Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng cần tìm đi qua M(1; −2; 3), vuông góc với (P) nên nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ là vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng cần tìm là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 3 + 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 2; −3) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 3 + 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng đi qua M(1; −2; 2) nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 + t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\overrightarrow u = \left( {1;3; - 1} \right)$ nên suy ra chỉ có đáp án A hoặc B đúng. Thử tọa độ điểm A(2; 3; 0) vào ta thấy đáp án B thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;2} \right) = \overrightarrow {{u_{{d_1}}}}$. Do đó d$_{1}$ (α).

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) nên nhận $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; 1; 1) nên đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2; - 5;1} \right)$.

Đường thẳng vuông góc với (P) nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = - \overrightarrow n = \left( { - 2;5; - 1} \right)$và đi qua A nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 5t\\z = - 1 - t\end{array} \right.$.

Cho t = −1 ta được điểm B(3; −3; 0) ∈ .

Vì thế có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 2t\\y = - 3 + 5t\\z = - t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương mà d đi qua A(1; −2; 1) nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 1} \right)$.

Vì d (P) nên d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow n = \left( {1; - 2; - 1} \right)$. Suy ra chọn A, C, D.

Thay tọa độ điểm A vào các câu đã chọn, ta thấy câu D thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua điểm A(−2; 4; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) nhận $\overrightarrow n = \left( {2; - 3;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 4}}{{ - 3}} = \frac{{z - 3}}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.

Từ phương trình mặt phẳng (P), ta có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)$.

Đường thẳng d đi qua điểm M(2; −1; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)$.

Áp dụng công thức, ta viết được phương trình tham số của d như sau: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + 1 \cdot t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.$ Û $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = - 1 - 2t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (α) nên ∆ nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(−1; 4; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2;1; - 3} \right)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ được viết như sau: $\frac{{x - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z - 0}}{{ - 3}}$ <=> $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{z}{{ - 3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (β) nên nhận $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {3; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua B(1; 1; −2) là:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3t}\\{y = 1 - t}\\{z = - 2 + t}\end{array}} \right.$

Thay tọa độ điểm N(4; 0; −1) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{1 + 3t = 4}\\{1 - t = 0}\\{ - 2 + t = - 1}\end{array}} \right.$ Û $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3t = 3}\\{t = 1}\\{t = 1}\end{array}} \right.$ Û $t = 1$.

Vì hệ phương trình có nghiệm duy nhất t = 1, nên điểm N(4; 0; −1) nằm trên đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng tọa độ (Oxz) có phương trình đặc trưng là y = 0, do đó nó nhận vectơ đơn vị của trục Oy là $\vec j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxz) nên nhận $\vec j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng d đi qua điểm C(5; −2; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec j$ có phương trình tham số là:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5 + 0 \cdot t}\\{y = - 2 + 1 \cdot t}\\{z = 1 + 0 \cdot t}\end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 5}\\{y = - 2 + t}\\{z = 1}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tọa độ trọng tâm G của tam giác DEF được tính bằng trung bình cộng tọa độ ba đỉnh:

${x_G} = \frac{{4 + 0 + 2}}{3} = 2$; ${y_G} = \frac{{0 - 3 + 0}}{3} = - 1$; ${z_G} = \frac{{0 + 0 + 12}}{3} = 4$ Þ G(2; −1; 4).

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Đường thẳng ∆ vuông góc với (P) nên nhận $\overrightarrow {{n_P}}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của ∆ đi qua G(2; −1; 4) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{n_P}}$ là: $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}$ <=> $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đọc trực tiếp từ hệ số của phương trình mặt phẳng (Q), ta có $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;5} \right)$.

