Bài tập Xác định dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Xét bất phương trình 2x – 4y + 7 ≥ 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 2, b = –4, c = 7.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: A

Xét bất phương trình 2x$^{2}$ + 1 ≥ y + 2x$^{2}$ ≥ 0 ⇔ 2x$^{2}$ + 1 – 2x$^{2}$ – y ≥ 0 ⇔ –y + 1 ≥ 0 (1)

Bất phương trình (1) có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 0, b = –1, c = 1.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chú ý: Đáp án B không thỏa mãn vì ta biến đổi đưa về được 5 < 3 (vô lí).

Đáp án C, D bậc của các ẩn không phải bậc nhất.

Đáp án đúng là: B

Xét bất phương trình 4x – 2y + 3 < 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 4, b = –2, c = 3.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c < 0.

Đáp án đúng là: D

Xét bất phương trình x + 6 < 4x + 2y ⇔ x + 6 – 4x – 2y < 0 ⇔ –3x – 2y + 6 < 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = –3, b = –2, c = 6.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c < 0.

Đáp án đúng là: D

Xét bất phương trình x + 6 > 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 1, b = 0, c = 6.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c > 0.

Đáp án đúng là: C

Xét bất phương trình 2x – 3 > 3y – 1 ⇔ 2x – 3 – 3y + 1 > 0 ⇔ 2x – 3y – 2 > 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 2, b = –3, c = –2.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c > 0.

Đáp án đúng là: D

Xét bất phương trình x + 2 ≥ 4x – 2y ⇔ x + 2 – 4x + 2y ≥ 0 ⇔ –3x + 2y + 2 ≥ 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = –3, b = 2, c = 2.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≥ 0.

Đáp án đúng là: D

Xét bất phương trình x + 2 ≥ 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 1, b = 0, c = 2.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≥ 0.

Đáp án đúng là: B

Xét bất phương trình 4x – y ≤ 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 4, b = –1, c = 0.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0.

Đáp án đúng là: B

Xét bất phương trình 4x – y ≤ 4y – 5 ⇔ 4x – y – 4y + 5 ≤ 0 ⇔ 4x – 5y + 5 ≤ 0

Bất phương trình có hai ẩn x, y có lũy thừa bậc cao nhất là bậc một và các hệ số a = 4, b = –5, c = 5.

Do đó, đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn dạng ax + by + c ≤ 0.

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng:

ax + by ≤ c (hoặc ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c), trong đó a, b, c là các số thực, a và b không đồng thời bằng 0.

Xét phương án A: 2x - 5y + 1 > 0 ⇔ 2x - 5y > - 1. Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = 2, b = - 5, c = - 1.

Xét phương án B: Chứa x$^{2}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét phương án C: Chứa tích xy nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Xét phương án D: Chứa $\frac{1}{x}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy bất phương trình ở đáp án A là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình 5x - y$^{2}$ > 1 chứa y$^{2}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các phương án A, B, D đều có dạng ax + by ≤ c, ax + by ≥ c, ax + by > c và hệ số a, b không đồng thời bằng 0.

Đáp án đúng là: A

Bất phương trình có dạng ax + by ≤ c với a = m; b = - 3; c = 2.

Điều kiện để dạng ax + by ≤ c là bất phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b không đồng thời bằng 0.

Vì b = - 3 ≠ 0 với mọi giá trị của m, nên cặp hệ số (a, b) = (m, -3) luôn không đồng thời bằng 0 với mọi m.

Do đó, với mọi m ∈ ℝ, bất phương trình mx - 3y < 2 luôn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: A

2(x - 1) + 3(y + 2) > x - 2y + 1 ⇔ 2x - 2 + 3y + 6 > x - 2y + 1

⇔ 2x + 3y + 4 > x - 2y + 1 ⇔ 2x - x + 3y + 2y > 1 - 4 ⇔ x + 5y > - 3

Đưa về dạng ax + by > c, ta được: a = 1, b = 5, c = - 3.

