Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm lớp12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IA = 3\sqrt 2$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x – 1)$^{2}$ + (y + 4)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 18.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = AB = 2\sqrt 2$.

Phương trình mặt cầu cần lập là (x – 2)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + z$^{2}$ = 8.

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IA = \sqrt 3$.

Phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; 4) và R = IA = $\sqrt 3$ là

(x − 2)$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = 3.

Đáp án đúng là: B

Ta có $R = IA = \sqrt {53}$.

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 53.

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IA = \sqrt {46}$.

Mặt cầu (S) tâm I(4; −1; 2) và đi qua A(1; −2; −4) có phương trình là

(x − 4)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 46.

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IA = \sqrt {24}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)$^{2}$ + (y − 4)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 24.

Đáp án đúng là: C

Ta có R = IA = 3.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 9

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 2y – 4z – 3 = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có R = IA = $\sqrt {27}$.

Phương trình mặt cầu là: (x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 27

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x − 2y + 4z – 18 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có R = IA = $\sqrt {11}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 11.

Đáp án đúng là: A

Ta có R = IM = $\sqrt {14}$.

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(0;0;-3) và bán kính R là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = R$^{2}$.

Ta có: M $\in$ (S) => 4$^{2}$ + 0$^{2}$ + (0 + 3)$^{2}$ = R$^{2}$ <=> R$^{2}$ = 25.

Vậy phương trình cần tìm là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}$ = $\sqrt 5$.

Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là: (x - 1)$^{2}$ + (y - 1)$^{2}$ + (z - 1)$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tâm I của mặt cầu nằm trên trục Ox nên I(x$_{0}$;0;0) với x$_{0}$ > 0.

Ta có: IA = R <=> $\sqrt {{{\left( {3 - {x_0}} \right)}^2} + {0^2} + {0^2}} = 3 \Leftrightarrow \left| {3 - {x_0}} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 6\\{x_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 6$ (vì x0 > 0). Do đó, tâm I(6; 0; 0).

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 6)$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: IA = R <=> $\sqrt {{2^2} + {1^2} + {0^2}} = \sqrt 5$. Do đó R = $\sqrt 5$.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là (x – 3)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: IB = R <=> $\sqrt {{0^2} + {0^2} + {3^2}} = 3$.

d = a$^{2}$+ b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$ = 2$^{2}$ + 1$^{2}$ + (-3)$^{2}$ – 3$^{2}$ = 5.

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x – 2y + 6z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};\frac{{{z_B} + {z_C}}}{2}} \right) = \left( {\frac{{0 + 2}}{2};\frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2};\frac{{0 + 0}}{2}} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)$

b) Sai. Ta có: $AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt {40} = 2\sqrt {10}$.

c) Sai. Ta có: AB = R = $2\sqrt {10}$.

d) Sai. Phương trình mặt cầu (S) có tâm A(0; 2; 0) và R = $2\sqrt {10}$ là: x$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì I $\in$ Oz nên I(0; 0; z0).

b) Đúng. Ta có: R2 = IA2 <=> 132 = 9 + 16 + $z_0^2$ <=> 25 + $z_0^2$ = 169.

c) Đúng. Ta có: $z_0^2$ = 144 => z0 = ±12. Vậy I$_{1}$(0; 0; 12) và I$_{2}$(0; 0; -12).

d) Đúng. Với I(0; 0; 12), phương trình mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 12)$^{2}$ = 169

<=> x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$ – 24z + 144 = 169 <=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 24z – 25 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Do I => (Oyz) nên x = 0 và y = z. Do đó I(0; b; b).

b) Sai. Ta có: R$^{2}$ = ID$^{2}$ => (0 – 1)$^{2}$ + (b – 0)$^{2}$ + (b – 1)$^{2}$ = 2.

c) Đúng. Ta có: 1 + b$^{2}$ + b$^{2}$ – 2b + 1 = 2 <=> 2b$^{2}$ – 2b = 0 <=> b = 0, b = 1.

