Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB đi qua điểm B(−4; 3; −2) nhận $\overrightarrow {AB} = \left( { - 5;2; - 4} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{{x + 4}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 4}}$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua điểm A(1; −3; 5) nhận $\overrightarrow {BA} = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 2}}$.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {MN} = \left( {2;2; - 2} \right) = 2\left( {1;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng MN đi qua M và nhận $\overrightarrow u = \left( {1;1; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = 1 - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(1; 2; −3) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - 3t\\z = - 3 + 4t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {PQ} = \left( {1;2;3} \right)$

Phương trình đường thẳng PQ đi qua P(1; 1; −1) và nhận $\overrightarrow {PQ} = \left( {1;2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)$

Phương trình đường thẳng AB đi qua A(1; −2; 5) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2;3; - 4} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 5}}{{ - 4}}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 2} \right)$.

Đường thẳng AB đi qua A(−3; 1; −2) và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình $\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {MN} = \left( {2; - 1;3} \right)$

Đường thẳng MN đi qua M(1; 1; −1) và nhận $\overrightarrow {MN} = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow {EF} = \left( {3;1; - 7} \right)$.

Đường thẳng EF đi qua điểm E(−1; 0; 2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {EF} = \left( {3;1; - 7} \right)$ có phương trình: $\frac{{x + 1}}{3} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 7}}$.

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {4;2; - 4} \right) = - 2\left( { - 2; - 1;2} \right)$.

Phương trình đường thẳng AB đi qua B(5; 4; −1) nhận $\overrightarrow u = \left( { - 2; - 1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương là: $\frac{{x - 5}}{{ - 2}} = \frac{{y - 4}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$ (1). Do đó loại đáp án A, C.

Có tạo độ C(−1; −2; −3) không thỏa mãn phương trình (1) nên loại phương án B.

Lại có tọa độ D(3; 3; 1) thỏa mãn phương trình (1) nên phương trình đường thẳng AB cũng viết là $\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua hai điểm M và N nhận vectơ nối hai điểm làm một vectơ chỉ phương.

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương như sau:

$\overrightarrow {MN} = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;5 - 3} \right) = \left( {2; - 4;2} \right)$

Ta chọn vectơ chỉ phương $\vec u = \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng đi qua điểm M(−1; 2; 3) và nhận $\vec u = \left( {1; - 2;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$ Û $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{1}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 0; −1) lên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là điểm B(2; 0; 0).

Đường thẳng AB nhận vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {0 - 0;0 - 0;0 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua A(2; 0; −1) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0;1} \right)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 0 \cdot t}\\{y = 0 + 0 \cdot t}\\{z = - 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.$ Û $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2}\\{y = 0}\\{z = - 1 + t}\end{array}} \right.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng EF là $\overrightarrow {EF} = \left( {4 - 3; - 3 - \left( { - 1} \right);1 - 2} \right) = \left( {1; - 2; - 1} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng EF đi qua E(3; −1; 2) được viết là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 2 - t}\end{array}} \right.$

Lần lượt thay tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ phương trình tham số.

Với điểm P(5; −5; 0), ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 + t = 5}\\{ - 1 - 2t = - 5}\\{2 - t = 0}\end{array}} \right.$ Û $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 2}\\{t = 2}\\{t = 2}\end{array}} \right.$.

Vì hệ có nghiệm duy nhất t = 2 nên điểm P(5; −5; 0) nằm trên đường thẳng EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC được tính bằng công thức trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: $G\left( {\frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3};\frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 2}}{3};\frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3}} \right)$ Þ G(0; 1; 1).

Đường thẳng đi qua A và G nhận vectơ $\overrightarrow {AG} = \left( {0 - 1;1 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1; - 1;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương. Ta chọn vectơ chỉ phương $\vec u = - \overrightarrow {AG} = \left( {1;1; - 2} \right)$.

Đường thẳng đi qua A(1; 2; −1) và nhận $\vec u = \left( {1;1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}}$ Û $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\overrightarrow {PQ} = \left( {2 - 1;2 - 1;1 - \left( { - 2} \right)} \right) = \left( {1;1;3} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm P(1; 1; −2) là:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 + 3t}\end{array}} \right.$

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình đặc trưng là x = 0.

Thay x = 0 vào phương trình hoành độ của d, ta có: $1 + t = 0$ Þ t = −1.