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (Q) nên nhận $\overrightarrow {{n_Q}}$ làm vectơ chỉ phương. Vectơ $\overrightarrow {{u_d}} = - \overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 2;1; - 5} \right)$ là vectơ đối, do đó hoàn toàn hợp lệ làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Phương trình tham số đi qua M(3; −2; 1) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;5} \right)$ được viết chính xác là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + 2t}\\{y = - 2 - t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.$.

d) Sai. Thay tọa độ N(5; −3; 5) vào hệ phương trình tham số của d, ta có hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 + 2t = 5}\\{ - 2 - t = - 3}\\{1 + 5t = 5}\end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2t = 2}\\{ - t = - 1}\\{5t = 4}\end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = 1}\\{t = \frac{4}{5}}\end{array}} \right.$.

Vì các giá trị của t không đồng nhất nên điểm N không thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là z = 0, nên nhận vectơ đơn vị của trục Oz là $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

b) Đúng. Đường thẳng ∆ vuông góc với (Oxy) nên nhận $\vec k$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số đi qua A(0; −3; 2) là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0 + 0 \cdot t}\\{y = - 3 + 0 \cdot t}\\{z = 2 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 0}\\{y = - 3}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.$.

c) Sai. Giao điểm của ∆ và (Oxy) có cao độ z = 0. Thay z = 0 vào phương trình thứ ba ta được 2 + t = 0 => t = −2.

Tại t = −2, tọa độ giao điểm là (0; −3; 0), khác gốc tọa độ O(0; 0; 0).

d) Đúng. Mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình x = 0. Dựa vào phương trình tham số của ∆, mọi điểm trên ∆ đều có hoành độ x = 0. Do đó ∆ nằm gọn trong mặt phẳng (Oyz).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; - 1} \right)$. Đường thẳng d vuông góc với (P) nên lấy $\overrightarrow {{n_P}}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc là $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - \left( { - 1} \right)}}{{ - 1}}$ Û $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}$.

b) Đúng. Phương trình tham số của d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\\{z = - 1 - t}\end{array}} \right.$. Mặt phẳng (Oxz) có phương trình y = 0. Thay y = 0 vào hệ: 2 + t = 0 => t = −2.

Khi đó hoành độ x = 1 + (−2) = −1, cao độ z = −1 − (−2) = 1.

Giao điểm là (−1; 0; 1).

c) Đúng. Thế các biểu thức x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P) ta giải như sau: (1 + t) + (2 + t) − (−1 − t) + 2 = 0 ⇔ 1 + t + 2 + t + 1 + t + 2 = 0 ⇔ 3t + 6 = 0 => t = −2.

Thay t = −2 vào d ta được giao điểm I(−1; 0; 1).

d) Sai. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) chính là độ dài đoạn thẳng BI. Tính độ dài BI bằng công thức:

$BI = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt {4 + 4 + 4} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3$.

Giá trị $2\sqrt 3$ khác 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$, của (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 1} \right)$. Hai vectơ này không cùng phương vì tỉ lệ tọa độ không bằng nhau. Do d vuông góc với (P) nên nó không thể vuông góc với (Q).

b) Đúng. Đường thẳng d vuông góc với (P) nên d nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

c) Đúng. Áp dụng công thức, hệ phương trình tham số của d đi qua A(1; 1; 1) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{n_P}}$ được viết là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 1 \cdot t}\\{y = 1 - 1 \cdot t}\\{z = 1 + 1 \cdot t}\end{array}} \right.$ <=> $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$

d) Đúng. Thế phương trình tham số vào mặt phẳng (Q) ta có: (1 + t) + (1 – t) – (1 + t) + 2 = 0 <=> 3 – t = 0 Þ t = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tọa độ vectơ $\overrightarrow {MN}$ là $\left( {3 - 1; - 2 - \left( { - 1} \right);4 - 2} \right) = \left( {2; - 1;2} \right)$.

b) Đúng. Từ phương trình (P), vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)$. Ta thấy $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {{n_P}}$, nên $\overrightarrow {MN}$ đóng vai trò là một vectơ pháp tuyến. Điều này cũng xác nhận đường thẳng đi qua M, N vuông góc với (P).

c) Đúng. Phương trình tham số của đường thẳng d (đi qua M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {MN}$) là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.$.

d) Sai.

