrow 1 - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + 4 = 9$$\Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 2$.

Ta có $\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$$= 2{\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 3\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 2{\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot \left( { - 2} \right) - 2 \cdot 4 = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Ta có $\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right)$$= 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD}$

Dễ dàng chứng minh được $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {CD}$ nên $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = 0$.

Do đó $\overrightarrow {AB} \cdot \left( {4\overrightarrow {BC} + 3\overrightarrow {CD} } \right) = 4\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}$$= - 4\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC}$$= - 4\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)$

$= - 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos 60^\circ = - 2$.