Vậy c = - 3.

Đáp án đúng là: C

Xét từng phương án:

Phương án A: x$^{2}$ + y < 0 chứa x$^{2}$ nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương án B: 2x - 3y + $\frac{1}{x}$ > 0 chứa phân thức $\frac{1}{x}$ nên không phải là đa thức bậc nhất đối với ẩn x.

Phương án C: -x + 2y - 5 ≥ 0 có dạng ax + by ≥ c với a = -1, b = 2, c = 5. Các ẩn x, y đều có bậc là 1 và hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0.

Do đó, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Phương án D: xy + x - y < 1 chứa hạng tử xy nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là -x + 2y - 5 ≥ 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Thay m = 0 vào bất phương trình (m$^{2}$ - 4)x + (m + 2)y > 3, ta được:

(0$^{2}$ - 4)x + (0 + 2)y > 3 ⇔ - 4x + 2y > 3.

b) Sai. Thay m = -2 vào bất phương trình (m$^{2}$ - 4)x + (m + 2)y > 3, ta được:

[(-2)$^{2}$ - 4]x + (-2 + 2)y > 3 ⇔ (4 - 4)x + (-2 + 2)y > 3 ⇔ 0x + 0y > 3.

Vì cả hai hệ số của x và y đều bằng 0 nên đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Đúng. Thay m = 2 vào bất phương trình (m$^{2}$ - 4)x + (m + 2)y > 3, ta được:

(2$^{2}$ - 4)x + (2 + 2)y > 3 ⇔ 0x + 4y > 3 ⇔ 4y > 3.

Vì hệ số của y là 4 ≠ 0 nên bất phương trình 4y > 3 vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Đúng. Điều kiện để bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ số của x và y đồng thời bằng 0:

⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\m + 2 = 0\end{array} \right.$⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right.\\m = - 2\end{array} \right.$ ⇔ m = -2 ∈ ℝ.

Do đó chỉ có duy nhất 1 giá trị m = -2 thỏa mãn bất phương trình đã cho không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: Bất phương trình có hệ số: a = 3, b = 0, c = -1.

Do a = 3 ≠ 0 nên hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0,

⇒ Bất phương trình 3x - 0y + 1 ≤ 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y.

b) Sai. Ta có: $\frac{x}{2}$ - $\frac{y}{3}$ > 1 ⇔ $\frac{1}{2}$x - $\frac{1}{3}$y > 1.

⇒ Đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với a = $\frac{1}{2}$, b = -$\frac{1}{3}$, c = 1.

Do đó, bất phương trình $\frac{x}{2}$ - $\frac{y}{3}$ > 1 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Sai. Ta thấy, bất phương trình 2x + y$^{2}$ - 3 < 0 chứa y$^{2}$.

⇒ Bất phương trình 2x + y$^{2}$ - 3 < 0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Sai. Ta có: (x - y)(x + y) + y$^{2}$ ≥ 5 ⇔ x$^{2}$ - y$^{2}$ + y$^{2}$ ≥ 5 ⇔ x$^{2}$ ≥ 5.

Tuy nhiên, bất phương trình x$^{2}$ ≥ 5 chứa x$^{2}$.

⇒ Bất phương trình x$^{2}$ ≥ 5 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: 2x - y + 3 < 0 ⇔ 2x - y < -3.

Do đó, bất phương trình (1) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với: a = 2, b = -1, c = -3.

b) Đúng. Bất phương trình (2) có dạng ax + by ≥ c với các hệ số:

a = m$^{2}$ + 1, b = m - 1, c = m.

Vì m$^{2}$ ≥ 0 với ∀m ∈ ℝ ⇒ a = m$^{2}$ + 1 ≥ 1 > 0 ∀m.

Do hệ số a ≠ 0 với mọi giá trị của m nên hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0.

