TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 (có lời giải)

Về trang đề

Câu 1

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Đáp án đúng là: D

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{2a+2b−d=26a+2b+4c−d=14−2a+2b+4c−d=62a−2b+4c−d=6\left\{ \begin{array}{l}2a + 2b - d = 2\\6a + 2b + 4c - d = 14\\ - 2a + 2b + 4c - d = 6\\2a - 2b + 4c - d = 6\end{array} \right.⇔{a=1b=1c=2d=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 2\\d = 2\end{array} \right..

Vậy (x − 1)2^{2} + (y − 1)2^{2} + (z − 2)2^{2} = 4.

Câu 2

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

{d=04a−2b−6c+d=−14−2a+2b+d=−2−4a−2c+d=−5\left\{ \begin{array}{l}d = 0\\4a - 2b - 6c + d = - 14\\ - 2a + 2b + d = - 2\\ - 4a - 2c + d = - 5\end{array} \right.⇔{a=−114b=−1514c=3714d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{14}}\\b = - \frac{{15}}{{14}}\\c = \frac{{37}}{{14}}\\d = 0\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu cần lập: x2+y2+z2+17x+157y−377z=0{x^2} + {y^2} + {z^2} + \frac{1}{7}x + \frac{{15}}{7}y - \frac{{37}}{7}z = 0.

Câu 3

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

D. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

A. Vì O, A, B, C (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−8b+d=−16−8c+d=−16d=0\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 8c + d = - 16\\d = 0\end{array} \right.⇔{a=1b=2c=2d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\\d = 0\end{array} \right..

Bán kính R=a2+b2+c2−d=3R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 3.

Do đó (x − 1)2^{2} + (y − 2)2^{2} + (z − 2)2^{2} = 9.

Câu 4

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−12a+4b−6c+d=−49−2b−12c+d=−37−4a+2c+d=−5−8a−2b+d=−17\left\{ \begin{array}{l} - 12a + 4b - 6c + d = - 49\\ - 2b - 12c + d = - 37\\ - 4a + 2c + d = - 5\\ - 8a - 2b + d = - 17\end{array} \right.⇔{a=2b=−1c=3d=−3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\\c = 3\\d = - 3\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − 4x + 2y − 6z – 3 = 0.

Câu 5

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a+d=−1−2b+d=−1−2c+d=1−2a−2b−2c+d=−3\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\ - 2c + d = 1\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.⇔{a=12b=12c=12d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = 0\end{array} \right..

Bán kính R=a2+b2+c2−d=32R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

Vậy phương trình mặt cầu: (x−12)2+(y−12)2+(z−12)2=34{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.

Câu 6

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Đáp án đúng là: A

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a+d=−1−2b+d=−12c+d=−1−4a+2b−2c+d=−6\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 1\\ - 2b + d = - 1\\2c + d = - 1\\ - 4a + 2b - 2c + d = - 6\end{array} \right.⇔{a=−52b=−52c=52d=−6\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{5}{2}\\b = - \frac{5}{2}\\c = \frac{5}{2}\\d = - 6\end{array} \right..

Vậy mặt cầu (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 5x + 5y − 5z – 6 = 0.

Câu 7

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

C. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

D. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

A. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2a−2b+d=−2−4b−2c+d=−5−2a−4c+d=−5−2a−2b−2c+d=−3\left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b + d = - 2\\ - 4b - 2c + d = - 5\\ - 2a - 4c + d = - 5\\ - 2a - 2b - 2c + d = - 3\end{array} \right.⇔{a=−32b=−12c=12d=−6\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{3}{2}\\b = - \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 6\end{array} \right..

Do đó mặt cầu có tâm I(−32;−12;12)I\left( {\frac{{ - 3}}{2}; - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) và R=352R = \frac{{\sqrt {35} }}{2}.

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 3x + y − z – 6 = 0.

Câu 8

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

B. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

C. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

D. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−8b+d=−16−12c+d=−36−4a−8b−12c+d=−56\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 8b + d = - 16\\ - 12c + d = - 36\\ - 4a - 8b - 12c + d = - 56\end{array} \right.⇔{a=1b=2c=3d=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = 0\end{array} \right..

Do đó (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − 2x − 4y − 6z = 0.

