Bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 1 + 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z - 2}}{{ - 3}}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;5; - 3} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 2; - 4} \right) = - 2\left( {0;1;2} \right)$.

Suy ra đường thẳng song song với BC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {0;1;2} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow u = \left( { - 3;2; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 4;2} \right) = - 2\left( {1;2; - 1} \right)$.

Do đó $\overrightarrow u = \left( {1;2; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của AB.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{3y}}{2} = \frac{{3 - z}}{1}$$\Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{\frac{2}{3}}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow u = \left( {3;\frac{2}{3}; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2; - 5;3} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Điểm thuộc đường thẳng $d:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{3}$ là P(−1; 2; 1).

Đáp án đúng là: D

Điểm P(0; 1; 2) d.

Đáp án đúng là: A

Thế tọa độ M(4; −7; −2) vào phương trình đường thẳng ta được:

$\frac{{4 - 1}}{3} = \frac{{ - 7 + 2}}{{ - 5}} = \frac{{ - 2 - 4}}{1}$ 1 = 1 = −6 (vô lí).

Suy ra M .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào hệ số của tham số t trong phương trình, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương cơ sở là $\vec v = \left( { - 3;2;4} \right)$. Ta nhận thấy vectơ ở đáp án A thỏa mãn $\vec u = - 2\vec v = \left( {6; - 4; - 8} \right)$.

Do đó, $\vec u = \left( {6; - 4; - 8} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Thay tọa độ điểm N(5; −5; 6) vào phương trình đường thẳng d, ta được : $\frac{{5 - 3}}{2} = \frac{{ - 5 + 1}}{{ - 4}} = \frac{{6 - 5}}{1}$ ⇔ $\frac{2}{2} = \frac{{ - 4}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} = 1$.

Vì cả ba phân thức đều bằng nhau và bằng 1 nên điểm N(5; −5; 6) nằm trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vectơ nối hai điểm làm một vectơ chỉ phương. Ta tính tọa độ của vectơ như sau: $\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1;0 - \left( { - 2} \right); - 1 - 3} \right) = \left( {3;2; - 4} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến. Do đó, một vectơ chỉ phương của d được tính bằng tích có hướng:

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1;2 \cdot 2 - 1\left( { - 1} \right);1 \cdot 1 - \left( { - 1} \right)2} \right) = \left( { - 1;5;3} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên d vuông góc với $\overrightarrow {{n_P}}$.

Vì đường thẳng d vuông góc với d' nên d vuông góc với $\overrightarrow {{u_{d'}}}$.

Do đó, ta tính vectơ chỉ phương của d như sau:

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right) - 3 \cdot 2;3 \cdot 1 - 2\left( { - 1} \right);2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right)1} \right) = \left( { - 5;5;5} \right)$

Cùng phương với $\vec v$, ta có thể chọn vectơ chỉ phương thu gọn là $\vec u = \left( { - 1;1;1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Thay t = 1 vào hệ phương trình, ta được x = 0, y = 4, z = −2.

b) Sai. Vectơ $\vec n = \left( { - 1;2;1} \right)$ là vectơ chỉ phương của d.

c) Đúng. Từ phương trình, d có vectơ chỉ phương cơ sở $\vec v = \left( { - 1;2;1} \right)$.

Vectơ $\vec u = - 2\vec v = \left( {2; - 4; - 2} \right)$ nên cũng là một vectơ chỉ phương.

d) Đúng. Từ phương trình tham số, ta xác định được đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; −3) và có một vectơ chỉ phương là $\vec v = \left( { - 1;2;1} \right)$. Áp dụng công thức, ta viết được phương trình chính tắc của d là $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta tính tọa độ $\overrightarrow {AB} = \left( {2 - \left( { - 1} \right); - 1 - 2;4 - 1} \right) = \left( {3; - 3;3} \right)$.

b) Đúng. Rút gọn $\overrightarrow {AB}$ bằng cách chia cho 3, ta thu được vectơ cùng phương $\vec u = \left( {1; - 1;1} \right)$.

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua A là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 1 + t}\\{y = 2 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$.

Thay t = 4 vào phương trình, ta thu được x = 3, y = −2, z = 5. Do đó điểm N thuộc AB.

d) Sai. Thay tọa độ điểm K(1; 0; 4) vào phương trình tham số của đường thẳng AB, ta được $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 = - 1 + t}\\{0 = 2 - t}\\{4 = 1 + t}\end{array}} \right.$ ⇔ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 3}\end{array}} \right.$.

Vì các giá trị của tham số t không giống nhau nên điểm K không nằm trên đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do đường thẳng d // D; d nhận vectơ chỉ phương $\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)$ của $\Delta$ làm một vectơ chỉ phương.

Ta nhận thấy $\vec u = - 2\vec v = \left( {2; - 6; - 4} \right)$ nên $\vec u$ cũng là một vectơ chỉ phương của d.

b) Sai. Phương trình chính tắc của d đi qua M(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương $\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)$ là $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}$.