Vậy bất phương trình (2) luôn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của m.

c) Sai. Thay m = 1 vào bất phương trình (2), ta được:

(1$^{2}$ + 1)x + (1 - 1)y ≥ 1 ⇔ 2x + 0y ≥ 1 ⇔ 2x ≥ 1 ≠ 2x ≥ 3.

d) Đúng. Để bất phương trình (2) trở thành bất phương trình bậc nhất một ẩn y

⇒ Hệ số của ẩn x = 0 và hệ số của ẩn y ≠ 0.

⇒ $\left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} + 1 = 0\\b = m - 1 \ne 0\end{array} \right.$

Mà m$^{2}$ + 1 ≥ 1 > 0 với ∀m nên phương trình m$^{2}$ + 1 = 0 vô nghiệm.

Do đó, không tồn tại giá trị nào của m để hệ số a = 0.

Vì vậy, không tồn tại giá trị nào của m để bất phương trình (2) trở thành bất phương trình bậc nhất một ẩn y.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Bất phương trình 2x - 3y$^{2}$ + 1 > 0 chứa hạng tử y$^{2}$, do đó không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Bất phương trình -x + 5y ≤ 0 có dạng tổng quát ax + by ≤ c với các hệ số: a = -1, b = 5, c = 0.

Vì các ẩn x, y đều có bậc bằng 1 và hai hệ số a = -1, b = 5 không đồng thời bằng 0 nên đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) Sai. Biểu thức $\frac{1}{x}$ + 2y < 3 chứa phân thức $\frac{1}{x}$, do đó đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

d) Đúng. Bất phương trình (m$^{2}$ + 1)x + (m - 2)y ≥ 3 có hệ số của x là a = m$^{2}$ + 1.

Vì m$^{2}$ ≥ 0 với mọi số thực m, nên a = m$^{2}$ + 1 ≥ 1 > 0 ∀m.

Do hệ số a ≠ 0 ∀m nên hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0.

Vậy bất phương trình này là bất phương trình bậc nhất hai ẩn với mọi giá trị của m.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Khi a = 3 và b = -1, ta có:

a - 3 = 3 - 3 = 0

b + 1 = -1 + 1 = 0

Lúc này biểu thức P > 0 trở thành: 0x + 0y - 4 > 0 ⇔ -4 > 0.

Vì cả hai hệ số của x, y đều bằng 0 nên P > 0 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Khi a = 3 và b = 2, ta thay vào biểu thức P > 0:

(3 - 3)x + (2 + 1)y - 4 > 0 ⇔ 0x + 3y - 4 > 0 ⇔ 3y - 4 > 0.

c) Đúng. Khi a = 1 và b = -1, ta thay vào biểu thức P > 0:

(1 - 3)x + (-1 + 1)y - 4 > 0 ⇔ -2x + 0y - 4 > 0 ⇔ -2x - 4 > 0.

d) Sai. Bất phương trình P > 0 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi hai hệ số a - 3 và b + 1 không đồng thời bằng 0.

Tức là ít nhất một trong hai hệ số khác 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a \ne 3\\b \ne - 1\end{array} \right.$

Do đó, khẳng định d) là sai vì chỉ cần ít nhất một trong hai hệ số khác 0 thì bất phương trình vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: 1

Bất phương trình đã cho có dạng Ax + By ≤ C với các hệ số:

A = a$^{2}$ - 9, B = a - 3, C = a + 1.

Theo định nghĩa, bất phương trình dạng Ax + By ≤ C là bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi hai hệ số của x, y không đồng thời bằng 0.

Do đó, bất phương trình đã cho không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi cả hai hệ số của x, y đồng thời bằng 0 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 9 = 0\\a - 3 = 0\end{array} \right.$

Xét phương trình: a$^{2}$ - 9 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}a = 3\\a = - 3\end{array} \right.$

Xét phương trình: a - 3 = 0 ⇔ a = 3.

