Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có cặp vectơ chỉ phương lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 5; - 1} \right)$ nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 3x – 5y – z – 9 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)$, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$.

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {0;8;12} \right)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(2; 4; 1) suy ra phương trình tổng quát của mặt phẳng (Q) là 0(x – 2) + 8(y – 4) + 12(z – 1) = 0 2y + 3z – 11 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;\,\, - 2;\,\,2} \right),\,\,\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;\,\,2;\,\, - 1} \right).$

Khi đó, $\overrightarrow {{n_Q}} = - \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{n_P},} \,\,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {1;\,\,0;\,\,1} \right).$

Mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0;1} \right)$ làm 1 vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 2; –1) nên có phương trình là:

1.(x ‒ 1) + 0.(y ‒ 2) + 1.(z + 1) = 0 hay x + z = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;1} \right)$, vectơ pháp tuyến mặt phẳng (Q): $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4; - 3; - 2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P): 4x – 3(y – 1) – 2z = 0 4x – 3y – 2z + 3 = 0.

Đáp án đúng là: C

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (α), (β) lần lượt là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {5; - 4;3} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Suy ra mặt phẳng (P) có phương trình là 2x + y – 2z = 0.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3;2} \right)$ và $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow n ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {0;8;12} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (Q): 0(x + 1) + 8(y – 1) + 12(z – 3) = 0 2y + 3z – 11 = 0.

Do đó a = 0; b = 2; c = 3. Do đó a + b + c = 5.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 6;3;1} \right)$; $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;1;1} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {2;9; - 15} \right)$ .

Phương trình mặt phẳng (P): 2(x – 3) + 9(y – 2) – 15(z – 1) = 0

2x + 9y – 15z – 9 = 0.

Suy ra a = 2; b = 9; c = −15. Do đó a + b + c = 2 + 9 + (−15) = −4.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$, $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {0;1;0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3;0;2} \right)$.

Mặt phẳng (R) có phương trình là −3x + 2z + 1 = 0 3x − 2z – 1 = 0.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 1;1} \right)$. Mặt phẳng (P) có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_P}} } \right] = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng cần tìm là 1(x – 0) + 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0

x + y – z – 1 = 0.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;1} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 2;0; - 4} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {16;6; - 8} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P): 16(x + 1) + 6(y – 3) – 8(z – 1) = 0

8x + 3y – 4z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {2;1;3} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;1;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( { - 1; - 1;1} \right)$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; −1; 2) có vectơ pháp tuyến$\overrightarrow n = \left( { - 1; - 1;1} \right)$ có dạng −x − (y + 1) + 1(z − 2) = 0 ⇔ −x − y + z −3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right)$, $\overrightarrow b = \left( {1;0;2} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {2; - 6; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) qua C(1; 1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {2; - 6; - 1} \right)$ nên ta có phương trình: 2(x – 1) – 6(y – 1) – (z – 3) = 0 hay 2x – 6y – z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua M(0; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {3; - 5; - 1} \right)$ nên có phương trình 3(x – 0) – 5(y + 2) – (z – 1) = 0 hay 3x – 5y – z – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 3;6; - 3} \right) = - 3 \cdot \left( {1; - 2;1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(−1;2;3) và nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

(x + 1) – 2(y – 2) + (z – 3) hay x – 2y + z + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {MM'} = \left( {4;2;6} \right)$.

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7;1; - 5} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M' và nhận $\overrightarrow n = \left( {7;1; - 5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

7(x – 5) + 1(y – 4) – 5(z – 2) = 0 hay 7x + y – 5z – 29 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 1;1;2} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - 1;1;2} \right)$:

−1(x – 2) + y – 1 + 2(z – 1) = 0 ⇔ x – y – 2z + 1 = 0.

c) Đúng. Thay A(4; 3; 1) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.

Ta có: 4 – 3 − 2∙1 + 1 = 0.

Vậy A thuộc mặt phẳng (P)

d) Sai. Thay B(2; 0; 8) vào phương trình mặt phẳng (P): x – y – 2z + 1 = 0.

Ta có: 2 – 0 − 2∙8 + 1 = − 13.

Vậy B không thuộc mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (Q) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {7; - 3;1} \right)$.

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; −1; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {7; - 3;1} \right)$ là:

7(x – 1) – 3(y + 1) + (z – 2) = 0 ⇔ 7x − 3 y + z − 12 = 0.

c) Sai. Thay O(0; 0; 0) vào phương trình mặt phẳmg (Q): 7x − 3 y + z − 12 = 0.

Ta có: 7∙0 − 3∙0 + 0 – 12 = −12.

Vậy O không thuộc mặt phẳng (Q).

d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) là điểm M'(1; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. H' là hình chiếu vuông góc của H trên mặt phẳng (Oxy) nên H'(3; 4; 0).

b) Đúng. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {4; - 5; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H'(3; 4; 0) và nhận $\overrightarrow n = \left( {4; - 5; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

4(x – 3) – 5(y – 4) – z = 0 ⇔ 4x − 5y – z + 8 = 0.

c) Sai. Thay M(0; 0; 3) vào phương trình mặt phẳng (P): 4x − 5y – z + 8 = 0.

