Bài tập Xác định góc giữa hai vectơ lớp 10 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Trên tia đối của CB lấy D sao cho CB = CD

Ta có: $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BC}$

Khi đó: $(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{BC})=(\overrightarrow{CA},\ \overrightarrow{CD})=\widehat{ACD}$

Do tam giác ABC vuông cân tại A nên $\widehat{ACB}=45^{\circ}$.

Ta có: $\widehat{ACD}+\widehat{ACB}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù)

$\Rightarrow \widehat{ACD}=180^{\circ}-\widehat{ACB}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$

Vậy $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC})=135^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét tam giác ABC đều có: $\widehat{BAC}=60^{\circ}$

$\Rightarrow (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}=60^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$\sin \widehat{ACB}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{ACB}=30^{\circ}$

Vậy $(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CA})=\widehat{ACB}=30^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác ABC vuông tại A có:

$cos\widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{CAB}=60^{\circ}$

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{CAB}=60^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\widehat{ABC}$

Xét tam giác ABC

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{ABC}=\frac{B{A}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2BA.BC}=\frac{{5}^{2}+{4}^{2}-{6}^{2}}{2.5.4}=\frac{1}{8}$

Vậy $cos(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=cos\widehat{ABC}=\frac{1}{8}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}$

Xét tam giác ABC

Áp dụng định lí côsin ta có:

$\cos \widehat{BAC}=\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2AB.AC}=\frac{{12}^{2}+{13}^{2}-{15}^{2}}{2.12.13}=\frac{11}{39}$

Vậy $cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{11}{39}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Xét hình vuông ABCD có: $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

Do đó, $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CD})=\widehat{ACD}$

Xét tam giác ACD có:

DA = DC (do ABCD là hình vuông)

$\widehat{ADC}=90^{\circ}$

Do đó, tam giác ACD vuông cân tại D.

$\Rightarrow \widehat{ACD}=45^{\circ}$

Vậy $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA})=45^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Ta có: $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$ là hai vectơ cùng phương, ngược hướng.

Vậy $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC})=180^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Do ABCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Vậy $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DC})=0^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Hình thoi ABCD có tâm O nên O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD, hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Do đó, ta có:

BD = $2\sqrt{3}\Rightarrow OB=\sqrt{3}$

AC = 6 ⇒ AO = 3.

Xét tam giác AOB vuông tại O có: $\tan \widehat{ABO}=\frac{AO}{OB}=\frac{3}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ABO}=60^{\circ}$.

Do ABCD là hình thoi nên BD là tia phân giác góc $\widehat{ABC}$, do đó ta có:

$\widehat{ABC}=2\widehat{ABO}=2.60^{\circ}=120^{\circ}$.

Vậy $(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})=\widehat{ABC}=120^{\circ}$.