Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 + 2.1 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 2$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 4.

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1$ 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Có $R = d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| 6 \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{7}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 - 2.2 - 2.\left( { - 1} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) - 1 - 3.2 - 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \sqrt {14}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 14.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 - 2.2 - 2.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 3$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).

Ta có $\overrightarrow {HI} = \left( {3;4;0} \right)$.

Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:

$R = d\left( {I,Oz} \right) = HI = \sqrt {{3^2} + {4^2} + {0^2}} = 5$.

Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)$^{2}$ + (y − 4)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {75} \right|}}{{\sqrt {{{16}^2} + {{\left( { - 15} \right)}^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 3$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy H(0; 1; 0).

Khi đó R = d(I, Oy) = IH = $\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {13}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 13.

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.

Theo đề ta có $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right)\\d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = IA\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right|\\\left| a \right| = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - b} \right)}^2} + {{\left( {4 - c} \right)}^2}} \end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = - 3\\c = 3\end{array} \right.$.

Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là

(x − 3)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.

Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:

(x + 2)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).

R = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 1 \cdot 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }} = \sqrt {\frac{2}{3}}$.

Phương trình mặt cầu tâm I(0; 1; 3), bán kính R = $\sqrt {\frac{2}{3}}$ là:

x$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = $\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: R = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 2 - \left( { - 3} \right) - \left( { - 1} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 6$.

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: (x – 2)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì mặt cầu tâm A(-3; 2; -4) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) nên R = 2.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x + 3)$^{2}$ + (y - 2)$^{2}$ + (z + 4)$^{2}$ = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\, - 5;\,\,1} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {3;\,\, - 6;\,\,4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 14;\,\, - 13;\,\, - 9} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

=> $\overrightarrow n = \left( {14;\,\,13;\,\,9} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của (ABC).

=> (ABC): 14(x – 1) + 13(y – 6) + 9(z – 2) = 0 Û 14x + 13y + 9z – 110 = 0.

=> R = d(D; (ABC)) = $\frac{{\left| {14 \cdot 5 + 13 \cdot 0 + 9 \cdot 4 - 110} \right|}}{{\sqrt {{{14}^2} + {{13}^2} + {9^2}} }}$ = $\frac{4}{{\sqrt {446} }}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x – 5)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = $\frac{8}{{223}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: R = d(I, ($α$)) = $\frac{{\left| { - 2 - 2 + 6 - 8} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2$.

Diện tích mặt cầu (S) là S = 4$π$R$^{2}$ = 16$π$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

Mặt cầu (S) có tâm I(-2; 1; 0) và bán kính R = 2.

a) Sai. Đường kính mặt cầu bằng 2R = 4.

b) Sai. Ta có: IA = $\sqrt {{{\left( { - 1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt 5$ > R nên mặt cầu (S) không đi qua điểm A.

c) Đúng. Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x = 0.

Khi đó d(I, (Oyz)) = $\left| { - 2} \right|$ = 2.

d) Sai. Ta có: d(I, (P)) = $\frac{{\left| { - 2 + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R$ nên mặt phẳng (P) không tiếp xúc với mặt cầu (S).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;\,\,1;\,\, - 5} \right)$ Þ AB = $\sqrt {30}$.

Mặt cầu qua B và nhận A làm tân nên AB làm bán kính.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 30.

b) Sai. Gọi I là trung điểm AB => $I\left( {2;\,\,\frac{3}{2};\,\, - \frac{1}{2}} \right)$.

Mặt cầu nhận AB làm đường kính nên có tâm là trung điểm I và bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {30} }}{2}$.

Vậy phương trình cần tìm là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}$.

c) Đúng. Mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 5 = 0 nên $R = d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 4$ có phương trình:

(x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 16.

d) Sai. Ta có: I $\in$ Ox => I(a; 0; 0).

Vì mặt cầu qua A, B nên IA = IB

<=> (a – 1)$^{2}$ + 1 + 4 = (a – 3)$^{2}$ + 4 + 9

<=> 4a = 16 => a = 4

Do đó, I(4; 0; 0), R = IA = $\sqrt {14}$.

Phương trình mặt cầu tâm I(4; 0; 0) và có bán kính R = $\sqrt {14}$ là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ - 8x + 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Mặt cầu tâm I và bán kính bằng 3 có phương trình:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 9 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y – 6z + 5 = 0.

b) Đúng. Gọi J là hình chiếu của I lên trục Ox => J(1; 0; 0).

Do mặt cầu tiếp xúc với trục Ox nên R = IJ = d(I, Ox) = $\sqrt {13}$.

Mặt cầu tâm I và có bán kính R = $\sqrt {13}$ có phương trình:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 13 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y – 6z + 1 = 0.

c) Sai. Ta có: d = d(I, (Oxy)) = $\left| 3 \right|$ = 3.

Do mặt phẳng (Oxy) theo một đường tròn có bán kính bằng 1 nên bán kính mặt cầu là $R = \sqrt {{d^2} + {r^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10}$.

Mặt cầu tâm I và bán kính R = $\sqrt {10}$ có phương trình là:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 10 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y – 6z + 4 = 0.

d) Sai.