Thế $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.$ vào phương trình mặt phẳng (P) để tìm giao điểm I:

2(1 + 2t) − (−1 − t) + 2(2 + 2t) − 1 = 0 <=> 2 + 4t + 1 + t + 4 + 4t − 1 = 0

<=> 9t + 6 = 0 => t = $- \frac{2}{3}$.

Thay t = $- \frac{2}{3}$ vào phương trình tham số của d để tìm tọa độ I(a; b; c):

a = 1 + 2·$\left( { - \frac{2}{3}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$; b = −1 − $\left( { - \frac{2}{3}} \right)$ = $- \frac{1}{3}$; c = 2 + 2·$\left( { - \frac{2}{3}} \right)$ = $\frac{2}{3}$

Tính tổng: a + b + c = $- \frac{1}{3}$ − $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận $\overrightarrow {{n_P}}$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của d đi qua M(3; −1; 5) với vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{n_P}}$ là: $\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$

Đồng nhất phương trình này với biểu thức đề bài, ta có phần mẫu số a = 2 và b = 1.

Giá trị tổng cần tìm là a + b = 2 + 1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)$.

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên phương trình tham số của d đi qua A(2; 1; −3) được lập là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2 + t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3 + t}\end{array}} \right.$

Điểm K nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên cao độ z = 0.

Thay z = 0 vào phương trình thứ ba, ta giải được: −3 + t = 0 <=> t = 3.

Thế t = 3 vào biểu thức tính hoành độ và tung độ của điểm K: x = 2 + 3 = 5; y = 1 − 2·3 = −5

Tổng các tọa độ của điểm K là x + y = 5 + (−5) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d được viết là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2 + 3t}\\{y = 4 - t}\\{z = 1 + 2t}\end{array}} \right.$

Đường thẳng cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm có hoành độ x = 0.

Giải phương trình hoành độ: −2 + 3t = 0 ⇒ 3t = 2 ⇒ t = $\frac{2}{3}$

Thay t = $\frac{2}{3}$ vào tính tung độ và cao độ của A:

b = 4 − $\frac{2}{3}$ = $\frac{{12}}{3}$ − $\frac{2}{3}$ = $\frac{{10}}{3}$

c = 1 + 2·$\left( {\frac{2}{3}} \right)$ = 1 + $\frac{4}{3}$ = $\frac{7}{3}$

Giá trị của hiệu b − c là: $\frac{{10}}{3}$ − $\frac{7}{3}$ = $\frac{3}{3}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Đường thẳng d vuông góc với (P) nên nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + t}\\{y = 1 + 2t}\\{z = 1 - 2t}\end{array}} \right.$.

Vì điểm M nằm trên d nên tọa độ của M có dạng M(1 + t; 1 + 2t; 1 − 2t).

Vectơ nối hai điểm là $\overrightarrow {AM} = \left( {t;2t; - 2t} \right)$.

Theo giả thiết, khoảng cách AM = 6. Ta thiết lập phương trình độ dài:

$\sqrt {{t^2} + {{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - 2t} \right)}^2}} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {9{t^2}} = 6 \Leftrightarrow 3\left| t \right| = 6 \Rightarrow \left| t \right| = 2$

Giải ra ta được t = 2 hoặc t = −2.

Nếu t = 2, hoành độ của M là x = 1 + 2 = 3 (số dương, thỏa mãn).

Nếu t = −2, hoành độ của M là x = 1 + (−2) = −1 (loại).

Vậy hoành độ của điểm M bằng 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua A, H và A'.

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;2} \right)$.

Phương trình tham số của d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.$.

Giao điểm H của d và (P) có tham số t thỏa mãn:

$2\left( {1 + 2t} \right) - \left( { - 1 - t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow 9t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{3}$ $\Rightarrow H\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$.

Điểm H là trung điểm của đoạn AA'. Do đó $A'\left( { - \frac{5}{3};\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)$.

Tổng 3 tọa độ của A' là −2.