Do đó I$_{1}$(0; 0; 0) và I$_{2}$(0; 1; 1).

d) Đúng. Với tâm I$_{2}$(0; 1; 1) và R = $\sqrt 2$, ta có phương trình

x$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$= 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì I => Oy nên I(0; y$_{0}$; 0).

b) Sai. Vì I => Oy nên x$_{I}$ = z$_{I}$= 0. Do đó hoành độ vào cao độ của tâm I đều bằng 0.

c) Đúng. Ta có: R$^{2}$ = IE$^{2}$ => (0 – 1)$^{2}$ + (y$_{0}$ – 2)$^{2}$ + (0 – 3)$^{2}$= 14 <=> 1 + (y$_{0}$ – 2)$^{2}$ + 9 = 14

d) Sai. Từ c, ta có: (y$_{0}$ – 2)$^{2}$ = 4 => $\left[ \begin{array}{l}{y_0} - 2 = 2\\{y_0} - 2 = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 4\\{y_0} = 0\end{array} \right.$

Với I(0; 0; 0), phương trình là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 14

Với I(0; 4; 0), phương trình là: x2 + (y – 4)$^{2}$ + z$^{2}$ = 14.

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì I $\in$ (Oxz) => y = 0. Do đó tung độ của tâm I bằng 0.

b) Đúng. Ta có: I(4; 0; z$_{0}$)

R$^{2}$ = IO$^{2}$ => (4 – 0)$^{2}$ + 0$^{2}$+ (z0 – 0)$^{2}$ = 5$^{2}$.

c) Đúng. Từ b, ta có: 16 + $z_0^2$ = 25 => $z_0^2$ = 9 => z$_{0}$ = ±3.

d) Sai. Với tâm I(4;0;3), R = 5, ta được phương trình: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 8x – 6z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Tâm I là điểm đối xứng của A qua trục Oz. Do đó, I(-1;-2;1).

Phương trình mặt cầu (S) là: (x + 1)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 6.

=> a = 1, b = 2, c = 1, k = 6 => T = a + 2b + 4c – k = 1 + 2×2 + 4×1 – 6 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5,4.

Từ phương trình x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz = 0.

Suy ra I(a; b; c) và R$^{2}$ = a$^{2}$+ b$^{2}$ + c$^{2}$.

Vì I thuộc đường thẳng x = y = z nên a = b = c = t. Khi đó I(t; t; t).

Mặt cầu đi qua A(4; 4; 2) nên R$^{2}$ = IA$^{2}$ <=> t$^{2}$ + t$^{2}$ + t$^{2}$= (4 – t)$^{2}$ + (4 – t)$^{2}$ + (2 – t)$^{2}$

<=> 3t$^{2}$ = 3t$^{2}$ – 20t + 36 <=> -20t + 36 = 0 <=> t = $\frac{9}{5}$.

Vậy T = a + b + c = 3t = 3×$\frac{9}{5} = \frac{{27}}{5} = 5{,}4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Tâm I nằm trên truc Oy => I(0; b; 0).

Mặt cầu (S) đi qua M nên IM$^{2}$ = R$^{2}$ Û 2$^{2}$ + (4 – b)$^{2}$ + 2$^{2}$ = 12

<=> (4 – b)$^{2}$ = 4 => $\left[ \begin{array}{l}4 - b = 2\\4 - b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 2\\b = 6\end{array} \right.$ => b = 6 (vì b > 5).

Do đó, b = 6, k = 12 => T = $\frac{k}{b} = \frac{{12}}{6} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -2.

I là hình chiếu của M lên trục Oy Þ I(0; 2; 0).

Ta có: R$^{2}$ = IM$^{2}$ = (1 – 0)$^{2}$ + (2 – 2)$^{2}$ + (1 – 0)$^{2}$ = 2.

=> a = 0, b = 2, k = 2 => T = $\frac{{a - 2b}}{k} = \frac{{0 - 2 \cdot 2}}{2} = - 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -4.

Tâm I là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oz => I(0;0;1).

Ta có: R$^{2}$ = IA$^{2}$ = 1$^{2}$ + 2$^{2}$ + 0$^{2}$ = 5.

=> a = 0, b = 0, c = 1, k = 5 => T = a + b + c - k = 0 + 0 + 1 – 5 = -4