Bài tập Viết phương trình mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là M(1; 2; −2).

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right)$ có phương trình 2y – 6z – 16 = 0 hay y – 3z – 8 = 0.

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; 1).

Gọi I là trung điểm AB. Ta có $I\left( {1;0;\frac{1}{2}} \right)$.

Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua I và nhận $\overrightarrow {BA} = \left( {2;0; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $2\left( {x - 1} \right) - \left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0$ 4x – 2z – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( { - 2;2;6} \right)$.

Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua I(−1; 1; 3) trung điểm của OA nên có phương trình x – y – 3z + 11 = 0.

Đáp án đúng là: B

Trung điểm I của đoạn MN có tọa độ I(2; 0; 3) và $\overrightarrow {MN} = \left( {0;2;2} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;1;1} \right)$ có phương trình là y + z – 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Theo đề ta có N(2; 0; 0).

Gọi I là trung điểm MN nên I có tọa độ $I\left( {2;0;\frac{1}{2}} \right)$.

Mặt phẳng trung trực đoạn MN đi qua I và nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {0;0; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $- z + \frac{1}{2} = 0$ 2z – 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 8;2;2} \right)$ và I(−1; 3; 0) là trung điểm của đoạn AB.

Phương trình mặt phẳng trung trực của AB đi qua I(−1; 3; 0) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 8;2;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

−8(x + 1) + 2(y – 3) + 2z = 0 4x – y – z + 7 = 0.

Thay tọa độ điểm G vào phương trình mặt phẳng ta được −7 + 7 = 0 (luôn đúng).

Đáp án đúng là: A

Ta có B(0; 5; 0), I là trung điểm AB I(−1; 4; 1).

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2; - 2} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của AB có dạng 2x + 2y – 2z – 4 = 0 x + y – z – 2 = 0.

Đáp án đúng là: D

Ta có G(1; 0; 2), I là trung điểm của OG nên $I\left( {\frac{1}{2};0;1} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của OG đi qua I và nhận $\overrightarrow {OG} = \left( {1;0;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x + 2z - \frac{5}{2} = 0$ 2x + 4z – 5 = 0.

Đáp án đúng là: C

Theo đề ta có A(2; 0; 0), B(0; 0; −4), I là trung điểm AB nên I(1; 0; −2).

Mặt phẳng trung trực của AB là mặt phẳng đi qua I(1; 0; −2) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là x + 2z + 3 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;2} \right)$ và I là trung điểm của AB nên I(1; 1; 2).

Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua I và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;2;2} \right)$ là vectơ pháp tuyến có phương trình

−6(x – 1) + 2(y – 1) + 2(z – 2) = 0 −6x + 2y + 2z = 0 3x – y – z = 0.

Suy ra a + b = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là M(1; 3; 0).

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} = \left( {0;2; - 6} \right)$ có phương trình 0(x – 1) + 2(y − 3) − 6(z – 0) = 0 hay y – 3z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có A(0; 1; 0) , B(3; 0; 1).

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có $I\left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

Mặt phẳng trung trực đoạn AB đi qua I và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình $3\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - 1\left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0$) ⇔ 3x − y + z – $\frac{9}{2}$ = 0 hay 6x – 2y + 2z – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {4;2;6} \right) = 2 \cdot \left( {2;1;3} \right)$.

Mặt phẳng (P) nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {2;1;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua I(2; 1; 3) trung điểm của OA nên có phương trình là:

2(x − 2) + 1(y − 1) + 3(z – 3) = 0 hay 2x + y + 3z – 14 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trung điểm I của đoạn MN có tọa độ I(4; 0; 1) và $\overrightarrow {MN} = \left( {4; - 2;6} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN đi qua I và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 1;3} \right)$ có phương trình là 2(x – 4) − 1(y – 0) + 3(z – 1) = 0 hay 2x – y + 3z – 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Theo đề ta có N (0; 1; 1).

Gọi I là trung điểm MN nên I có tọa độ $I\left( {\frac{3}{2};1;1} \right)$.

Mặt phẳng trung trực đoạn MN đi qua I và nhận $\overrightarrow n = \left( {1;0;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 0\left( {y - 1} \right) + 0\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng qua A(1; 0; 0) và vuông góc với AB nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 3x + y + 2z – 3 = 0.

c) Đúng. Gọi I là trung điểm của AB khi đó $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$.

Vậy a + b + c = $\frac{5}{2} + \frac{1}{2} + 1 = 4$.

d) Sai. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua $I\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2};1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$3\left( {x - \frac{5}{2}} \right) + 1\left( {y - \frac{1}{2}} \right) + 2\left( {z - 1} \right) = 0$ hay 3x + y + 2z – 10 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1; - 1} \right) = - 1 \cdot \left( {3;1;1} \right)$.

b) Sai. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right)$, $\overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)$.

c) Đúng. Ta có $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1;4; - 1} \right) = - \left( {1; - 4;1} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow u = \left( {1; - 4;1} \right)$.

d) Sai. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn BC là $\overrightarrow v = \overrightarrow {BC} = \left( {2;1;2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {0;3;2} \right)$.

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 2;3} \right)$

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; −2; 0) và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 1; - 2;3} \right)$ có phương trình là:

−1(x – 1) – 2(y + 2) + 3(z – 0) = 0 hay x + 2y – 3z + 3 = 0.

