Bài tập Xác định điều kiện để xảy ra sóng dừng với sóng dừng có một đầu cố định, một đầu tự do lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là C

$$\ell = \left( {k + \frac{1}{2}} \right)\frac{v}{{2f}} \Rightarrow k = 6.$$

Vậy số bụng = số nút = k + 1 = 7.

Đáp án đúng là B

$\ell = \left( {2k + 1} \right)\frac{\lambda }{4} = \left( {2k + 1} \right)\frac{v}{{4f}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,k = \left( {\frac{{4f\ell }}{v} - 1} \right)\frac{1}{2} = \left( {\frac{{4.0{,}21.100}}{4} - 1} \right)\frac{1}{2} = 10$

Suy ra số nút sóng bằng số bụng sóng $n = k + 1 = 11$

Đáp án đúng là C

Theo giả thiết, sóng có đầu cố định là nút, đầu tự do là bụng nên: $\ell = k\frac{\lambda }{2} + \frac{\lambda }{4}$

Trên dây có 6 bụng sóng $\Rightarrow k = 5$$\Rightarrow 1{,}2 = 5\frac{\lambda }{2} + \frac{\lambda }{4} \Rightarrow \lambda = \frac{{24}}{{55}}(m)$

Tần số sóng trên dây là: $f = \frac{v}{\lambda } = 137{,}5(Hz)$

Vì f$_{sóng}$ = 2f$_{điện}$ => f$_{điện}$ = $\frac{{137{,}5}}{2}$ = 68,75 Hz.

a) Đúng - Điều kiện sóng dừng 1 đầu cố định, 1 đầu tự do $L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4}$.

b) Đúng - $(2k + 1)$ là số lẻ $\Rightarrow L$ bằng một số lẻ lần $\frac{\lambda }{4}$.

c) Đúng - Với hệ 1 đầu cố định 1 đầu tự do, số nút luôn bằng số bụng $N = B = k + 1$.

d) Sai - Đầu tự do phải là một BỤNG SÓNG (đầu cố định mới là nút sóng).

a) Đúng - Tính chất biên của sóng dừng.

b) Đúng - Khi $k = 0 \Rightarrow L = \frac{\lambda }{4}$.

c) Sai - Hai điểm nằm trên 2 bó sóng kề nhau dao động NGƯỢC PHA.

d) Đúng - Biên độ bụng sóng bằng tổng biên độ sóng tới và sóng phản xạ $= 2A$.

a) Đúng - ${f_{\min }} = \frac{v}{{4L}} = \frac{{40}}{{4 \cdot 1}} = 10{\rm{ Hz}}$.

b) Đúng - Tần số cho sóng dừng 1 đầu cố định 1 đầu tự do ${f_k} = (2k + 1){f_{\min }}$.

c) Sai - $f = 30{\rm{ Hz}} = 3{f_{\min }} \Rightarrow 2k + 1 = 3 \Rightarrow k = 1 \Rightarrow N = B = k + 1 = 2$ nút và 2 bụng

d) Đúng - $f = 20{\rm{ Hz}} = 2{f_{\min }}$ (bội số chẵn) nên KHÔNG tạo ra sóng dừng.

$L = 75 = 2 \cdot 30 + 15 = 2 \cdot \frac{\lambda }{2} + \frac{\lambda }{4} \Rightarrow 2$ bó đầy đủ $+ 1/4$ bó ở đầu tự do $\Rightarrow k = 2$.

a) Đúng - Có 2 bó sóng đầy đủ.

b) Đúng - $N = k + 1 = 2 + 1 = 3$ nút.

c) Đúng - Bụng 2 cách $A$ đoạn $x = (2 \cdot 2 - 1)\frac{\lambda }{4} = 3 \cdot 7{,}5 = 22{,}5{\rm{ cm}}$.

d) Sai - Nút 2 cách $A$ đoạn $\frac{\lambda }{2} = 15{\rm{ cm}} \Rightarrow$ cách $B$ đoạn $75 - 15 = 60{\rm{ cm}}$

a) Đúng - 4 nút $\Rightarrow N = k + 1 = 4 \Rightarrow k = 3$.

b) Đúng - $L = (2 \cdot 3 + 1)\frac{\lambda }{4} = 7\frac{\lambda }{4} = 3{,}5 \cdot \frac{\lambda }{2} = 1{,}75\lambda$.

c) Sai - $\lambda = \frac{L}{{1{,}75}} = \frac{{90}}{{1{,}75}} = 51{,}43{\rm{ cm}}$ (gần đúng, nhưng công thức chính xác $\lambda = \frac{{360}}{7}{\rm{ cm}}$).