Câu 9

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Đáp án đúng là: C

A. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

B. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

C. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−4a+d=−4−4b+d=−4−4c+d=−4−2a−2b−4c+d=−6\left\{ \begin{array}{l} - 4a + d = - 4\\ - 4b + d = - 4\\ - 4c + d = - 4\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\end{array} \right.⇔{a=12b=12c=12d=−2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = \frac{1}{2}\\c = \frac{1}{2}\\d = - 2\end{array} \right..

Vậy phương trình mặt cầu (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} − x − y – z − 2 = 0.

Câu 10

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Đáp án đúng là: B

D. Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

A. x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

B. Vì A, B, C, D (S) nên ta có hệ phương trình

{−2b+d=−1−8a−2b+d=−17−4a−6b+d=−13−4a−2b+4c+d=−9\left\{ \begin{array}{l} - 2b + d = - 1\\ - 8a - 2b + d = - 17\\ - 4a - 6b + d = - 13\\ - 4a - 2b + 4c + d = - 9\end{array} \right.⇔{a=2b=1c=0d=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 0\\d = 1\end{array} \right..

Vậy I(2; 1; 0), R = 2.

Câu 11

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình mặt cầu (S): x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – d > 0).

Vì mặt cầu đi qua 4 điểm:

{18−6a−6b+d=018−6a−6c+d=018−6b−6c+d=027−6a−6b−6c+d=0⇔{−6a−6b+d=−18−6a−6c+d=−18−6b−6c+d=−18−6a−6b−6c+d=−27⇔{a=32b=32c=32d=0\left\{ \begin{array}{l}18 - 6a - 6b + d = 0\\18 - 6a - 6c + d = 0\\18 - 6b - 6c + d = 0\\27 - 6a - 6b - 6c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 6a - 6b + d = - 18\\ - 6a - 6c + d = - 18\\ - 6b - 6c + d = - 18\\ - 6a - 6b - 6c + d = - 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 0\end{array} \right..

Suy ra tâm I(32;32;32)I\left( {\frac{3}{2};\frac{3}{2};\frac{3}{2}} \right), bán kính R = (32)2+(32)2+(32)2=332\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}.

Vậy phương trình mặt cầu là: (x−32)2+(y−32)2+(z−32)2=274{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{27}}{4}.

Câu 12

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a−2)2+(b−1)2+(c+1)2=(a−4)2+(b−1)2+(c−1)2(a−2)2+(b−1)2+(c+1)2=(a−0)2+(b−1)2+(c−1)2(a−2)2+(b−1)2+(c+1)2=(a−2)2+(b+1)2+(c−1)2\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\end{array} \right.

⇔{a2−4a+4+c2+2c+1=a2−8a+16+c2−2c+1a2−4a+4+c2+2c+1=a2+c2−2c+1b2−2b+1+c2+2c+1=b2+2b+1+c2−2c+1⇔{a=2b=1c=1\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} - 8a + 16 + {c^2} - 2c + 1\\{a^2} - 4a + 4 + {c^2} + 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 2c + 1\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 2c + 1 = {b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right..

Do đó, I(2; 1; 1), R2^{2} = IA2^{2} = (2 – 2)2^{2} + (1 – 1)2^{2} + (1 + 1)2^{2} = 4.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 2)2^{2} + (y – 1)2^{2} + (z – 1)2^{2} = 4.

Câu 13

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a+1)2+(b+1)2+(c−0)2=(a−1)2+(b+1)2+(c+2)2(a+1)2+(b+1)2+(c−0)2=(a+3)2+(b+1)2+(c+2)2(a+1)2+(b+1)2+(c−0)2=(a+1)2+(b−1)2+(c+2)2\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\\{\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 0} \right)^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2}\end{array} \right.

⇔{a2+2a+1+c2=a2−2a+1+c2+4c+4a2+2a+1+c2=a2+6a+9+c2+4c+4b2+2b+1+c2=b2−2b+1+c2+4c+4⇔{a=−1b=−1c=−2\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4\\{a^2} + 2a + 1 + {c^2} = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} + 4c + 4\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} + 4c + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 1\\c = - 2\end{array} \right..

Do đó, I(-1; -1; -2), R2^{2} = IA2^{2} = (-1 + 1)2^{2} + (-1 + 1)2^{2} + (-2 – 0)2^{2} = 4.

Vậy phương trình cần tìm là: (x + 1)2^{2} + (y + 1)2^{2} + (z + 2)2^{2} = 4.