Thay t = −1 vào các phương trình biểu diễn y và z, ta tính được tọa độ giao điểm: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{y = 1 + \left( { - 1} \right) = 0}\\{z = - 2 + 3\left( { - 1} \right) = - 5}\end{array}} \right.$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là K(0; 0; −5).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ được tính là $\left( {3 - 1;2 - \left( { - 2} \right);0 - 4} \right) = \left( {2;4; - 4} \right)$.

b) Đúng. Ta thấy $\overrightarrow {AB} = \left( {2;4; - 4} \right) = 2\left( {1;2; - 2} \right)$. Rút gọn cho 2, ta được vectơ cùng phương $\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)$, do đó $\vec u$ cũng là một vectơ chỉ phương của d.

c) Đúng. Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 4) và nhận $\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình chính tắc $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}$.

d) Sai. Thay tọa độ gốc O(0; 0; 0) vào phương trình chính tắc của d, ta có $\frac{{0 - 1}}{1} = \frac{{0 + 2}}{2} = \frac{{0 - 4}}{{ - 2}}$.

Vì các phân thức không bằng nhau nên đường thẳng d không đi qua gốc tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Điểm đối xứng với M(x; y; z) qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) có tọa độ là M'(−x; −y; −z). Suy ra M'(−2; 3; −1).

b) Đúng. Vì M và M' đối xứng nhau qua O nên trung điểm của đoạn thẳng MM' chính là gốc tọa độ O. Suy ra đường thẳng nối M và M' hiển nhiên đi qua O.

c) Đúng. Đường thẳng ∆ đi qua O và M nên nhận $\overrightarrow {OM} = \left( {2; - 3;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

d) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {OM} = \left( {2; - 3;1} \right)$ được viết chính xác là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2t}\\{y = - 3t}\\{z = t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tính tọa độ trọng tâm G theo công thức:

${x_G} = \frac{{2 + 0 + 0}}{3} = \frac{2}{3}$, ${y_G} = \frac{{0 + 4 + 0}}{3} = \frac{4}{3}$, ${z_G} = \frac{{0 + 0 + 6}}{3} = 2$. Vậy $G\left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)$.

b) Sai. Vectơ $\overrightarrow {OG}$ có tọa độ chính bằng tọa độ điểm G, tức là $\overrightarrow {OG} = \left( {\frac{2}{3};\frac{4}{3};2} \right)$.

Vectơ (2; 4; 6) là $3\overrightarrow {OG}$, không phải bản thân $\overrightarrow {OG}$.

c) Đúng. Ta có $3\overrightarrow {OG} = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)$. Rút gọn ta được vectơ $\vec u = \left( {1;2;3} \right)$ cùng phương với $\overrightarrow {OG}$, do đó $\vec u$ hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.

d) Đúng. Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và nhận $\vec u = \left( {1;2;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương, thiết lập được phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Đọc từ mẫu số của phương trình chính tắc, d' có vectơ chỉ phương $\vec u' = \left( { - 1; - 2;2} \right)$.

b) Đúng. Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow {EF} = \left( {2;4; - 4} \right)$. Ta thấy $\overrightarrow {EF} = - 2\left( { - 1; - 2;2} \right) = - 2\vec u'$, do đó hai vectơ chỉ phương này cùng phương với nhau.

c) Sai. Lấy tọa độ E(1; −1; 2) thay vào phương trình của d', ta xét các tỉ số: $\frac{{1 + 1}}{{ - 1}} = - 2$; $\frac{{ - 1 - 3}}{{ - 2}} = 2$; $\frac{2}{2} = 1$. Vì các tỉ số này khác nhau nên E không thuộc d'.

d) Sai. Mặc dù d và d' có cùng phương (các vectơ chỉ phương tỉ lệ với nhau), nhưng do điểm E thuộc d mà không thuộc d' nên hai đường thẳng này song song với nhau chứ không trùng nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tính tọa độ vectơ: $\overrightarrow {PQ} = \left( {0 - 1;3 - 2;1 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 1;1;2} \right)$.

b) Đúng. Đường thẳng đi qua P(1; 2; −1) và nhận $\overrightarrow {PQ} = \left( { - 1;1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 + 2t}\end{array}} \right.$.

c) Sai. M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên z = 0. Thay z = 0 vào phương trình z của đường thẳng d: $- 1 + 2t = 0$ Þ t = 0,5. Tính hoành độ a của điểm M: $a = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$. Hoành độ không bằng 1.

d) Đúng. Với t = 0,5, tính tung độ b: $b = 2 + 0{,}5 = 2{,}5$. Tổng a + b = 0,5 + 2,5 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −3

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB}$: $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - \left( { - 1} \right); - 2 - 2;3 - 5} \right) = \left( {2; - 4; - 2} \right)$

Rút gọn bằng cách chia cho 2, ta chọn vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)$ để hoành độ khớp với mẫu số bằng 1 trong giả thiết.