Thay tọa độ O(0; 0; 0) vào phương trình này ta được $\frac{{0 - 1}}{{ - 1}} = \frac{{0 - 2}}{3} = \frac{{0 + 1}}{2}$ Û $1 \ne \frac{{ - 2}}{3} \ne \frac{1}{2}$. Do đó d không đi qua gốc tọa độ O.

c) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oxy) có phương trình là z = 0, do đó mọi điểm nằm trên mặt phẳng (Oxy) đều có cao độ z = 0.

d) Đúng. Dựa vào điểm đi qua M(1; 2; −1) và vectơ chỉ phương $\vec v = \left( { - 1;3;2} \right)$, ta có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{2}$ Û $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Từ phương trình mặt phẳng (P): x + 2y − z = 0, ta xác định ngay được vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

b) Sai. Từ phương trình mặt phẳng (Q): x − y + 2z − 3 = 0, vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

c) Đúng. Đường thẳng d là giao tuyến của (P) và (Q) nên d có một vectơ chỉ phương được tính bằng tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến.

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2 \cdot 2 - \left( { - 1} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 1} \right)1 - 1 \cdot 2;1\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1} \right) = \left( {3; - 3; - 3} \right)$

Rút gọn vectơ $\vec v$ bằng cách chia cho 3, ta được vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - 1; - 1} \right)$.

d) Đúng. Thay tọa độ điểm K(1; 0; 1) lần lượt vào phương trình của (P) và (Q), ta được $1 + 2 \cdot 0 - 1 = 0$ và $1 - 0 + 2 \cdot 1 - 3 = 0$. Suy ra điểm K thuộc cả hai mặt phẳng nên K nằm trên giao tuyến d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do M là giao điểm của d và d' nên M ∈ d' Þ M(2 + t; 2t; −1 − t).

b) Đúng. Vectơ nối hai điểm là $\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t;2t; - t} \right)$.

Vì d song song với (P) nên $\overrightarrow {AM}$ vuông góc với $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0$ Û 2(1 + t) - 2t - t = 0.

c) Đúng. Từ phương trình trên ta giải ra 2 − t = 0 Û t = 2.

Thay t = 2 vào tọa độ tham số, ta được tọa độ M(4; 4; −3).

d) Sai. Tính tọa độ vectơ chỉ phương dựa vào điểm M vừa tìm được, ta có $\overrightarrow {AM} = \left( {3;4; - 2} \right)$, hoàn toàn không phải là $\left( {3; - 4; - 2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Vectơ chỉ phương theo hệ số của phương trình là $\vec v = \left( { - 2;a; - 1} \right)$.

Vì $\vec u = \left( {4; - 6;2} \right) = - 2\left( { - 2;3; - 1} \right)$ nên ta đồng nhất và tìm được a = 3.

Vì K(1; 3; 5) thuộc d, thay tọa độ K vào t = 0, ta được cao độ z = b − 0 = 5 Þ b = 5.

Vậy S = 3 + 5 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −6

Vectơ chỉ phương của đường thẳng nối hai điểm được tính bằng biểu thức:

$\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 2;2 - \left( { - 1} \right);1 - 3} \right) = \left( {2;3; - 2} \right)$

Đồng nhất với vectơ $\vec u = \left( {2;m;n} \right)$, ta suy ra m = 3 và n = −2.

Tích cần tìm là m · n = 3 · (−2) = −6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Biến đổi phương trình đường thẳng d về dạng chuẩn bằng cách đưa hệ số của x trên tử về 1:

$\frac{{x - 2}}{{\frac{a}{3}}} = \frac{{y + 2}}{b} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}$

Vectơ chỉ phương của d là $\vec v = \left( {\frac{a}{3};b; - 2} \right)$.

Đồng nhất $\vec v$ với $\vec u = \left( {2; - 1; - 2} \right)$, ta lập được phương trình $\frac{a}{3} = 2$ Þ a = 6 và b = −1.

Tổng a + b = 6 + (−1) = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Hai vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 3} \right)$ và $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;1} \right)$.

Tính vectơ chỉ phương của d bằng tích có hướng:

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {1 \cdot 1 - \left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right);\left( { - 3} \right)2 - 1 \cdot 1;1\left( { - 1} \right) - 1 \cdot 2} \right) = \left( { - 2; - 7; - 3} \right)$

Vì a, b, c cùng dấu và nguyên tố cùng nhau, ta chọn $\vec u = - \vec v = \left( {2;7;3} \right)$.

Tổng cần tìm là 2 + 7 + 3 = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)$. Vectơ chỉ phương của d' là $\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1; - 2;3} \right)$.

Vectơ chỉ phương của d

$\vec v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_{d'}}} } \right] = \left( {\left( { - 1} \right)3 - 1\left( { - 2} \right);1 \cdot 1 - 2 \cdot 3;2\left( { - 2} \right) - \left( { - 1} \right)1} \right) = \left( { - 1; - 5; - 3} \right)$

Đồng nhất với vectơ $\vec u = \left( {a;b; - 3} \right)$, ta thu được cao độ khớp nhau hoàn toàn, do đó a = −1 và b = −5.

Biểu thức a − b = −1 − (−5) = 4.