Khi đó a + b + c = 0.

c) Đúng. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với BC. Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; 0).

d) Sai. Gọi M là trung điểm của AC nên nên $M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua $M\left( {1;\frac{{ - 1}}{2};1} \right)$ và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;3;2} \right)$ có phương trình là:

0 (x −1) + 3$\left( {y + \frac{1}{2}} \right)$ + 2(z – 1) = 0 hay 3y + 2z − $\frac{1}{2}$ = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Trung điểm I của AB có toạ độ là I(2; 1; 2).

b) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 2} \right) = 2 \cdot \left( {1; - 1; - 1} \right) = 2\overrightarrow n$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng trung trực (P) là:

1(x – 2) – 1(y – 1) – 1( z – 2) = 0 hay x – y – z + 1 = 0.

Vậy m = 1.

c) Sai. Gọi C(0; 0; z) là điểm thuộc Oz.

Thay C(0; 0; z) vào mặt phẳng (P) ta có: z = 1.

Mặt phẳng trung trực (P) của AB cắt trục Oz tại điểm có cao độ bằng 1.

d) Sai. $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow {GH} = \left( {3; - 4;2} \right)$

b) Sai. Gọi I là trung điểm của GH nên $I\left( {\frac{5}{2};2;4} \right)$.

Ta có $\overrightarrow n = \overrightarrow {GH} = \left( {3; - 4;2} \right)$.

Mặt phẳng trung trực của đoạn GH đi qua I và nhận $\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3$\left( {x - \frac{5}{2}} \right)$ − 4(y – 2) + 2(z – 4) = 0 hay 3x – 4y + 2z − $\frac{{15}}{2}$ = 0.

c) Sai. Mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C nên A(a; 0; 0), B(0; b; 0) và C(0; 0; c).

Vì G là trọng tâm của tứ diện OABC nên

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_O}}}{4} = \frac{a}{4}}\\{{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_O}}}{4} = \frac{b}{4}}\\{{z_G} = \frac{{z{}_A + {y_A} + {z_A} + {z_O}}}{4} = \frac{c}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 4}\\{b = 16}\\{c = 12}\end{array}} \right.} \right.$.

Khi đó mặt phẳng (P) có phương trình là $\frac{x}{4} + \frac{y}{{16}} + \frac{z}{{12}} = 1$ hay 12x + 3y + 4z – 48 = 0.

Vậy a + b + c = 19.

d) Đúng. Mặt phẳng (Q) đi qua H và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Gọi I là trung điểm của AB.

Khi đó $I\left( {\frac{1}{2}; - 1;\frac{{ - 1}}{2}} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 4; - 9} \right) = - 1 \cdot \left( {3;4;9} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {3;4;9} \right)$ làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Mặt phẳng (P) có phương trình là:

3$\left( {x - \frac{1}{2}} \right)$ + 4(y + 1) + 9$\left( {z + \frac{1}{2}} \right)$ = 0 hay 3x + 4y + 9z + 7 = 0.

Vậy b = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB nên I(0; 4; 1).

Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I(0; 4; 1) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

2(x – 0) + 4(y – 4) – 4(z – 1) = 0 hay x + 2y – 2z – 6 = 0.

Thay C(2; 1; m) vào phương trình mặt phẳng trung trực AB: x + 2y – 2z – 6 = 0.

Ta có: 2 + 1∙2 – 2∙m – 6 = 0 hay m = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,7

Gọi I là trung điểm của AB nên I(2; 1; 2).

$\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4; - 4} \right) = 2 \cdot \left( {1; - 2; - 2} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Mặt phẳng (α) đi qua I và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 2} \right)$ có phương trình là:

1(x – 2) – 2(y – 1) – 2(z – 2) = 0 hay x – 2y – 2z + 4 = 0.

Mặt phẳng của (α) với các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A', B', C' nên A'(−4; 0; 0), B'(0; 2; 0) và C'(0; 0; 2).

$v = \frac{1}{6} \cdot OA' \cdot OB' \cdot OC' = \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} \approx 2{,}7$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 29

M là hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) nên M(−3; 2; 0).

N là điểm đối xứng của B qua (Oyz) nên N(−5; −4; 1).

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 6;1} \right)$.

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN do đó $I\left( { - 4; - 1;\frac{1}{2}} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua I và nhận $\overrightarrow {MN} = \left( { - 2; - 6;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình là: −2(x + 4) – 6(y + 1) + 1$\left( {z - \frac{1}{2}} \right)$ = 0 hay 4x + 12y – 2z + 29 = 0.

Vậy d = 29.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 10

Tâm I của hình vuông chính là trung điểm của đường chéo AC và BD.

Khi đó $I\left( {1;\frac{1}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$.

G là trọng tâm của tam giác ABC nên $G\left( {\frac{5}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)$.

Gọi H là trung điểm của GI nên $H\left( {\frac{4}{3};\frac{5}{{12}};\frac{{ - 5}}{{12}}} \right)$.

$\overrightarrow {GI} = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {\frac{{ - 2}}{3};\frac{1}{6};\frac{{ - 1}}{6}} \right)$ làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của đoạn GI.

Do đó phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn GI là:

$\frac{{ - 2}}{3}\left( {x - \frac{4}{3}} \right) + \frac{1}{6}\left( {y - \frac{5}{{12}}} \right) - \frac{1}{6}\left( {z + \frac{5}{{12}}} \right) = 0$

⇔ $\frac{{ - 2}}{3}x + \frac{1}{6}y - \frac{1}{6}z + \frac{3}{4} = 0$ hay 8x – 2y + 2z – 9 = 0.

Vậy a + c = 8 + 2 = 10.