Ta có: 4∙0 − 5∙0 – 3 + 8 = 5.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (P).

d) Sai. $\overrightarrow {{n_1}} = \left( { - 8;10; - 2} \right) = - 2 \cdot \left( {4; - 5;1} \right)$ không cùng phương với $\overrightarrow n$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)$.

b) Sai. Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) từ phương trình tổng quát là: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3m - 1;14; - 4} \right)$.

Để (Q) nhận hai vectơ $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ làm cặp vectơ chỉ phương thì vectơ $\overrightarrow {{n_Q}}$ phải cùng phương với tích có hướng $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 5;7; - 2} \right)$.

⇒ $\overrightarrow {{n_Q}} = k \cdot \left( { - 5;7; - 2} \right) = \left( { - 5k;7k; - 2k} \right)$.

Khi đó$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3m - 1 = - 5k}\\{14 = 7k}\\{ - 4 = - 2k}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3m - 1 = - 5k{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{ }}}\\{k = 2{\rm{ }}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{3m - 1 = - 10}\\{k = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = - 3}\\{k = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.$.

c) Sai. Với m = 2 mặt phẳng (Q) có phươmg trình là: 5x + 14y −4z – 5 = 0.

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(0; 2; −1) và nhận $\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {5;14; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

5x + 14(y – 2) − 4(z + 1) = 0 ⇔ 5x + 14y – 4z – 32 = 0.

d) Đúng. Để $\overrightarrow a$ là vectơ chỉ phương của mặt phẳng (Q) thì $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0$.

Ta có: 0∙(3m – 1) + 2∙14 + 7∙(−4) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3;3;3} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {0;0;1} \right)$.

b) Đúng. Tích có hướng của $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {3; - 3;0} \right)$.

c) Sai. Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng hướng.

d) Sai. Vì mặt phẳng (Q) song song với trục Ox và đường thẳng BC nên nhận $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3; - 2} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0; - 2;3} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 2; 3) và nhận $\overrightarrow n = \left( {0; - 2;3} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

0(x – 1) − 2(y – 2) + 3(z – 3) = 0 hay 2y − 3z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

$\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$.

Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oy và đường thẳng BC nên nhận $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2; - 1} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow j ,\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - 1;0;2} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; −2; −1) và nhận $\overrightarrow n = \left( { - 1;0;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

−(x – 1) + 2(z + 1) = 0 hay x – 2z – 3 = 0.

Vậy C = −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −9

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}}$ của mặt phẳng (P) là tích có hướng của cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow a$, $\overrightarrow b$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right] = \left( {3; - 5; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận $\overrightarrow {{n_P}}$ làm vectơ pháp tuyến là:

3x – 5(y + 2) – 1(z – 1) = 0 ⇔ 3x – 5y – z – 9 = 0.

Vậy D = −9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 28

Hình chiếu của M lên Oz là M'(0; 0; 4).

$\overrightarrow u = \overrightarrow {MM'} = \left( { - 2;1;0} \right)$.

Vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] =$$\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {1;2; - 7} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2; −1; 4) và nhận $\overrightarrow {{n_P}}$ làm vectơ pháp tuyến là:

1(x – 2) + 2(y + 1) − 7(z – 4) = 0 ⇔ x + 2y – 7z + 28 = 0.

Vậy D = 28.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Gọi M(x; y; z) .

Ta có $\overrightarrow {MA} = 2\overrightarrow {MB}$.

Khi đó: $\left( {5 - x;1 - y;3 - z} \right) = 2 \cdot \left( {2 - x; - 2 - y; - z} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5 - x = 2 \cdot \left( {2 - x} \right)}\\{1 - y = 2 \cdot \left( { - 2 - y} \right)}\\{3 - z = - 2z}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = - 1}\\{y = - 5}\\{z = - 3}\end{array}} \right.$Þ M(−1; −5; −3).

Có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right)$, $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( { - 6;3;3} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và nhận $\overrightarrow n$ làm vectơ pháp tuyến là:

2(x + 1) – 1(y + 5) – 1(z + 3) = 0⇔ 2x − y – z – 6 = 0.

Suy ra A = 2; B = −1; C = −1. Do đó T = 2 – 1 – 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Do M thuộc trục Oy nên M(0; y; 0).

$OM = \sqrt {{0^2} + {y^2} + {0^2}} = 3 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Leftrightarrow y = 3$ (do M có tung độ dương).

Khi đó M(0; 3; 0).

Vì mặt phẳng (P) song song với trục Oz và đường thẳng AB nên nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ và $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1;0} \right)$ làm cặp vectơ chỉ phương nên ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 2;0} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 3; 0) và nhận $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

1(x – 0) − 2(y – 3) + 0(z – 0) = 0 ⇔ x −2y + 6 = 0.

Vậy A = 1.