Bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1; 0; 5) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {4;2;5} \right)$có dạng: $\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 5}}{5}$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình của đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; −3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 3;\,2;\,1} \right)$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + 2t\\z = - 3 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Do đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3t\\z = - 2 + t\end{array} \right.$ đi qua điểm M(1; 0; −2) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2;3;1} \right)$ nên có phương trình chính tắc $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng Oy đi qua điểm A(0; 2; 0) và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 2 + t\\z = 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Trục Oz đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vectơ đơn vị $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: D

Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua điểm M(1; 3; −2) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)$ có phương trình $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 2}}{1}$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua điểm B(−1; 3; 6) nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 3;8} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 6}}{8}$.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng đi qua điểm A(1; −2; 1) nhận $\overrightarrow u = \left( {2; - 1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A(2; 1; 3) và nhận $\overrightarrow u = \left( { - 2;1;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 3}}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua điểm M(−2; 1; 4) và nhận vectơ $\vec u = \left( {3; - 1;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Áp dụng định nghĩa, ta thiết lập được phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 2 + 3t}\\{y = 1 - t}\\{z = 4 + 2t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; −3; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec v = \left( { - 2;4;1} \right)$.

Phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ được viết như sau:

$\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - \left( { - 3} \right)}}{4} = \frac{{z - 0}}{1}$ Û $\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 3}}{4} = \frac{z}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d đi qua điểm P(3; −1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( { - 2;1;4} \right)$.

Do các tọa độ của vectơ chỉ phương đều khác 0 nên ta có thể viết phương trình chính tắc của d.

Phương trình chính tắc của đường thẳng d được lập như sau:

$\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{1} = \frac{{z - 2}}{4} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $\vec a = \left( {3;0; - 1} \right)$.

Vì tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên đường thẳng d không thể viết được dưới dạng phương trình chính tắc (do mẫu số không được bằng 0).

Phương trình tham số của d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3t}\\{y = 2}\\{z = - 5 - t}\end{array}} \right.$.

Thay tọa độ Q(3; 2; −4) vào hệ phương trình tham số của d: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = 3t}\\{2 = 2}\\{ - 4 = - 5 - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.$.

Hệ vô nghiệm nên Q không thuộc d. Vậy chỉ có mệnh đề A đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình tham số của đường thẳng d, ta xác định được đường thẳng d đi qua điểm có tọa độ là M(1; 0; −2).

Đồng thời, đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( { - 2;3;1} \right)$.

Từ đó, phương trình chính tắc của đường thẳng d được viết là:

$\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 0}}{3} = \frac{{z - \left( { - 2} \right)}}{1} \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có $\vec v = \left( {1;0; - 2} \right) = - \frac{1}{2}\vec u$. Vì hai vectơ cùng phương nên $\vec v$ hoàn toàn hợp lệ để làm vectơ chỉ phương của d.

b) Đúng. Áp dụng định nghĩa với điểm M(1; −2; 3) và vectơ $\vec u = \left( { - 2;0;4} \right)$, phương trình tham số được viết chính xác là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - 2t}\\{y = - 2 + 0 \cdot t}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.$ Û $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 - 2t}\\{y = - 2}\\{z = 3 + 4t}\end{array}} \right.$.

c) Đúng. Thay tọa độ điểm N(−1; −2; 7) vào phương trình tham số của d: 1 – 2t = – 1 Þ t = 1; y = −2 (khớp); 3 + 4t = 7 Þ t = 1. Hệ có nghiệm chung t = 1 nên N nằm trên d.

d) Sai. Do tung độ của vectơ chỉ phương bằng 0 nên ta không thể viết phương trình của đường thẳng d dưới dạng phân thức chính tắc (vì mẫu số không được bằng 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng ∆ đi qua A(4; −1; 2) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( { - 1;2;0} \right)$ nên có phương trình tham số được lập là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 4 - t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 2}\end{array}} \right.$.