Câu 14

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a−3)2+(b+1)2+(c−1)2=(a−6)2+(b+1)2+(c−4)2(a−3)2+(b+1)2+(c−1)2=(a−0)2+(b+1)2+(c−4)2(a−3)2+(b+1)2+(c−1)2=(a−3)2+(b+4)2+(c−4)2\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 6} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 0} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b + 4} \right)^2} + {\left( {c - 4} \right)^2}\end{array} \right.

⇔{a2−6a+9+c2−2c+1=a2−12a+36+c2−8c+16a2−6a+9+c2−2c+1=a2+c2−8c+16b2+2b+1+c2−2c+1=b2+8b+16+c2−8c+16⇔{a=3b=−1c=4\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 12a + 36 + {c^2} - 8c + 16\\{a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} + {c^2} - 8c + 16\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} + 8b + 16 + {c^2} - 8c + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 1\\c = 4\end{array} \right..

Do đó, I(3; -1; 4), R2^{2} = IA2^{2} = (3 – 3)2^{2} + (-1 + 1)2^{2} + (4 – 1)2^{2} = 9.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 3)2^{2} + (y + 1)2^{2} + (z – 4)2^{2} = 9.

Câu 15

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a−1)2+(b+2)2+(c+2)2=(a−5)2+(b+2)2+(c−6)2(a−1)2+(b+2)2+(c+2)2=(a+3)2+(b+2)2+(c−6)2(a−1)2+(b+2)2+(c+2)2=(a−1)2+(b+6)2+(c−6)2\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c + 2} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b + 6} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.

⇔{a2−2a+1+c2+4c+4=a2−10a+25+c2−12c+36a2−2a+1+c2+4c+4=a2+6a+9+c2−12c+36b2+4b+4+c2+4c+4=b2+12b+36+c2−12c+36⇔{a=1b=−2c=3\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} - 10a + 25 + {c^2} - 12c + 36\\{a^2} - 2a + 1 + {c^2} + 4c + 4 = {a^2} + 6a + 9 + {c^2} - 12c + 36\\{b^2} + 4b + 4 + {c^2} + 4c + 4 = {b^2} + 12b + 36 + {c^2} - 12c + 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\\c = 3\end{array} \right..

Do đó, I(1; -2; 3), R2^{2} = IA2^{2} = (1 – 1)2^{2} + (-2 + 2)2^{2} + (3 + 2)2^{2} = 25.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)2^{2} + (y + 2)2^{2} + (z – 3)2^{2} = 25.

Câu 16

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Sai

  • c) Đúng

  • d) Sai

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Mặt cầu tâm A đi qua B có bán kính

R = AB = (1−1)2+(1+4)2+(−3−2)2=52\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 + 4} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 2} \right)}^2}} = 5\sqrt 2.

b) Sai. Phương trình mặt cầu tâm A đi qua B là: (x – 1)2 + (y + 4)2 + (z – 2)2 = 50.

c) Đúng. Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết: {IA=IBIA=ICIA=ID⇔{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{y−z=−1x+7y=−2−4y+z=1⇔{x=−2y=0z=1\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z = - 1\\x + 7y = - 2\\ - 4y + z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 0\\z = 1\end{array} \right..

Do đó, tâm I(-2; 0; 1), R = IA = 26\sqrt {26}.

Vậy (S): (x + 2)2^{2} + y2^{2} + (z – 1)2^{2} = 26.

d) Sai. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 26\sqrt {26}.

Câu 17

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Đúng

  • c) Sai

  • d) Đúng

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: R2^{2} = AB2^{2} = (0 – 2)2^{2} + (4 – 0)2^{2} + 02^{2} = 20.

Vậy phương trình mặt cầu tâm A và đi qua điểm B là: (x – 2)2^{2} + y2^{2} + z2^{2} = 20.

b) Đúng. Gọi tâm I là trung điểm của BC => I(0; 2; 2).

Ta có: R2^{2} = IB2^{2} = (0 – 0)2^{2} + (4 – 2)2^{2} + (0 – 2)2^{2} = 8.

Vậy phương trình mặt cầu với BC là đường kính có dạng khai triển là: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 4y – 4z = 0.

c) Sai. Ta có: MA→=(2−x;  −y;  −z)\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right), MB→=(−x;  4−y;  −z)\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,4 - y;\,\, - z} \right).

MA→⋅MB→=0⇔(2−x)(−x)+(−y)(4−y)+(−z)(−z)=0\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( {4 - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( { - z} \right) = 0

<=> x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} – 2x – 4y = 0.