Kết hợp cả hai điều kiện trên ⇒ a = 3.

Mà a = 3 ∈ ℤ và a = 3 ∈ [-5; 5]

Do đó, có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 20

Bất phương trình đã cho có dạng ax + by > c với các hệ số:

a = m$^{2}$ - 3m + 2, b = m - 1, c = 5.

Theo định nghĩa, bất phương trình dạng ax + by > c là bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y khi và chỉ khi hai hệ số a, b không đồng thời bằng 0.

Trước hết, ta xét điều kiện để cả hai hệ số a và b đồng thời bằng 0: $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.$

Xét phương trình: m$^{2}$- 3m + 2 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.$.

Xét phương trình: m - 1 = 0 ⇔ m = 1.

Kết hợp cả hai điều kiện ⇒ hai hệ số a, b đồng thời bằng 0 ⇔ m = 1.

Do đó, bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ⇔ m ≠ 1.

Tập hợp các số nguyên thuộc đoạn [-10; 10] có số lượng phần tử là: 10 - (-10) + 1 = 21.

Kết hợp điều kiện m ≠ 1 ⇒ 21 - 1 = 20 (giá trị).

Vậy có tất cả 20 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 0

Bất phương trình đã cho có dạng ax + by > c với các hệ số phụ thuộc vào tham số k là:

a = k - 2, b = 2k + 1, c = k - 3.

Theo định nghĩa, bất phương trình dạng ax + by > c không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi hai hệ số a, b đồng thời bằng 0 ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}k - 2 = 0\\2k + 1 = 0\end{array} \right.$.

Xét phương trình: k - 2 = 0 ⇔ k = 2.

Xét phương trình: 2k + 1 = 0 ⇔ k = -$\frac{1}{2}$.

Mà hai giá trị k = 2 và k = -$\frac{1}{2}$ không thể xảy ra cùng một lúc.

Do đó, không tồn tại bất kỳ giá trị nào của tham số k để hai hệ số a, b đồng thời bằng 0.

⇒ Hai hệ số a, b luôn không đồng thời bằng 0 với mọi giá trị của k.

Do đó, bất phương trình đã cho luôn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ∀k ∈ ℝ.

Vậy không có giá trị nguyên nào của k thuộc đoạn [-5; 5] làm cho bất phương trình không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án: 16

Ta có:

3(x + 2) + 5(y - 1) ≤ x - 2y + 8 ⇔ 3x + 6 + 5y - 5 ≤ x - 2y + 8

⇔ 3x + 5y + 1 ≤ x - 2y + 8 ⇔ 3x - x + 5y + 2y ≤ 8 - 1 ⇔ 2x + 7y ≤ 7

Bất phương trình thu được có dạng ax + by ≤ c với: a = 2, b = 7, c = 7.

Tính giá trị của S = a + b + c = 2 + 7 + 7 = 16.

Vậy S = 16.

Đáp án: 6

Ta thực hiện khai triển và biến đổi đại số ở hai vế của bất phương trình:

Vế trái: (x - 1)(2x + 3) + 2y = 2x$^{2}$ + 3x - 2x - 3 + 2y = 2x$^{2}$ + x + 2y - 3.

Vế phải: 2x$^{2}$ + y - 5.

⇒ 2x$^{2}$ + x + 2y - 3 ≤ 2x$^{2}$ + y - 5.

⇔ 2x$^{2}$ - 2x$^{2}$ + x + 2y - y ≤ -5 + 3 ⇔ x + y ≤ -2.

⇒ Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn với các hệ số: a = 1, b = 1, c = -2.

Vì a = 1 và b = 1 không đồng thời bằng 0, đồng thời các ẩn x, y đều có bậc bằng 1.

Do đó đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

⇒ T = a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ = 1$^{2}$ + 1$^{2}$ + (-2)$^{2}$ = 1 + 1 + 4 = 6.

Vậy T = 6.