b) Đúng. Ta có $\vec v = - 2\vec u$, suy ra $\vec v$ cùng phương với $\vec u$. Do đó, $\vec v$ cũng là một vectơ chỉ phương hợp lệ của ∆.

c) Sai. Vì cao độ của vectơ chỉ phương $\vec u$ bằng 0 nên ta không thể viết phương trình chính tắc cho đường thẳng ∆ dưới dạng có phân số chia cho 0.

d) Đúng. Thay tọa độ điểm B(3; 1; 2) vào hệ phương trình tham số của ∆ ta được hệ mới:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = 4 - t}\\{1 = - 1 + 2t}\\{2 = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t = 1}\\{t = 1}\\{2 = 2}\end{array}} \right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất t = 1 nên B thuộc ∆.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Đường thẳng d đi qua O và A nên nhận vectơ nối hai điểm $\overrightarrow {OA}$ làm vectơ chỉ phương.

b) Đúng. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA}$ chính là tọa độ của điểm A do O là gốc tọa độ, vậy $\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 4;6} \right)$.

c) Sai. Vì d nhận cả hai vectơ $\vec u = \left( {1;m;n} \right)$ và $\overrightarrow {OA} = \left( {2; - 4;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên chúng phải cùng phương. Ta có: $\frac{1}{2} = \frac{m}{{ - 4}} = \frac{n}{6} \Leftrightarrow m = - 2$.

Giá trị của m là −2, không phải là −4.

d) Đúng. Từ chuỗi tỉ lệ trên, ta có $\frac{1}{2} = \frac{n}{6} \Rightarrow n = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;6} \right)$.

b) Đúng. Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4;6} \right)$ làm vectơ chỉ phương. Ta nhận thấy $\overrightarrow {AB} = 2\vec v$, tức là hai vectơ này cùng phương với nhau. Do đó, $\vec v$ cũng là một vectơ chỉ phương hợp lệ của đường thẳng d.

c) Sai. Dựa vào điểm M(0; 1; 4) và vectơ chỉ phương $\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)$, phương trình tham số đúng của đường thẳng d phải là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = 1 - 2t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.$.

d) Đúng. Áp dụng công thức lập phương trình chính tắc với điểm M(0; 1; 4) đi qua và vectơ chỉ phương $\vec v = \left( {1; - 2;3} \right)$, ta thu được biểu thức $\frac{{x - 0}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}$ ⇔ $\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 4}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Áp dụng công thức trọng tâm tam giác, ta tính được các tọa độ của G trong một hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{x_G} = \frac{{1 + 2 + \left( { - 3} \right)}}{3} = 0}\\{{y_G} = \frac{{2 + \left( { - 1} \right) + 5}}{3} = 2}\\{{z_G} = \frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3} = 1}\end{array}} \right.$. Vậy tọa độ trọng tâm là G(0; 2; 1).

b) Đúng. Ta tính tọa độ hai vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;3;2} \right)$. Đường thẳng d nhận tích có hướng của hai vectơ này làm vectơ chỉ phương. Ta có:

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left( { - 3} \right)2 - 4 \cdot 3;4\left( { - 4} \right) - 1 \cdot 2;1 \cdot 3 - \left( { - 3} \right)\left( { - 4} \right)} \right) = \left( { - 18; - 18; - 9} \right)$.

c) Đúng. Ta thấy $\vec u = - 9\left( {2;2;1} \right)$. Bằng cách chia các tọa độ của $\vec u$ cho −9, ta thu được vectơ $\vec v = \left( {2;2;1} \right)$ cùng phương với $\vec u$. Do đó $\vec v$ cũng là vectơ chỉ phương của d.

d) Sai. Đường thẳng d đi qua điểm G(0; 2; 1) và nhận $\vec v = \left( {2;2;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của d được lập dưới dạng hệ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Từ giả thiết, đường thẳng d đi qua điểm M(2; −1; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec u$ = (1; 2; −4).