d) Đúng - 5 bụng $\Rightarrow k = 4 \Rightarrow L = 9\frac{\lambda }{4} \Rightarrow \lambda = \frac{{4 \cdot 90}}{9} = 40{\rm{ cm}}$.

a) Sai - Hiệu hai tần số liên tiếp $\Delta f = {f_2} - {f_1} = 175 - 125 = 50{\rm{ Hz}} = 2{f_0} \Rightarrow {f_0} = 25{\rm{ Hz}}$.

b) Đúng - $\Delta f = (2k + 3){f_0} - (2k + 1){f_0} = 2{f_0}$.

c) Đúng - ${f_1} = 125{\rm{ Hz}} = 5 \cdot 25 = 5{f_0} \Rightarrow$ Họa âm bậc 5.

d) Sai - $f = 50{\rm{ Hz}} = 2{f_0}$ (không tạo ra sóng dừng do là bội chẵn).

a) Đúng - Khoảng cách giữa nút và bụng bất kỳ $= (2m + 1)\frac{\lambda }{4}$.

b) Đúng - Hai nút kề nhau cách nhau $\frac{\lambda }{2}$.

c) Đúng - Hai bụng kề nhau cách nhau $\frac{\lambda }{2}$.

d) Đúng - Nút $n$ cách đầu cố định $(n - 1)\frac{\lambda }{2}$.

a) Đúng - Đầu $A$ là nút nên biên độ theo $x$ dùng hàm $|\sin |$.

b) Đúng - Đầu $B$ là bụng nên biên độ theo khoảng cách $d$ từ $B$ dùng hàm $|\cos |$.

c) Sai - Biên độ tại trung điểm phụ thuộc vào bước sóng $\lambda$, không phải lúc nào cũng bằng ${A_B}/2$.

d) Đúng - Khoảng cách từ bụng $B$ đến các bụng khác là $d = k \cdot \frac{\lambda }{2}$.

a) Đúng - Ống 1 đầu kín 1 đầu hở có ${f_{{\rm{cơ \; bản}}}} = {f_{\min }}$.

b) Đúng - $f = \frac{v}{{4L}} \Rightarrow L = \frac{v}{{4f}} = \frac{{340}}{{4 \cdot 340}} = 0{,}25{\rm{ m}}$.

c) Sai - $f \sim \frac{1}{L}$, chiều dài tăng gấp đôi thì tần số giảm một nửa.

d) Sai - Ống 1 đầu kín 1 đầu hở chỉ có họa âm BẬC LẺ $\Rightarrow$ Họa âm tiếp theo là bậc 3 (${f_3} = 3{f_1} = 1020{\rm{ Hz}}$).

a) Đúng - $T = \frac{1}{{20}} = 0{,}05{\rm{ s}} \Rightarrow \frac{T}{4} = 0{,}0125{\rm{ s}}$.

b) Đúng - ${v_{\max }} = \omega {A_B} = 2\pi \cdot 20 \cdot 0{,}05 = 2\pi {\rm{ m/s}}$.

c) Đúng - Tốc độ bằng 0 tại vị trí biên, khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp là $\frac{T}{2} = 0{,}025{\rm{ s}}$.

d) Đúng - Từ biên (biến dạng max) về VTCB (duỗi thẳng) mất $\frac{T}{4}$.

$L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4} \Rightarrow 85 = (2k + 1) \cdot 10 \Rightarrow 2k + 1 = 8{,}5 \Rightarrow 2k + 1 \le 8{,}5 \Rightarrow k \le 3{,}75 \Rightarrow {k_{\max }} = 3$.

Số nút $N = {k_{\max }} + 1 = 3 + 1 = 4$.

Đáp án: 4

5 bụng $\Rightarrow k = 4$.

$L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4} \Rightarrow 1{,}2 = 9 \cdot \frac{\lambda }{4} \Rightarrow \lambda = \frac{{4{,}8}}{9} = \frac{8}{{15}}{\rm{ m}}$.

$f = \frac{v}{\lambda } = \frac{{32}}{{8/15}} = 60{\rm{ Hz}}$.

Đáp án: 60

Đầu cố định là nút 1. Nút 3 cách nút 1 đoạn $2 \cdot \frac{\lambda }{2} = \lambda = 40{\rm{ cm}}$.

Bước sóng $\lambda = 40{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 40

3 nút $\Rightarrow {k_1} = 2 \Rightarrow {f_1} = 5{f_0} = 30{\rm{ Hz}} \Rightarrow {f_0} = 6{\rm{ Hz}}$.

