Bài tập Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _1}\left( {1;1} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _2}\left( {2;1} \right)$.

Ta có 1.1 – 1.2 = –1 nên ${\overrightarrow n _1}$ và ${\overrightarrow n _2}$ không cùng phương và ${\overrightarrow n _1} \cdot {\overrightarrow n _2} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 3 \ne 0$ nên d$_{1}$, d$_{2}$ cắt nhau và không vuông góc.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _1}\left( {4; - 6} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow u _2}\left( { - 2;4} \right)$.

Ta có 4.4 – (–6).(–2) = 4 nên ${\overrightarrow u _1}$ và ${\overrightarrow u _2}$ không cùng phương.

Lấy A(–3; 2) ∈ d$_{1}$, thay x = –3 và y = 2 vào ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + 4t'\end{array} \right.$ ta được:

$\left\{ \begin{array}{l} - 3 = 2 - 2t'\\2 = - 8 + 4t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t' = \frac{5}{2}\\t' = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow t' = \frac{5}{2}$

Do đó A ∈ d$_{2}$ nên hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ trùng nhau.

Đáp án đúng là: D

Ta kiểm tra lần lượt các đường thẳng:

+ Với d$_{1}$: x + 2y + 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{1} \ne \frac{{ - 2}}{2}$ nên d cắt d$_{1}$.

+ Với d$_{2}$: 2x – y = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{2} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 1}}$ nên d cắt d$_{2}$.

+ Với d$_{3}$: – x + 2y + 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{{ - 1}} = \frac{{ - 2}}{2} = \frac{{ - 1}}{2}$ nên d trùng d$_{3}$.

+ Với d$_{4}$:– 2x + 4y – 1 = 0, ta xét tỉ số $\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4} \ne \frac{{ - 1}}{{ - 1}}$ nên d song song d$_{4}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ ta giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}7x - 3y + 16 = 0\\x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 10\\y = - 18\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là A(–10; –18).

Đáp án đúng là: A

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} - 3 + 4t = 1 + 4t'\\2 + 5t = 7 - 5t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - t' = 1\\t + t' = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 0\end{array} \right.$.

Thay giá trị t = 1 vào phương trình đường thẳng d$_{1}$ ta tìm được $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 7\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là: (1; 7).

Đáp án đúng là: B

Để d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau ta tìm nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\ - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.$.

Trường hợp 1. Với m = 0 thì ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 2y - 1 = 0\\ - x + 1 = 0\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất, thỏa mãn d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau.

Trường hợp 2. Với m ≠ 0, để d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau thì $\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m \ne - 2$

$\Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Vậy m ≠ 1, m ≠ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm A(8; 10) và có một vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _1} = \left( { - \left( {m + 1} \right);1} \right)$ nên có một vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow n _1}\left( {1;m + 1} \right)$.

Khi đó d$_{1}$ có phương trình tổng quát là 1(x – 8) + (m + 1)(y – 10) = 0, tức là x + (m + 1)y – 10m – 18 = 0.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow n _2}\left( {m;2} \right)$.

Trường hợp 1. m = 0 khi đó ${\overrightarrow n _1}\left( {1;1} \right);\,\,{\overrightarrow n _2}\left( {0;2} \right)$ không cùng phương nên hai đường thẳng không song song.

Trường hợp 2. m ≠ 0, để đường thẳng d$_{1}$ song song với đường thẳng d$_{2}$ thì:

$\frac{1}{m} = \frac{{m + 1}}{2} \ne \frac{{ - 10m - 18}}{{ - 14}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 = 0\\ - 10{m^2} - 18m + 14 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 20m - 36 \ne - 14m - 14\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 2\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện (1) và (2))

Vậy m = 1 hoặc m = –2.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = m + 2t\\y = 1 + \left( {{m^2} + 1} \right)t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _1}\left( {2;{m^2} + 1} \right)$, đi qua điểm A(m; 1).

Đường thẳng ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + mt\\y = m + t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _2}\left( {m;1} \right)$.

Để ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ trùng nhau thì $\left\{ \begin{array}{l}A \in {\Delta _2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\frac{m}{2} = \frac{1}{{{m^2} + 1}}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1 + mt\\1 = m + t\end{array} \right.\\{m^3} + m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m = 1 + m\left( {1 - m} \right)\\t = 1 - m\end{array} \right.\\\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1 + m - {m^2}\\m - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.

Đáp án đúng là: D

Tọa độ giao điểm của d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y + 15 = 0\\5x + 2y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( { - 1;3} \right).$

Để ba đường thẳng d$_{1}$, d$_{2}$ và d$_{3}$ đồng quy thì A(–1; 3) ∈ d$_{3}$

⇔ m.(–1) – (2m – 1).3 + 9m – 13 = 0

⇔ –m – 6m + 3 + 9m – 13 = 0

⇔ 2m = 10

⇔ m = 5.

Đáp án đúng là: D

Gọi A(x$_{A}$; 0) là giao điểm của đường thẳng d$_{2}$và trục Ox.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 1 + t\\0 = 3 + 3t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 1 + \left( { - 1} \right)\\t = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 2\\t = - 1\end{array} \right.$. Do đó A(–2; 0).

Để d$_{1}$ cắt d$_{2}$ tại một điểm nằm trên trục hoành thì điểm A(–2; 0) thuộc d$_{1}$

⇔ a.(–2) + 3.0 – 4 = 0

⇔ –2a = 4

⇔ a = –2.