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:

$\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - \left( { - 1} \right)}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}$ ⇔ $\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 4}}$.

Đồng nhất với phương trình đề bài cho, ta xác định được các hệ số: a = 1; b = 2; c = 3.

Tổng cần tính là a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6.

Đáp án: 7

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 0; −2) với vectơ chỉ phương $\vec u$ = (3; −1; 2) là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 3t}\\{y = - t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.$.

Điểm B(a; b; 4) thuộc đường thẳng d nên tọa độ của B phải thỏa mãn hệ phương trình tham số.

Từ phương trình cao độ z = 4, ta có: −2 + 2t = 4 Þ 2t = 6 Þ t = 3.

Thay giá trị t = 3 vào các phương trình còn lại để tìm a và b:

a = x = 1 + 3 · 3 = 10 và b = y = −3.

Tổng cần tìm là a + b = 10 + (−3) = 7.

Đáp án: 2

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(3; −2; 4) với vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1;2; - 1} \right)$ là:$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 3 + t}\\{y = - 2 + 2t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.$.

Điểm B thuộc d có hoành độ bằng 5. Thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: 3 + t = 5 Þ t = 2.

Thay t = 2 vào phương trình tính cao độ, ta thu được: z = 4 − 2 = 2.

Đáp án: 10

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.$.

Điểm B nằm trên d nên tọa độ của B có dạng (1 + 2t; 1 + t; −2 + 2t).

Vectơ nối hai điểm A và B là $\overrightarrow {AB} = \left( {2t;t;2t} \right)$.

Bình phương độ dài đoạn thẳng AB được biểu diễn qua phương trình:

AB$^{2}$ = (2t)$^{2}$+ t$^{2}$ + (2t)$^{2}$= 4t$^{2}$+ t$^{2}$+ 4t$^{2}$ = 9t$^{2}$.

Theo giả thiết độ dài AB bằng 6, ta có AB$^{2}$ = 36. Từ đó suy ra phương trình:

$9{t^2} = 36 \Leftrightarrow {t^2} = 4 \Leftrightarrow t = \pm 2$.

Hoành độ của B bằng 1 + 2t. Vì hoành độ lớn hơn 1 nên ta có bất phương trình: 1 + 2t > 1 => 2t > 0 => t > 0.

Do đó, ta chỉ nhận nghiệm t = 2.

Thay t = 2 vào biểu thức tọa độ dạng tham số, ta tính được tọa độ điểm B là (5; 3; 2).

Tổng ba tọa độ của điểm B là 5 + 3 + 2 = 10.

Đáp án: 1

Hướng dẫn giải:

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A(−4; 5; −2) và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {1; - 2;2} \right)$ là: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = - 4 + t}\\{y = 5 - 2t}\\{z = - 2 + 2t}\end{array}} \right.$.

Điểm K nằm trên d nên tọa độ của K có dạng (−4 + t; 5 − 2t; −2 + 2t).

Vectơ nối từ gốc tọa độ O đến K là $\overrightarrow {OK} = \left( { - 4 + t;5 - 2t; - 2 + 2t} \right)$.

Vì K là hình chiếu vuông góc của O lên d nên vectơ $\overrightarrow {OK}$ phải vuông góc với vectơ chỉ phương $\vec u$.

Ta thiết lập phương trình tích vô hướng:

$\overrightarrow {OK} \cdot \vec u = 0 \Leftrightarrow 1\left( { - 4 + t} \right) - 2\left( {5 - 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) = 0$

<=> -4 + t – 10 + 4t – 4 + 4t = 0 <=> t = 2.

Thay giá trị t = 2 vào tọa độ điểm K, ta tính được các tọa độ:

x = −4 + 2 = −2; y = 5 − 2 · 2 = 1; z = −2 + 2 · 2 = 2.

Vậy tọa độ của K là (−2; 1; 2).

Tổng ba tọa độ của điểm K là −2 + 1 + 2 = 1.