Bài tập Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có tọa độ tâm I(1; 1; 1) và bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 2$.

Do đó phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 2.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm AB ta có I(−1; 3; 3) là tâm mặt cầu.

Bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {45}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 45.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB. Khi đó I(1; 0; 2).

Bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2$.

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 2)$^{2}$ = 2.

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB I(0; 3; −1).

Bán kính $R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} = 3$.

Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB có phương trình x$^{2}$ + (y − 3)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 9.

Đáp án đúng là: D

Tâm I(1; 1; −2) là trung điểm của AB, bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{1}{2}\sqrt {4 + 16 + 4} = \frac{1}{2}\sqrt {24}$

Phương trình mặt cầu cần lập là (x − 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 6.

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4; 0; 3) của AB làm tâm và có bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {56} }}{2}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 4)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 3)$^{2}$ = 14.

Đáp án đúng là: D

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của MN I(1; 2; 1).

Bán kính mặt cầu $R = \frac{{MN}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {6 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 3 - 5} \right)}^2}} }}{2} = 6$.

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 36.

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu có tâm là trung điểm của MN $\Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)$.

Bán kính mặt cầu R = IM = $\sqrt {62}$.

Phương trình mặt cầu là (x − 1)$^{2}$ + (y − 1)$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 62.

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(0; 0; 1) là trung điểm của AB và mặt cầu có bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$ + (z − 1)$^{2}$ = 6.

Đáp án đúng là: B

Tâm I là trung điểm AB I(1; 2; 0) và bán kính $R = IA = \sqrt 3$.

Phương trình mặt cầu: (x − 1)$^{2}$ + (y − 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm AB, ta có: I(3; -1; 2) là tâm mặt cầu.

Bán kính R$^{2}$ = IA$^{2}$ = (5 – 3)$^{2}$ + (2 + 1)$^{2}$ + (1 – 2)$^{2}$ = 14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x - 3)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB

Khi đó I(2; -3; 3).

Bán kính của mặt cầu: R$^{2}$ = IA$^{2}$ = (3 – 2)$^{2}$ + (-1 + 3)$^{2}$ + (4 – 3)$^{2}$ = 6.

Vậy phương tình mặt cầu là: (x – 2)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi I là trung điểm của AB => I(-3; 9; -6).

Bán kính R$^{2}$ = IA$^{2}$ = (-2)$^{2}$ + (-2)$^{2}$ + 2$^{2}$ = 12.

Phương trình cần tìm là: (x + 3)$^{2}$ + (y – 9)$^{2}$ + (z + 6)$^{2}$ = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm AB => I(3; 3; 1).

Bán kính R = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {16 + 4 + 16} = 3$.

Vậy phương trình cần tìm là: (x – 3)$^{2}$ + (y - 3)$^{2}$ + (z – 1)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Trung điểm I của AB có tọa độ I(-1;3;0).

Bán kính R = IA = $\sqrt {{{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Vậy phương trình cần tìm là: (x + 1)$^{2}$ + (y - 3)$^{2}$ + z$^{2}$ = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có trung điểm I của AB có tọa độ là I(-1;1;-2).

b) Đúng. Mặt cầu nhận AB là đường kính nên nhận I là tâm mặt cầu.

Bán kính R = IA = $\sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 5} \right)}^2}} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu là: (x + 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z + 2)$^{2}$ = 14.

c) Sai. Phương trình mặt cầu có tâm là A, đi qua B nên có bán kính

R = AB = $\sqrt {{{\left( {1 + 3} \right)}^2} + {{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 1} \right)}^2}} = 2\sqrt {14}$.

Do đó phương trình mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y + 10z – 26 = 0.

d) Sai. Phương trình mặt cầu (S) có dạng: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.

Gọi J là tâm mặt cầu S, vì J $\in$ Ox => J(a;0;0) Þ b = c = 0.

Do đó phương trình mặt cầu có dạng x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2ax + d = 0.

Vì A(1;2;-5) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: -2a + d = -30.

Vì B(-3;0;1) thuộc mặt cầu (S) nên ta thay vào được: 6a + d = -10.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 2a + d = - 30\\6a + d = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\d = - 25\end{array} \right.$.

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} - \left( { - 25} \right)} = \frac{{5\sqrt 5 }}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm A, bán kính R = 2 là

(x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 4.

b) Đúng. Ta có: R$^{2}$ = AB$^{2}$ = (3 – 1)$^{2}$ + (2 – 1)$^{2}$ + (-3 – 2)$^{2}$ = 30.

Phương trình mặt cầu tâm A, đi qua B là (x – 1)$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 30.

c) Sai. Tâm của mặt cầu là trung điểm M của AB => $M\left( {2;\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

Ta có: R$^{2}$ = MA$^{2}$ = ${\left( {1 - 2} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {2 + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{{15}}{2}$.

d) Sai. Vì I $\in$Ox => I(a;0;0).

Do (S) đi qua hai điểm A, B nên IA = IB

<=> $\sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - a} \right)}^2} + 13} \Leftrightarrow 4a = 16 \Leftrightarrow a = 4$.

Do đó, (S) có tâm I(4;0;0), bán kính R = IA = $\sqrt {14}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt cầu đường kính MN có tâm là trung điểm của đoạn thẳng MN.

b) Sai. I là trung điểm của MN thì I(2; 0; 3).

c) Đúng. Ta có: R = $\frac{1}{2}MN = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2}} = 3$.