<=> (x2^{2} – 2x) + (y2^{2} – 4y) + z2^{2} = 0

<=> (x – 1)2^{2} – 1 + (y – 2)2^{2} – 4 + z2^{2} = 0.

<=> (x – 1)2^{2} + (y – 2)2^{2} + z2^{2} = 5.

Vậy bán kính R = 5\sqrt 5.

d) Đúng. Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

{IA=IDIB=IDIC=ID⇔{IA2=ID2IB2=ID2IC2=ID2⇔{(a−2)2+b2+c2=a2+b2+c2a2+(b−4)2+c2=a2+b2+c2a2+b2+(c−4)2=a2+b2+c2⇔{−4a+4=0−8b+16=0−8c+16=0⇔{a=1b=2c=2\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\\{a^2} + {b^2} + {\left( {c - 4} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4a + 4 = 0\\ - 8b + 16 = 0\\ - 8c + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 2\end{array} \right.

Do đó, tâm I(1; 2; 2), R2^{2} = ID2^{2} = 12^{2} + 22^{2} + 22^{2} = 9.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 1)2^{2} + (y – 2)2^{2} + (z – 2)2^{2} = 9.

Câu 18

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Sai

  • b) Đúng

  • c) Sai

  • d) Sai

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: MD→=(1−x;  1−y;  1−z)\overrightarrow {MD} = \left( {1 - x;\,\,1 - y;\,\,1 - z} \right).

b) Đúng. I là trung điểm của AB => I(1; 2; 0).

Ta có: R2^{2} = IA2^{2} = (2 – 1)2^{2} + (1 – 2)2^{2} + (-1 – 0)2^{2} = 3.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB có tọa độ tâm I(1; 2; 0) và bán kính bình phương bằng 3.

c) Sai.

Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu (S) cần tìm.

Theo giả thiết:

{IA=IDIB=IDIC=ID⇔{IA2=ID2IB2=ID2IC2=ID2⇔{(a−2)2+(c+1)2=(a−1)2+(c−1)2a2+(b−3)2=(a−1)2+(b−1)2b2+2b+1+c2−4c+4=b2−2b+1+c2−2c+1\left\{ \begin{array}{l}IA = ID\\IB = ID\\IC = ID\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{D^2}\\I{B^2} = I{D^2}\\I{C^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {c + 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{b^2} + 2b + 1 + {c^2} - 4c + 4 = {b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1\end{array} \right.

⇔{2a−4c=32a−4b=−74b−2c=−3⇔{a=−232b=−4c=−132\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 4c = 3\\2a - 4b = - 7\\4b - 2c = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{23}}{2}\\b = - 4\\c = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right..

Vậy phương trình cần tìm là: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} + 23x + 8y + 13z – 47 = 0.

d) Sai. Bán kính của mặt cầu là

R=IA=(−232−2)2+(−4−1)2+(−132+1)2=5382R = IA = \sqrt {{{\left( { - \frac{{23}}{2} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{13}}{2} + 1} \right)}^2}} = \frac{{5\sqrt {38} }}{2}.

Câu 19

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Đúng

  • b) Đúng

  • c) Sai

  • d) Sai

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Trọng tâm tứ diện ABCD là: G(3; 3; 3).

Khoảng cách từ G đến A là: GA2^{2} = (6 – 3)2^{2}+ (0 – 3)2^{2} + (0 – 3)2^{2} = 27.

Khoảng cách từ G đến B là: GB2^{2} = (0 – 3)2^{2} + (6 – 3)2^{2} + (0 – 3)2^{2} = 27.

Khoảng cách từ G đến C là: GC2^{2} = (0 – 3)2^{2} + (0 – 3)2^{2} + (6 – 3)2^{2} = 27.

Khoảng cách từ G đến D là: GD2^{2} = (6 – 3)2^{2} + (6 – 3)2^{2} + (6 – 3)2^{2} = 27.

Ta có: GA = GB = GC = GD.

Vậy G chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

b) Đúng. Với tâm G(3; 3; 3), R2^{2} = GA2^{2} = 27, ta có phương trình mặt cầu là:

(x – 3)2^{2} + (y – 3)2^{2} + (z – 3)2^{2} = 27.

c) Sai.

Tâm I là trung điểm của AB => I(3; 3; 0).

