Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2\left( {2; - 3;6} \right)$.

Khi đó mặt phẳng (ABC) đi qua A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)$ có phương trình là 2x – 3y + 6z = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;0} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 4} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là −4(z – 1) = 0 z – 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (MNP) có phương trình là $\frac{x}{3} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{2} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {OA} = \left( {0;1;0} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {0;0;1} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {1;0;0} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là x = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;3;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;5;0} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 22} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là 0(x – 5) + 0(y – 0) – 22z = 0 z = 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

Đáp án đúng là: A

Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(5; 0; 0), N(0; 4; 0), P(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (MNP) là $\frac{x}{5} + \frac{y}{4} + \frac{z}{3} = 1$ 12x + 15y + 20z – 60 = 0.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1 \Leftrightarrow 6x + 4y + 3z - 12 = 0$

nên a + b + c = 13.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (ABC) có dạng: $\frac{x}{2} + \frac{y}{{ - 1}} + \frac{z}{{ - 3}} = 1$ −3x + 6y + 2z + 6 = 0.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(−3; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; −2) là

$\frac{x}{{ - 3}} + \frac{y}{4} + \frac{z}{{ - 2}} = 1$ 4x – 3y + 6z + 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;4;2} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 3;4;3} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {AB,} \overrightarrow {AC} } \right] = \left( {4; - 6;12} \right) = 2 \cdot \left( {2; - 3;6} \right)$.

Khi đó phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(3; −2; −2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)$ là:

2(x – 3) – 3(y + 2) + 6(z + 2) = 0 hay 2x – 3y + 6z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2;0} \right)$.

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0; - 4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua A(0; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {0;0; - 4} \right)$ là:

−4(z – 1) = 0 hay z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (MNP) có phương trình là: $\frac{x}{4} + \frac{y}{{ - 2}} + \frac{z}{1} = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {1;0;0} \right)$, $\overrightarrow {OB} = \left( {0;1;0} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {0;0;1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng (OAB) là z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên trục Ox, Oy, Oz nên M(4; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (MNP) là $\frac{x}{4} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$ ⇔ 3x + 4y + 4z – 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Toạ độ vectơ là $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3; - 1} \right)$.

b) Sai. Toạ độ vectơ là $\overrightarrow {AC} = \left( {0; - 1;2} \right)$.

c) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là:

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 7; - 2; - 1} \right) = - 1 \cdot \left( {7;2;1} \right)$.

Do đó $\overrightarrow n = \left( {7;2;1} \right)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

d) Sai. Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(1; 2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {7;2;1} \right)$ có phương trình là:

7(x – 1) + 2(y – 2) + 1(z – 1) = 0 hay 7x + 2y + z − 12 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;2} \right)$.

Ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

c) Đúng. $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 9; - 3;12} \right) = - 3\left( {3;1; - 4} \right)$.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C và nhận $\overrightarrow n = \left( {3;1; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Vì mặt phẳng (P) đi qua A đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {1;0; - 2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;0; - 2} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {6;6; - 6} \right) = 6 \cdot \left( {1;1; - 1} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$.

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(0; 1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)$ là:

x + y – 1 – 1(z – 2) = 0 hay x + y – z + 1 = 0.

c) Đúng. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm M(−1; 0; 0).

d) Đúng. Thay N(1; −2; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0.

Ta có: 1 – 2 – 0 + 1 = 0.

Vậy N thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; 2; 3) lên Ox, Oy, Oz nên A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3).

Phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0$.

b) Sai. Phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$.

c) Đúng. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC khi đó $G\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3};1} \right)$.

d) Sai. Thay K(1; 1; m) vào phương trình mặt phẳng (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Ta có: 6∙1 + 3∙1 + 2∙m – 6 = 0 hay 3 + 2m = 0 ⇔ m = $\frac{{ - 3}}{2}$.

Vậy với m = $\frac{{ - 3}}{2}$ thì K(1; 1; m) thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (ABC) có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$.

b) Sai. Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Do đó b + c = a + 2 + a + 4 = 2a + 6.

c) Sai. Vì A(a; 0; 0) nên OA = a, B(0; b; 0) nên OB = b, C(0; 0; c) nên OC = c.

