Bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 3 là:

(x – 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu I(2; 1; −2) bán kính R = 2 là

(x – 2)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 2$^{2}$ x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x – 2y + 4z + 5 = 0.

Đáp án đúng là: C

Đường kính bằng 10 nên bán kính R = 5.

Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 2; 0), bán kính R = 5 là (x + 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu có tâm I(2; 3; −6) và bán kính bằng 4 có phương trình là

(x – 2)$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ + (z + 6)$^{2}$ = 16.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính R = 4 là

(x − 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 16.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 1 là

(x − 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 1.

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 2 là

(x − 1)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 4.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3 là

(x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 9 x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z + 5 = 0.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(0; 0; −3) và bán kính R = 5 là x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 0; 3), bán kính R = $\sqrt 5$ là (x + 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm I(2; 3; -3) và có bán kính R = 3 là:

(x – 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) có tâm I(-3; 1; 7), bán kính là 5 có phương trình là:

(x + 3)$^{2}$ + (y - 1)$^{2}$ + (z - 7)$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu cần tìm có dạng: (x – 0)$^{2}$+ (y – 0)$^{2}$ + (z – 0)$^{2}$ = 52 hay x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$ = 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt cầu tâm I(1; 0; -3), bán kính bằng R = $\sqrt {10}$ có phương trình là:

(x - 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

=> x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ - 2×2×x - 2×(-1)×y -2×3×z + d = 0

Áp dụng công thức:

${R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d \Leftrightarrow d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} - {3^2} = 5$.

Do đó, d = 5.

Vậy phương trình mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ - 2×2×x - 2×(-1)×y -2×3×z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Phương trình chính tắc mặt cầu có dạng (x – a)$^{2}$ + (y – b)$^{2}$ + (z – c)$^{2}$= R$^{2}$ => (x – 3)$^{2}$ + (y + 2)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 25.

b) Đúng. Hệ số của x, y, z lần lượt là: -2a, -2b, -2c. Thay số ta được: -2×3 = -6, -2×(-2) = 4, -2×1 = 2.

c) Sai. Áp dụng công thức: ${R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d$.

$\Leftrightarrow d = {a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2} = {3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} + {1^2} - {5^2} = - 11$.

Vậy d = -11.

d) Đúng. Phương trình đầy đủ của mặt cầu là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 6x + 4y – 2z - 11 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S): (x + 1)$^{2}$+ y$^{2}$+ (z – 4)$^{2}$ = 7.

b) Đúng. Vì tung độ tâm b = 0 nên hệ số của y bằng 0.

c) Sai. Áp dụng công thức d = a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$ = (-1)$^{2}$ + 0$^{2}$+ 4$^{2}$ - ${\left( {\sqrt 7 } \right)^2}$= 10. Vậy Vậy số hạng tự do trong phương trình tổng quát là d = 10.

d) Đúng. Ta có: IM = $\sqrt {{{\left( { - 1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2} + {{\left( {4 + \sqrt 7 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 7 = R$.

Vậy điểm $M\left( { - 1;0;4 + \sqrt 7 } \right)$ có khoảng cách đến tâm I đúng bằng bán kính R.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

b) Đúng. Phương trình dạng đầy đủ của mặt cầu là: x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$ – 9 = 0.

c) Đúng. Vì tâm là gốc tọa độ nên a = b = c = 0.

d) Đúng. Nếu R = 6 thì d = 0$^{2}$+ 0$^{2}$+ 0$^{2}$ – 6$^{2}$ = -36.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Phương trình chính tắc là (x - 2)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 12.

b) Đúng. Số dạng tự do d được tính theo công thức d = a$^{2}$+ b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$.

c) Đúng. Áp dụng công thức d = 2$^{2}$ + 2$^{2}$ + (-2)$^{2}$ - 12 = 0. Vậy d = 0.

d) Sai. Với d = 0, phương trình đẩy đủ của mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$+ z$^{2}$ – 4x – 4y + 4z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x + 1)$^{2}$ + (y – 4)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 4.

b) Đúng. Hệ số z được tính bằng -2c = -2×2 = -4.

c) Đúng. Ta có: d = (-1)$^{2}$ + 4$^{2}$+ 2$^{2}$ - 2$^{2}$= 17.

d) Đúng. Phương trình x2 + y2 + z2 + 2x – 8y – 4z + 17 = 0 là phương trình dạng đẩy đủ của mặt cầu (S).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 7.

Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x – 1)$^{2}$+ (y + 2)$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = 9.

Do đó, a = 1; b = 2; c = 4 => T = a + b + c = 1 + 2 + 4 = 7.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 22.

Phương trình chính tắc của mặt cầu (S) là (x – 2)$^{2}$ + (y - (-1))$^{2}$ + (z – 5)$^{2}$ = 16.

Do đó a = 2; b = -1; c = 5; k = 16 => T = a + b + c + k = 2 + (-1) + 5 + 16 = 22.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 40.

Phương trình tổng quát của mặt cầu (S) là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2×(-2)×x – 2×4×y + d = 0.

Do đó a = -2; b = 4; c = 0, d = a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$ = (-2)$^{2}$ + 4$^{2}$ + 0$^{2}$– 6 = 14.

=> K = 2a – 3b + c + 4d = 2×(-2) - 3×4 + 0 + 4×14 = 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,11.

Vì mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) nên bán kính R chính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (Oxy).

R = d(I,(Oxy)) = |z$_{I}$| = 3.

Phương trình mặt cầu (S) có dạng (x – 2)$^{2}$ + (y + 5)$^{2}$ + (z + 3)$^{2}$ = 9.

Do đó, a = 2, b = 5, c = 3, k = 9 Þ M = $\frac{{a + b + c}}{k} = \frac{{2 + 5 + 3}}{9} \approx 1{,}11.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -9.

Hình chiếu của A(1;2;5) lên (Oxy) là I(1;2;0). Vậy tâm I(1;2;0).

Phương trình mặt cầu (S) là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

Do đó, a = 1, b = 2, c = 0, k = 9 Þ M = 3c – 2a + b – k = 3×0 - 2×1 + 2 – 9 = -9.