Vậy bán kính của mặt cầu đường kính MN bằng 3.

d) Đúng. Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;3), R = 3 là: (x – 2)$^{2}$ + y$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: R = AB = $\sqrt 6$.

Mặt cầu cần tìm có phương trình (x – 2)$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z + 1)$^{2}$ = 6.

b) Sai. Tâm mặt cầu là trung điểm M của AB Þ $M\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

Bán kính R = $\frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$

Phương trình mặt cầu là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 6 = 0$

c) Đúng. Gọi M(x; y; z).

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)$

$\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)$

$\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 4 \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = 4$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5y + z + 2 = 0$ (1)

Phương trình (1) là phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {1;\frac{5}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

d) Sai. Gọi M(x; y; z).

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {2 - x;\,\,3 - y;\,\, - 1 - z} \right)$

$\overrightarrow {MB} = \left( { - x;\,\,2 - y;\,\, - z} \right)$

$\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = m \Leftrightarrow \left( {2 - x} \right)\left( { - x} \right) + \left( {3 - y} \right)\left( {2 - y} \right) + \left( { - 1 - z} \right)\left( { - z} \right) = m$

<=> x$^{2}$+ y$^{2}$ + z$^{2}$– 2x – 5y + z + 6 – m = 0 (1)

(1) là phương trình mặt cầu Û ${1^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 6 + m > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Bán kính của mặt cầu là độ dài đoạn IA.

b) Sai. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {IA} = \left( {3 - 1;1 - 0; - 4 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {2;1; - 2} \right)$.

c) Đúng. Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 3$.

Suy ra phương trình mặt cầu là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x + 4z – 4 = 0

<=> 2x$^{2}$ + 2y$^{2}$ + 2z$^{2}$ – 4x + 8z – 8 = 0.

d) Đúng. Ta có AB là đường kính của mặt cầu, do đó I là trung điểm của AB. Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_I} - {x_A} = - 1\\{y_B} = 2{y_I} - {y_A} = - 1\\{z_B} = 2{z_I} - {z_A} = 0\end{array} \right.$. Do đó, B(-1; -1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 11.

Tâm mặt cầu là trung điểm I của AB => $I\left( {\frac{5}{4}; - \frac{1}{2};\frac{5}{4}} \right)$.

Ta có: R = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - \frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {0 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{2} - 1} \right)}^2}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt {\frac{7}{2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{4}$ .

d = a$^{2}$ + b$^{2}$ + c$^{2}$ – R$^{2}$ = ${\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{{\sqrt {14} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{2}$.

Do đó, phương trình cần tìm là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2×$\frac{5}{4}$x – 2×$- \frac{1}{2}$y – 2×$\frac{5}{4}$z + $\frac{5}{2}$ = 0.

=> a = $\frac{5}{4}$, b = $- \frac{1}{2}$, c = $\frac{5}{4}$; d = $\frac{5}{2}$ => P = a + b + c + d = $\frac{5}{4} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{5}{4} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$.

Vậy m = 9, n = 2 => m + n = 9 + 2 = 11.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,5.

Tâm mặt cầu là trung điểm I của AB => $I\left( {0;\frac{3}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$.

Ta có: $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Phương trình (S) là: ${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - \frac{3}{2}} \right)^2} +$${\left( {z - \left( { - \frac{3}{2}} \right)} \right)^2}$ = $\frac{3}{2}$.

Do đó, a = 0, b = $\frac{3}{2}$, c = $- \frac{3}{2}$, k = $\frac{3}{2}$ => a + b + c + k = $0 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

AH ngắn nhất khi H là hình chiếu của A lên Ox => H(0;0;0).

Tâm I là trung điểm AH => I(0; 3; 4).

Bán kính R = $\frac{{AH}}{2} = \frac{{\sqrt {{0^2} + {6^2} + {8^2}} }}{2} = 5$.

Phương trình: x$^{2}$ + (y – 3)$^{2}$ + (z – 4)$^{2}$ = 25 => c = 4, k = 25 => T = $\sqrt k - c$= $\sqrt {25} - 4 = 5 - 4 = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12.

A' là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (Oxy) => A'(1; 2; -3).

Tâm I là trung điểm AA' => I(1; 2; 0).

Bán kính R = IA = 3.

Phương trình là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + z$^{2}$ = 9.

Do đó, a = 1, b = 2, c = 0, k = 9 Þ T = a + b + c + k = 1 + 2 + 0 + 9 = 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Vì I $\in$Oy => I(0; y; 0).

Vì I là trung điểm AB nên y$_{I}$ = $\frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}$. Do B $\in$ (Oxz) => y$_{B}$ = 0 suy ra y$_{I}$ = $\frac{{2 + 0}}{2} = 1$. Do đó I(0;1;0).

Bán kính R$^{2}$ = IA$^{2}$ = (1 – 0)$^{2}$ + (2 – 1)$^{2}$ + (1 – 0)$^{2}$ = 3

Phương trình là x$^{2}$ + (y – 1)$^{2}$ + z$^{2}$ = 3.

=> b = 1, k = 3 => T = b×k = 1×3 = 3.