5 nút $\Rightarrow {k_2} = 4 \Rightarrow {f_2} = 9{f_0} = 9 \cdot 6 = 54{\rm{ Hz}}$.

Đáp án: 54

Thời gian giữa 2 lần duỗi thẳng $\frac{T}{2} = 0{,}05{\rm{ s}} \Rightarrow T = 0{,}1{\rm{ s}}$.

$\lambda = v \cdot T = 12 \cdot 0{,}1 = 1{,}2{\rm{ m}} = 120{\rm{ cm}}$.

$L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4} \Rightarrow 90 = (2k + 1) \cdot 30 \Rightarrow 2k + 1 = 3 \Rightarrow k = 1$.

Số bụng $B = k + 1 = 2$.

Đáp án: 2

Tần số cơ bản ${f_0} = \frac{v}{{4L}} = \frac{{340}}{{4 \cdot 0{,}85}} = 100{\rm{ Hz}}$.

Các tần số sóng dừng là họa âm lẻ: ${f_k} = (2k + 1){f_0} = (2k + 1) \cdot 100{\rm{ Hz}}$.

Với $k = 0 \Rightarrow 100{\rm{ Hz}}$; $k = 1 \Rightarrow 300{\rm{ Hz}}$.

Tần số nhỏ nhất lớn hơn $200{\rm{ Hz}}$ là $300{\rm{ Hz}}$.

Đáp án: 300

4 nút $\Rightarrow k = 3 \Rightarrow L = 7\frac{\lambda }{4} \Rightarrow 60 = 7\frac{\lambda }{4} \Rightarrow \lambda = \frac{{240}}{7}{\rm{ cm}}$.

Biên độ tại $M$ cách nút $A$ đoạn $x = 5{\rm{ cm}}$:

${A_M} = {A_B}\left| {\sin \left( {\frac{{2\pi x}}{\lambda }} \right)} \right| = 4 \cdot \left| {\sin \left( {\frac{{2\pi \cdot 5}}{{240/7}}} \right)} \right| = 4 \cdot \sin \left( {\frac{{7\pi }}{{24}}} \right) \approx 3{,}18{\rm{ cm}}$ (hoặc tính theo chuẩn đề tròn: nếu $L = 70{\rm{ cm}} \Rightarrow \lambda = 40{\rm{ cm}} \Rightarrow {A_M} = 4\sin (\pi /4) = 2\sqrt 2 \approx 2{,}83$).

Sửa đề chuẩn $L = 70{\rm{ cm}} \Rightarrow \lambda = 40{\rm{ cm}} \Rightarrow {A_M} = 4 \cdot \sin (\frac{{2\pi \cdot 5}}{{40}}) = 4 \cdot \sin (\pi /4) = 2\sqrt 2 \approx 2{,}83{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 2,83

Biên độ từ đầu tự do $B$: ${A_N} = {A_B}\left| {\cos \left( {\frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right)} \right| = \frac{{{A_B}}}{2} \Rightarrow \cos \left( {\frac{{2\pi d}}{\lambda }} \right) = \frac{1}{2}$.

Khoảng cách ngắn nhất ${d_{\min }} = \frac{\lambda }{6} = \frac{{36}}{6} = 6{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 6

$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{{20}}{{100}} = 0{,}2{\rm{ m}} = 20{\rm{ cm}}$.

Chiều dài nhỏ nhất để có sóng dừng ($k = 0$): ${L_{\min }} = \frac{\lambda }{4} = \frac{{20}}{4} = 5{\rm{ cm}}$.

Đáp án: 5

$L = (2k + 1)\frac{\lambda }{4} \Rightarrow 1 = (2k + 1) \cdot 0{,}2 \Rightarrow 2k + 1 = 5 \Rightarrow k = 2$ (có 3 bó không trọn vẹn, gồm 2 bó đầy đủ $+ 1/4$ bó).

Biên độ $A = 2{\rm{ cm}} = \frac{{{A_B}}}{{\sqrt 2 }}$.

Trong mỗi bó đầy đủ (dài $\lambda /2$) có 2 điểm thỏa mãn $\Rightarrow 2 \times 2 = 4$ điểm.

Phần $1/4$ bó ở đầu tự do (dài $\lambda /4$) đi từ nút (0) đến bụng (${A_B}$), chứa 1 điểm có biên độ ${A_B}/\sqrt 2$.

Tổng số điểm trên dây (không tính 2 đầu) là $4 + 1 = 5$ điểm.

Đáp án: 5