Đường thẳng đi qua A(−1; 2; 5) với $\vec u = \left( {1; - 2; - 1} \right)$ có phương trình: $\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$

Đồng nhất với phương trình đề bài cung cấp, ta suy ra m = −2 và n = −1.

Giá trị của biểu thức S = m + n = −2 + (−1) = −3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Đường thẳng d đi qua hai điểm C, D nên nhận $\overrightarrow {CD} = \left( {5 - 2;1 - 0; - 1 - \left( { - 3} \right)} \right) = \left( {3;1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua C(2; 0; −3) là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 3t}\\{y = t}\\{z = - 3 + 2t}\end{array}} \right.$

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0. Để tìm giao điểm K, ta thế z = 0 vào phương trình thứ ba: -3 + 2t Þ 2t = 3 Þ t = 1,5.

Thay t = 1,5 vào hai phương trình còn lại để tính tọa độ x và y của K: x = 2 + 3 × 1,5 = 6,5; y = 1,5.

Tổng hoành độ và tung độ của điểm K là x + y = 6,5 + 1,5 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta tính tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow {PQ}$ theo tham số m và n: $\overrightarrow {PQ} = \left( {3 - m;n - 2;2 - \left( { - 1} \right)} \right) = \left( {3 - m;n - 2;3} \right)$

Vì đường thẳng d cũng nhận $\vec u = \left( {1; - 1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên $\overrightarrow {PQ}$ và $\vec u$ phải cùng phương.

Do cao độ của hai vectơ bằng nhau (cùng bằng 3), nên để cùng phương, hai vectơ này phải bằng nhau ở từng thành phần tương ứng.

Ta thiết lập hệ phương trình đồng nhất tọa độ: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 - m = 1}\\{n - 2 = - 1}\end{array}} \right.$

Giải các phương trình bậc nhất cơ bản ta được m = 2 và n = 1.

Giá trị của biểu thức T = 2 x 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1

Tính tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {1 - 2;1 - \left( { - 1} \right);2 - 3} \right) = \left( { - 1;2; - 1} \right)$.

Độ dài đoạn thẳng AB là $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} = \sqrt 6$.

Vì N nằm trên đường thẳng AB, vectơ $\overrightarrow {AN}$ phải cùng phương với $\overrightarrow {AB}$, tức là tồn tại số thực k sao cho $\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AB}$.

Từ giả thiết $AN = 3\sqrt 6$, ta có $\left| {\overrightarrow {AN} } \right| = \left| k \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right|$ Þ $3\sqrt 6 = \left| k \right|\sqrt 6$ Þ $\left| k \right| = 3$ Þ k = 3 hoặc k = −3.

Tọa độ điểm N được biểu diễn theo k là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{a = 2 - k}\\{b = - 1 + 2k}\\{c = 3 - k}\end{array}} \right.$.

Trường hợp 1: k = 3, ta có a = 2 − 3 = −1. Giá trị này thỏa mãn điều kiện a < 2.

Trường hợp 2: k = −3, ta có a = 2 − (−3) = 5. Giá trị này bị loại do không thỏa mãn a < 2.

Vậy a = −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Tính tọa độ của vectơ chỉ phương $\overrightarrow {EF} = \left( {1 - 3;2 - 3; - 2 - 0} \right) = \left( { - 2; - 1; - 2} \right)$.

Chọn vectơ chỉ phương $\vec u = - \overrightarrow {EF} = \left( {2;1;2} \right)$.

Đường thẳng d có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + 2t}\\{y = 3 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.$.

Vì M thuộc d nên tọa độ M(3 + 2t; 3 + t; 2t). Vectơ $\overrightarrow {OM} = \left( {3 + 2t;3 + t;2t} \right)$.

Khoảng cách từ O đến M đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O lên d.

Do đó, $\overrightarrow {OM}$ vuông góc với $\vec u$, tương đương $\overrightarrow {OM} \cdot \vec u = 0$ <=> 2(3 + 2t) + 1(3 + t) + 2 × 2t = 0.

<=> 6 + 4t + 3 + t + 4t = 0 <=> 9t + 9 = 0 => t = −1.

Thay t = −1 vào tọa độ M, ta được hoành độ a = 1, tung độ b = 2 và cao độ c = −2.

Tổng cần tìm là a + b + c = 1 + 2 + (−2) = 1.