Bài tập Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Dễ thấy $SC\in (SBC)$ và $SC\in (SCD)$.

Vậy $SC=(SBC)\cap (SCD)$.

Đáp án đúng là: B

Ta thấy (ACD) chính là (ACB) do 4 điểm ABCD cùng nằm trên một mặt phẳng.

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ACD) cũng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ACB).

Dễ thấy $BC\in (SBC)$ và $BC\in (ACB)$.

Do đó $BC=(SBC)\cap (ACB)$ hay $BC=(SBC)\cap (ACD)$.

Đáp án đúng là: B

Dễ thấy $SB\in (SAB)$ và $SB\in (SBC)$. Vậy $SB=(SAB)\cap (SBC)$.

Đáp án đúng là: A

Ta thấy (BCD) chính là (ABD) do 4 điểm ABCD cùng nằm trên một mặt phẳng.

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABD) cũng chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (ABD).

Dễ thấy $AB\in (SAB)$ và $AB\in (ABD)$.

Do đó $AB=(SAB)\cap (ACB)$ hay $AB=(SAB)\cap (BCD)$.

Đáp án đúng là: A

Hai mặt phẳng song song không có đường thẳng nào chung với nhau nên không có giao tuyến.

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất cơ bản của hình học không gian, nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó. Đường thẳng chung đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.

Đáp án đúng là: C

Ta có: S ∊ (SAB) ∩ (SBC);

B ∊ (SAB) ∩ (SBC);

Suy ra S, B là hai điểm chung của mặt phẳng (SAB) và (SBC). Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là đường thẳng SB.

Đáp án đúng là: A

Ta có: S ∊ (SAC) ∩ (SBD);

O là giao điểm của AC và BD nên O ∊ AC ⊂ (SAC) suy ra O ∊ (SAC);

Tương tự O ∊ BD ⊂ (SBD) suy ra O ∊ (SBD);

Suy ra O ∊ (SAC) ∩ (SBD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng SO.

Đáp án đúng là: D

Ta có: C ∊ (MCD) ∩ (ABC);

M ∊ AB mà AB ⊂ (ABC) nên M ∊ (ABC);

Lại có M ∊ (MCD) suy ra M ∊ (MCD) ∩ (ABC);

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (ABC) là đường thẳng CM.

Đáp án đúng là: B

Ta có: S ∊ (SAB) ∩ (SCD);

I = AB ∩ CD suy ra I ∊ AB ⊂ (SAB) nên I ∊ (SAB);

I ∊ CD ⊂ (SCD) nên I ∊ (SCD);

Suy ra I ∊ (SAB) ∩ (SCD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng SI.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì M, N đều thuộc (CMN) và M ∊ SA ⊂ (SAB), N ∊ SB ⊂ (SAB) nên MN là giao tuyến.

b) Sai. C ∊ (CMN) ∩ (SAC) và M ∊ (CMN) ∩ (SAC) nên giao tuyến là CM.

c) Đúng. C, N là hai điểm chung của (CMN) và (SBC) nên giao tuyến là CN.

d) Sai. Giao tuyến của (SAB) và (ABC) là AB.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là tính chất thừa nhận của hình học không gian.

b) Đúng. Đường thẳng giao tuyến chứa mọi điểm chung của hai mặt phẳng.

c) Đúng. Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi 3 điểm không thẳng hàng.

d) Sai. Mọi điểm thuộc giao tuyến đều thuộc cả hai mặt phẳng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. S và D là hai điểm chung của (SAD) và (SCD) nên giao tuyến là SD.

b) Sai. A và C là hai điểm chung của (SAC) và (ABCD) nên giao tuyến phải là AC.

c) Đúng. B và D là hai điểm chung của (SBD) và (ABCD) nên giao tuyến là BD.

d) Đúng. Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO, hiển nhiên đi qua điểm O.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì I thuộc cả hai mặt phẳng (IJK) và (ACD).

b) Đúng. J, K đều thuộc mặt phẳng (BCD) và thuộc (IJK) nên giao tuyến là JK.

c) Sai. B và D là hai điểm chung của (ABD) và (BCD) nên giao tuyến là BD.

d) Sai. J là trung điểm BC, không nằm trên mặt phẳng (ACD).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. S hiển nhiên thuộc cả hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Đúng. E thuộc AD ⊂ (SAD) và E thuộc BC ⊂ (SBC) nên E là điểm chung.

c) Đúng. S và E là hai điểm chung nên giao tuyến là SE.

d) Sai. A và C không phải là điểm chung của hai mặt phẳng này.

Đáp án: 3

Tứ diện có tất cả 4 mặt. Ngoài mặt phẳng (ABC), 3 mặt phẳng còn lại là (ABD), (BCD) và (ACD). Giao tuyến của mặt phẳng (ABC) với 3 mặt này lần lượt tương ứng là các cạnh chung AB, BC và AC.

Đáp án: 3

Mặt phẳng (AMN) có các điểm chung với tứ diện nằm trên các mặt (ABC), (ACD) và (BCD).

Giao tuyến của mặt phẳng (AMN) với (ABC) là đoạn AM, với (ACD) là đoạn AN, với (BCD) là đoạn MN. Mặt phẳng (AMN) không cắt mặt phẳng (ABD).

Thiết diện tạo thành là tam giác AMN gồm đúng 3 đoạn giao tuyến.

Đáp án: 0,25

Trong mặt phẳng (ABC), áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến MNI:

$$\frac{{MA}}{{MB}} \cdot \frac{{IB}}{{IC}} \cdot \frac{{NC}}{{NA}} = 1$$

Theo giả thiết, ta có: $\frac{{MA}}{{MB}} = 2$; $\frac{{NC}}{{NA}} = 2$. Thay vào biểu thức, ta có:

$$2 \cdot \frac{{IB}}{{IC}} \cdot 2 = 1$$

Suy ra: $\frac{{IB}}{{IC}} = 0{,}25.$

Đáp án: 2

Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SO. Do đó I chính là giao điểm của AM và SO trong mặt phẳng (SAC).

Vì O là trung điểm AC và M là trung điểm SC nên AM và SO là hai đường trung tuyến của tam giác SAC.

Suy ra I là trọng tâm tam giác SAC, do đó $\frac{{AI}}{{IM}}$ = 2

Đáp án: 2

Trong tam giác SBD, hai trung tuyến SO và BM cắt nhau tại K, nên K là trọng tâm tam giác SBD, suy ra $\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{2}{3}$.

Xét tiếp tam giác SAC có O là trung điểm AC, mà điểm K nằm trên trung tuyến SO thỏa mãn tỉ lệ $\frac{{SK}}{{SO}} = \frac{2}{3}$ nên K cũng đồng thời là trọng tâm của tam giác SAC.

Đường thẳng AK đi qua trọng tâm K sẽ cắt cạnh đối diện SC tại trung điểm N.

Vậy N là trung điểm SC, suy ra $\frac{{SC}}{{SN}}$ = 2