Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Đường kính của (S) bằng $2R = 2\sqrt 6$.

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3).

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3).

Đáp án đúng là: C

Bán kính của (S) là R = 3.

Đáp án đúng là: A

Bán kính của (S) là R = 4.

Đáp án đúng là: B

Tâm của (S) có tọa độ là (−3; −1; 1).

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 1) và bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {1^2} + 7} = 3$ .

Đáp án đúng là: D

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 8x + 2y + 1 = 0 (x – 4)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + z$^{2}$ = 16.

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(4; −1; 0) và bán kính R = 4.

Đáp án đúng là: A

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y + 2z – 3 = 0 (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là R = 3.

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Ta có a = −1; b = 2; c = 1. Do đó I(−1; 2; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bán kính của mặt cầu (S) là R =$\sqrt 9$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu (S): (x – 4)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 25 có tâm I(4; -2; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$ - 4x + 8y – 2z – 4 = 0 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ - 2×2×x -2×(-4)×y - 2×1×z – 4 = 0.

Þ a = 2, b = -4, c = 1, d = -4.

=> Tâm mặt cầu I(2; -4; 1), bán kính R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {1^2} + 4} = 5$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

(S): x$^{2}$+ y2 + z$^{2}$ + 4x - 2y + 4z = 0 <=> x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$ - 2×(-2)×x - 2×1×y - 2×(-2)×z = 0.

=> a = -2, b = 1, c = -2, d = 0.

=> Tâm mặt cầu I(-2; 1; -2), bán kính

R = $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - 0} = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): (x – a)2 + (y – b)$^{2}$+ (z – c)$^{2}$= R$^{2}$ có tâm I(a; b; c) và bán kính R, nên mặt cầu (x – 1)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = 20 có tâm và bán kính là I(1; -2; 4), R = $\sqrt {20}$ = $2\sqrt 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Ta có: (S): x$^{2}$+ y$^{2}$+ z$^{2}$ – 4x + 2y – 6z + 6 = 0

<=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2∙2∙x - 2×(-1)×y – 2×3×z + 6 = 0.

Do đó mặt cầu có tâm I(2; -1; 3), bán kính R = $\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} - 6} = \sqrt 8$.

a) Sai. Ta có: IB = $\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {14} \ne R$ nên điểm B không thuộc mặt cầu.

b) Đúng. Tâm mặt cầu là I(2; -1; 3).

c) Đúng. Ta có: IA = $\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} = 2 < \sqrt 8$ nên điểm A nằm trong mặt cầu.

d) Sai. Bán kính mặt cầu bằng $\sqrt 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Đường kính l = 2R = $2\sqrt {25} = 10$.

b) Đúng. Ta có: IM = $\sqrt {0 + 0 + {5^2}} = 5 = R$ nên điểm M thuộc mặt cầu.

c) Sai. Tâm mặt cầu là I(-1; 4; -2).

d) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng $\sqrt {25} = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

(S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 6x – 2y + 4z – 2 = 0 có tâm I(3;1;-2), R = $\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = 4$.

a) Sai. Ta có: IP = $\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {14} < 4$ nên P nằm trong mặt cầu.

b) Đúng. Ta có: IA = $\sqrt {0 + 0 + {4^2}} = 4 = R$.

c) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng 4.

d) Sai. Tâm mặt cầu là I(3; 1; -2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + 6x – 4y + 2z – 2 = 0, có tâm I(-3;2;-1), bán kính R = $\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)} = \sqrt {16} = 4$.

a) Sai. Tâm mặt cầu là I(-3; 2; -1).

b) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng 4.

c) Sai. Đường kính l = 2R = 2∙4 = 8.

d) Đúng. Tâm độ tâm mặt cầu là y$_{I}$ = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Tâm mặt cầu là I(4; -1; 2).

b) Đúng. Bán kính mặt cầu R = $\sqrt {26}$.

c) Sai. Cao độ của tâm mặt cầu là z$_{I}$ = 2.

d) Đúng. Bán kính mặt cầu bằng một nửa đường kính mặt cầu D = 2R => R = $\frac{D}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Ta có: x$^{2}$ + y$^{2}$+ z$^{2}$ – 4x + 2y – 2az + 10a = 0 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$+ z$^{2}$ -2×2×x -2×(-1)×y - 2×a×z + 10a = 0, suy ra bán kính của (S) là $\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a}$ = $\sqrt {{a^2} - 10a + 5}$.

Đường tròn lớn có chu vi bằng 8p nên bán kính của (S) là $\frac{{8\pi }}{{2\pi }}$ = 4.

Do đó: $\sqrt {{a^2} - 10a + 5}$ = 4 Û a2 – 10a + 5 = 42 Û a2 – 10a – 11 = 0 <=> $\left[ \begin{array}{l}a = - 1\\a = 11\end{array} \right.$.

Vậy có 2 giá trị của a để (S) có chu vi đường tròn lớn là 8p.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,41

Giả sử M(x;y;z).

Ta có: MA$^{2}$ = (x – 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$;

MB$^{2}$ = x$^{2}$+ (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$;

MC$^{2}$ = x$^{2}$+ y$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$.

MA$^{2}$ = MB$^{2}$ + MC$^{2}$ <=> (x – 1)$^{2}$ + y$^{2}$+ z$^{2}$ = x$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$ + x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$

<=> -2x + 1 = (y – 2)$^{2}$ + x$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ <=> (x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 2.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn MA$^{2}$ = MB$^{2}$ + MC$^{2}$ là mặt cầu có bán kính là R = $\sqrt 2$ $\approx$ 1,41.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,87.

Mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x + 6y – 2 = 0 Û x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2×2×x - 2×(-3)×y – 2 = 0 có tâm I (2; -3; 0), R = $\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + 2} = \sqrt {15}$.

Do đó S = a + b + c + R = 2 – 3 + 0 + $\sqrt {15}$ = -1 + $\sqrt {15}$ » 2,87.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5.

Từ phương trình mặt cầu, có tâm I(-1; 2; 1).

Khoảng cách từ tâm I đến điểm M là: IM = $\sqrt {{4^2} + {3^2} + {0^2}}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 20.

Từ phương trình, mặt cầu (S) có tâm I(3;-5;4).

Do đó, a = 3, b = 5, c = 4 => P = a + b + 2c = 3 + 5 + 3×4 = 20.