Gọi H là trung điểm AB => IH $\perp$ AB tại H => IH = d(I, AB) = d(I, Ox) = $\sqrt {13}$

Bán kính mặt cầu là R = $\sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4$.

Mặt cầu tâm I và bán kính R = 4 có phương trình là:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 16 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4y – 6z – 2 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khoảng cách từ I đến (P) là:

d(I, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{7}{3}$.

b) Sai. Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên: R = d(I, (P)) = $\frac{7}{3}$.

c) Sai. Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), R = $\frac{7}{3}$.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = $\frac{{49}}{9}$.

d) Đúng. Ta có: d = a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$ = 1$^{2}$ + (-2)$^{2}$ + (-1)$^{2}$ - $\frac{{49}}{9}$= $\frac{5}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai . d) Sai.

a) Đúng. Mặt cầu có tâm O(0; 0; 0) và đi qua điểm A, ta có: R = OA = $\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 3$.

Phương trình cần tìm là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 3.

b) Đúng. Gọi tâm I(a; b; c) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Vì (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì IA = IB = IC = ID.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = I{B^2}\\I{A^2} = I{C^2}\\I{A^2} = I{D^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} + {\left( {c - 3} \right)^2}\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2} + {\left( {c - 5} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {a^2} - 6a + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{b^2} - 2b + 1 + {c^2} - 2c + 1 = {b^2} - 6b + 9 + {c^2} - 6c + 9\\{c^2} - 2c + 1 = {c^2} - 10c + 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\\c = 3\end{array} \right.$.

Do đó, I(1; 1; 3), R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = 2$.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng 2.

c) Sai. Ta có: R' = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 - 3 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{3}$.

Do đó, phương trình mặt cầu tâm C, bán kính R' = $\frac{{17}}{3}$ là:

(x – 1)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ =$\frac{{289}}{9}$.

d) Sai. Do điểm M di động trên mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của M là (x; y; 0).

Ta có: $\overrightarrow {MA}$ = (1 – x: 1 – y; 1); $\overrightarrow {MB}$ = (3 – x; 1 – y; 3).

T = $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB}$= (1 – x)(3 – x) + (1 – y)(1 – y) + 1×3 = x$^{2}$ – 4x + 3 + y$^{2}$ – 2y + 1 + 3 = x$^{2}$ – 4x + y$^{2}$ – 2y + 7.

Để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất thì:

T = (x$^{2}$ – 4x + 4) + (y$^{2}$ – 2y + 1) + 2 = (x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + 2.

Vì (x – 2)$^{2}$ $\ge$ 0 và (y – 1)$^{2}$ $\ge$ 0, x, y $\in$ ℝ nên ta có T $\ge$ 0 + 0 + 2 = 2

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$.

Do đó M(2; 1; 0) nên giá trị nhỏ nhất của biểu thức T bằng 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,5.

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \left( {1;\,\,4;\,\, - 3} \right)$ nên $\left[ {\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;\,\, - 3;\,\, - 4} \right)$ khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 4; -3) và có $\overrightarrow n = \left( {0;\,\,3;\,\,4} \right)$ nên phương trình mặt phẳng (P) là: 3y + 4z = 0.

Lại có: R = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2$.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 4.

Do đó, a = 1, b = 2, c = 1, k = 4 => T = $\frac{{abc}}{k} = \frac{{1 \cdot 2 \cdot 1}}{4}$= 0,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,67

Theo giả thiết, ta có:

M là hình chiếu vuông của A lên Ox => M(1; 0; 0).

N là hình chiếu vuông góc của A lên Oy => N(0; -1; 0).

K là hình chiếu vuông góc của A lên Oz => K(0; 0; 2).

Do đó, phương trình mặt phẳng (MNP) là: $x - y + \frac{z}{2} = 1$ Û 2x – 2y + z – 2 = 0.

Lại có, R = d(O, (MNK)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{2}{3}$ $\approx$ 0,67.

Hướng dẫn giải

Đáp án: -4

Bán kính mặt cầu là: R = d(I, (P)) = $\frac{{\left| {2 - 4 + 1 - 8} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = 3$.

Phương trình mặt cầu (S): (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

<=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y + 2z – 3 = 0.

Suy ra a = 1; b = 2; c = -1; d = -3 => a + b + c + 2d = 1 + 2 + (-1) + 2×(-3) = -4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

Gọi I là tâm mặt cầu (S). Vì tâm I nằm trên tia Ox nên I(a; 0; 0), (a > 0).

Vì mặt cầu (S) có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) nên ta có:

d(I, (Oyz)) = 2 <=> $\frac{{\left| a \right|}}{1} = 2 \Leftrightarrow \left| a \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\end{array} \right.$.

Do a > 0 nên ta nhận a = 2. Suy ra mặt cầu (S) có tâm I(2; 0; 0).

Vậy hoành độ của tâm I bằng 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -3

Từ phương trình (S), ta có tâm I(1; -1; 1) và R = 3.

Để (P) tiếp xúc với (S) thì d(I, (P)) = R

<=> $\frac{{\left| {1 - {m^2} - 3m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 3m - 10 = 0\\{m^2} + 3m + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 2\\{m_2} = - 5\end{array} \right.$ => m$_{1}$ + m$_{2}$ = -3.