Ta có: R2^{2} = IA2^{2} = (6 – 3)2^{2} + (0 – 3)2^{2} + (0 – 0)2^{2} = 18.

d = a2^{2} + b2^{2} + c2^{2} – R2^{2} = 32^{2} + 32^{2} + 02^{2} – 18 = 0.

Vậy hệ số tự do d = 0.

d) Sai. Ta có: MA→=(6−x;  −y;  −z)\overrightarrow {MA} = \left( {6 - x;\,\, - y;\,\, - z} \right), MC→=(−x;  −y;  6−z)\overrightarrow {MC} = \left( { - x;\,\, - y;\,\,6 - z} \right)

MA→⋅MC→=(6−x)(−x)+(−y)(−y)+(−z)(6−z)=0\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {6 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( { - y} \right)\left( { - y} \right) + \left( { - z} \right)\left( {6 - z} \right) = 0

⇔−6x+x2+y2−6z+z2=0\Leftrightarrow - 6x + {x^2} + {y^2} - 6z + {z^2} = 0

⇔(x2−6x)+y2+(z2−6z)=0\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 6x} \right) + {y^2} + \left( {{z^2} - 6z} \right) = 0

⇔(x−3)2−9+y2+(z−3)2−9=0\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - 9 + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} - 9 = 0

⇔(x−3)2+y2+(z−3)2=18\Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 18.

Vậy R = 18=32\sqrt {18} = 3\sqrt 2.

Câu 20

Lời giải do TopStudy biên soạn

  • a) Sai

  • b) Đúng

  • c) Đúng

  • d) Đúng

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} - 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì mặt cầu đi qua M, N, P, Q, thay vào phương trình ta được:

{12+12+12−2a−2b−2c+d=012+22+12−2a−4b−2c+d=012+12+22−2a−2b−4c+d=022+22+12−4a−4b−2c+d=0⇔{−2a−2b−2c+d=−3−2a−4b−2c+d=−6−2a−2b−4c+d=−6−4a−4b−2c+d=−9⇔{a=32b=32c=32d=6\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2a - 2b - 2c + d = 0\\{1^2} + {2^2} + {1^2} - 2a - 4b - 2c + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {2^2} - 2a - 2b - 4c + d = 0\\{2^2} + {2^2} + {1^2} - 4a - 4b - 2c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b - 2c + d = - 3\\ - 2a - 4b - 2c + d = - 6\\ - 2a - 2b - 4c + d = - 6\\ - 4a - 4b - 2c + d = - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{3}{2}\\b = \frac{3}{2}\\c = \frac{3}{2}\\d = 6\end{array} \right..

Vậy hệ số tự do d = 6.

b) Đúng. Tọa độ tâm của mặt cầu là I(32;  32;  32)I\left( {\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{3}{2}} \right).

c) Đúng. Ta có: R = (32)2+(32)2+(32)2−6=32\sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} - 6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.

Thể tích khối cầu là: V=43πR3=43π⋅(32)3=3π2V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi \cdot {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 \pi }}{2}.

d) Đúng. Phương trình mặt cầu (S) là: (x−32)2+(y−32)2+(z−32)2=34{\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z - \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{3}{4}.

Câu 21

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 2,45

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,45

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Khi đó:

{AI2=BI2AI2=CI2AI2=DI2⇔{(a−2)2+b2+c2=(a−1)2+(b−3)2+c2(a−2)2+b2+c2=(a+1)2+b2+(c−3)2(a−2)2+b2+c2=(a−1)2+(b−2)2+(c−3)2\left\{ \begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\A{I^2} = C{I^2}\\A{I^2} = D{I^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a + 1} \right)^2} + {b^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\end{array} \right.

⇔{a−3b=−3a−c=−1a−2b−3c=−5⇔{a=0b=1c=1.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 3b = - 3\\a - c = - 1\\a - 2b - 3c = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 1\\c = 1\end{array} \right..

Do đó, I(0; 1; 1), bán kính R = IA = 22+12+12=6≈2,45\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \approx 2{,}45.