Độ dài OA, OB, OC theo thứ tự tạo thành cấp số cộng có công sai bằng 2 nên b = a + 2, c = a + 4.

Khi đó phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{{a + 2}} + \frac{z}{{a + 4}} = 1$.

Do (ABC) đi qua M(2; −2; 3) nên ta có:

$\frac{2}{a} + \frac{{ - 2}}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1 \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

Với a = 2 thì b = 4; c = 6.

Mặt phẳng (ABC) có phương trình $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$.

Vậy m + n + p = −3.

d) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n = \left( {6;3;2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;6;5} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;8;9} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {14; - 14;14} \right) = 14 \cdot \left( {1; - 1;1} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến của phương trình mặt phẳng (ABC).

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 4) và nhận $\overrightarrow n$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

1(x – 1) – 1(y – 1) + 1(z – 4) = 0 hay x – y + z – 4 = 0.

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 11

Phương trình mặt chắn cắt tia Ox tại A(a; 0; 0), cắt tia Oy tại B(0; b; 0), cắt tia Oz tại C(0; 0; c) có dạng là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ (với a > 0, b > 0, c > 0).

Theo đề: $\frac{{OA}}{1} = \frac{{OB}}{2} = \frac{{OC}}{4} \Leftrightarrow \frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{4} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = \frac{b}{2}}\\{c = 2b}\end{array}} \right.$.

Vì M(1; 3; −2) nằm trên mặt phẳng (P) nên $\frac{1}{{\frac{b}{2}}} + \frac{3}{b} + \frac{{ - 2}}{{2b}} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4$, khi đó a = 2, c = 8.

Vặy phương trình mặt phẳng (P) là $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{8} = 1 \Leftrightarrow 4x + 2y + z - 8 = 0$.

Do đó b + c – d = 11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 41

Giả sử A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng (P): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, OA + OB + OC = a + b + c.

M(1; 4; 9) thuộc mặt phẳng (P) $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1$.

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:

$\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c}} \right) \cdot \left( {a + b + c} \right)\\ = \left( {{{\left( {\sqrt {\frac{1}{a}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{4}{b}} } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {\frac{9}{c}} } \right)}^2}} \right) \cdot \left( {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt c } \right)}^2}} \right) \ge {\left( {1 + 2 + 3} \right)^2}\end{array}$

⇒ a + b + c ≥ 36.

Dấu “ = “ xảy ra khi $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{1}{a} + \frac{4}{b} + \frac{9}{c} = 1}\\{\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 6}\\{b = 12}\\{c = 18}\end{array}} \right.$.

Nên (P): $\frac{x}{6} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{18}} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 36 = 0$.

Vậy b + c – d = 41.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Phương trình mặt phẳng (ABC) $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow - 3x + 2y + z - 6 = 0$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow n = \left( { - 3;2;1} \right)$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{SH \bot \left( {ABC} \right)}\\{SH \subset \left( {SHB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left( {SHB} \right) \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi $\overrightarrow {{n_1}}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SHB) ta có:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow n }\\{\overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {SB} }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right]$.

$\overrightarrow {SB} = \left( {1; - 3; - 2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {SB} } \right] = \left( { - 1; - 5;7} \right)$.

Do mặt phẳng (SHB) đi qua điểm B và nhận $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 1; - 5;7} \right)$ là một vectơ pháp tuyến nên ta có phương trình:

−1(x – 0) − 5(y – 3) + 7(z – 0) = 0 hay x + 5y – 7z – 15 = 0.

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

$\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2; - 3} \right)$.

Do đó: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {1;1;0} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 3; 5) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)$ có phương trình là:

1(x – 2) + 1(y – 3) + 0(z – 5) = 0 hay x + y – 5 = 0.

Thay M(1; m; 0) vào phương trình mặt phẳng (P): x + y – 5 = 0.

Ta có: 1 + m – 5 = 0 hay m = 4.

Vậy m = 4.