Câu 22

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x2^{2} + y2^{2} + z2^{2} - 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Vì mặt cầu đi qua A, B, C, D, thay vào phương trình ta được:

{12+12+12−2a−2b−2c+d=032+12+12−6a−2b−2c+d=012+32+12−2a−6b−2c+d=012+12+32−2a−2b−6c+d=0⇔{−2a−2b−2c+d=−3−6a−2b−2c+d=−11−2a−6b−2c+d=−11−2a−2b−6c+d=−11⇔{a=2b=2c=2d=9\left\{ \begin{array}{l}{1^2} + {1^2} + {1^2} - 2a - 2b - 2c + d = 0\\{3^2} + {1^2} + {1^2} - 6a - 2b - 2c + d = 0\\{1^2} + {3^2} + {1^2} - 2a - 6b - 2c + d = 0\\{1^2} + {1^2} + {3^2} - 2a - 2b - 6c + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 2b - 2c + d = - 3\\ - 6a - 2b - 2c + d = - 11\\ - 2a - 6b - 2c + d = - 11\\ - 2a - 2b - 6c + d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\\d = 9\end{array} \right..

Ta có: R = 22+22+22−9=3\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} - 9} = \sqrt 3. Do đó, a = 1; n = 3 => T = 1 + 3 = 4.

Câu 23

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 4

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNPQ.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IM = IN = IP = IQ.

Ta có hệ phương trình:

{IM2=IN2IM2=IP2IM2=IQ2⇔{(a−2)2+(b+1)2+(c−3)2=(a−4)2+(b+1)2+(c−3)2(a−2)2+(b+1)2+(c−3)2=(a−2)2+(b−3)2+(c−3)2(a−2)2+(b+1)2+(c−3)2=(a−2)2+(b+1)2+(c−9)2⇔{a2−4a+4=a2−8a+16b2+2b+1=b2−6b+9c2−6c+9=c2−18c+81⇔{a=3b=1c=6\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{M^2} = I{N^2}\\I{M^2} = I{P^2}\\I{M^2} = I{Q^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} + {\left( {c - 9} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 = {a^2} - 8a + 16\\{b^2} + 2b + 1 = {b^2} - 6b + 9\\{c^2} - 6c + 9 = {c^2} - 18c + 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 1\\c = 6\end{array} \right.\end{array}

Do đó, I(3; 1; 6).

Hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oxy) là H(3; 1; 0).

=> x = 3, y = 1, z = 0 => x + y + z = 3 + 1 + 0 = 4.

Câu 24

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 3,16

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3,16

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a−2)2+b2+c2=a2+(b−4)2+c2(a−2)2+b2+c2=a2+b2+(c−6)2(a−2)2+b2+c2=(a−2)2+(b−4)2+(c−6)2⇔{a2−4a+4+b2=a2+b2−8b+16a2−4a+4+c2=a2+c2−12c+36b2+c2=b2−8b+16+c2−12c+36⇔{a=1b=2c=3\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {c^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {a^2} + {b^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\\{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} + {c^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} = {a^2} + {b^2} - 8b + 16\\{a^2} - 4a + 4 + {c^2} = {a^2} + {c^2} - 12c + 36\\{b^2} + {c^2} = {b^2} - 8b + 16 + {c^2} - 12c + 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\end{array} \right.\end{array}

Khoảng cách từ điểm I(1; 2; 3) đến trục Oy là:

d=(I,Oy)=12+32=10≈3,16d = \left( {I,Oy} \right) = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \approx 3{,}16.

Câu 25

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: 70

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 70

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì I cách đều bốn đỉnh nên: IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

{IA2=IB2IA2=IC2IA2=ID2⇔{(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2=(a−5)2+(b−1)2+(c−1)2(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2=(a−1)2+(b−5)2+(c−1)2(a−1)2+(b−1)2+(c−1)2=(a−1)2+(b−1)2+(c−7)2⇔{a2−2a+1=a2−10a+25b2−2b+1=b2−10b+25c2−2c+1=c2−14c+49⇔{a=3b=3c=4\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 5} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 7} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 = {a^2} - 10a + 25\\{b^2} - 2b + 1 = {b^2} - 10b + 25\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 14c + 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = 4\end{array} \right.\end{array}

Suy ra I(3; 3; 4).

Vì AA' là đường kính của mặt cầu nên I là trung điểm AA'.

Khi đó, ta có hệ phương trình: {1+x2=31+y2=31+z2=4⇔{x=5y=5z=7\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + x}}{2} = 3\\\frac{{1 + y}}{2} = 3\\\frac{{1 + z}}{2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 5\\z = 7\end{array} \right..

Do đó, A'(5; 5; 7) Þ x = 5, y = 5, z = 7 Þ T = (x + y)z = (5 + 5)7 = 70.