Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Nên d ⊥ OA tại điểm A.

Đáp án đúng là: A

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp điểm của đường tròn. Hay d là tiếp tuyến của (O) tại A.

Đáp án đúng là: C

Vì hai đường thẳng song song a, b cách nhau một khoảng là 2,5 cm mà I ∈ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b là d = 2,5 cm.

Duy ra d = R nên đường tròn (I; 2,5 cm) và đường thẳng b tiếp xúc nhau.

Đáp án đúng là: A

Vì hai đường thẳng song song a, b cách nhau một khoảng là 3 cm mà I ∈ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b là d = 3 cm.

Duy ra d < r (3 cm < 3,5 cm) nên đường tròn (I; 3,5 cm) và đường thẳng b cắt nhau.

>

Đáp án đúng là: D

Vì IA ⊥ Oy, IB ⊥ Ox tại A, B.

Vì (I) tiếp xúc với cae Ox, Oy nên IA = Ib suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy (I ≠ O) (tính chất tia phân giác của một góc)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng a và đường tròn (O) không cắt nhau nên số điểm chung của đường thẳng a và đường tròn (O) là 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì số điểm chung của đường tròn (O) và đường thẳng a là 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; 4 cm) tại điểm B nên điểm B thuộc (O; 4 cm). Do đó, OB = 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình 1 thể hiện B là tiếp điểm của đường thẳng a với đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì h > 3 cm nên đường thẳng d và đường tròn (O; 3 cm) không giao nhau. Do đó, số điểm chung của đường thẳng d và đường tròn (O; 3 cm) là 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì đường thẳng b và đường tròn (O) không có điểm chung nên đường thẳng b không cắt đường tròn (O).

b) Sai.

Vì đường thẳng c và đường tròn (O) có hai điểm chung là M và N nên đường thẳng c không tiếp xúc với đường tròn (O).

c) Sai.

Có một đường thẳng không cắt đường tròn (O) là đường thẳng b.

Vì đường thẳng a và đường tròn (O) có duy nhất một điểm chung là điểm E nên đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O).

Vì đường thẳng e và đường tròn (O) có duy nhất một điểm chung là điểm R nên đường thẳng e tiếp xúc với đường tròn (O).

Vậy số đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) nhiều hơn số đường thẳng không cắt đường tròn (O).

d) Đúng.

Vì đường thẳng c và đường tròn (O) có hai điểm chung là M và N nên đường thẳng c cắt đường tròn (O).

Vì đường thẳng g và đường tròn (O) có hai điểm chung là I và Z nên đường thẳng g cắt đường tròn (O).

Vì đường thẳng d và đường tròn (O) có hai điểm chung là P và Q nên đường thẳng d cắt đường tròn (O).

Do đó, có 3 đường thẳng cắt đường tròn (O) là g, c, d.

Theo c) ta có: Có 2 đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O), 1 đường thẳng không cắt đường tròn (O).

Vậy số đường thẳng cắt đường tròn (O) bằng tổng số đường thẳng không cắt đường tròn (O) và số đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì đường thẳng d và đường tròn (O; 2 cm) có duy nhất 1 điểm chung là A nên đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O; 2 cm).

b) Sai.

Vì A là điểm chung duy nhất của đường thẳng d với đường tròn (O; 2 cm) nên điểm A là tiếp điểm của đường thẳng d với đường tròn (O; 2 cm).

c) Đúng.

Vì đường thẳng BC và đường tròn (O; 2 cm) có hai điểm chung là C và D nên đường thẳng BC cắt đường tròn (O; 2 cm).

d) Sai.

Vì đường thẳng BC cắt đường tròn (O; 2 cm) nên khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng BC nhỏ hơn 2 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì OM là khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d nên OM ^ d tại M hay OM ^ AB tại M.

Vì OA = OB nên DAOB cân tại O, suy ra OM là đường cao đồng thời là đường phân giác của tam giác đó.

Suy ra OM là tia phân giác của góc AOB.

b) Sai.

Vì OM là tia phân giác của góc AOB nên $\widehat {{\rm{AOM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ .$

Xét DAMO vuông tại M có: OM = ${\rm{OA}} \cdot \cos \widehat {{\rm{AOM}}} = 6 \cdot \cos 60^\circ = 3\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy OM = 3 cm.

c) Sai.

Xét DAMO vuông tại M có: AM = ${\rm{OA}} \cdot \sin \widehat {{\rm{AOM}}} = 6 \cdot \sin 60^\circ = 3\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vì DAOB cân tại O nên OM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó.

Suy ra AB = 2 AM = $6\sqrt 3 \;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Vậy AB = $6\sqrt 3 \;\,{\rm{cm}}$.

d) Sai.

Diện tích tam giác AOB là: ${\rm{S}} = \frac{1}{2}{\rm{OM}} \cdot {\rm{AB}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 6\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2} < 20\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Vậy diện tích tam giác AOB nhỏ hơn 20 cm$^{2}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 2 cm.

Vì 2 < 3 nên đường tròn (M; 3) cắt trục Ox.

b) Đúng.

Vì M(0; 2) thuộc trục Oy nên trục Oy và đường tròn (M; 3) có hai điểm chung.

Vậy với x = 3 thì đường tròn (M; x) cắt trục Oy.

c) Đúng.

Vì M(0; 2) thuộc trục Oy và x > 0 nên đường tròn (M; x) và trục Oy luôn có hai điểm chung. Vậy x > 0 thì đường tròn (M; x) luôn cắt trục Oy.

d) Đúng.

Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 2 cm.

Để đường tròn (M; x) cắt trục Ox thì khoảng cách từ M đến trục Ox > 2 cm nên x > 2 cm.

Lại có, với x > 0 thì đường tròn đường tròn (M; x) luôn cắt trục Oy.

Vậy x > 2 thì đường tròn (M; x) cắt trục cả 2 trục Ox và Oy.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25 = 5$^{2}$ = BC$^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A (Định lý Pythagore đảo).

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b) Đúng.

Vì DABC vuông tại A nên AB ^ AC. Do đó, khoảng cách từ điểm A đến AB là AC.

Mà AC là bán kính đường tròn (A; AC).

Vậy đường tròn (A; AC) tiếp xúc với AB.

c) Sai.

Vì DABC vuông tại A nên AB ^ AC.

Do đó, khoảng cách từ điểm A đến AC là AB.

Lại có AB là bán kính của đường tròn (A; AB).

Vậy đường tròn (A; AB) tiếp xúc với AC.

d) Sai.

Gọi I là trung điểm của BC.

Vì DABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên IA = IB = IC.

Do đó 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn (I), đường kính BC.

Kẻ IK ^ AB tại K, khi đó IK là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng AB.

Vì tam giác IKA vuông tại K nên IK < AI.

Do đó, khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng AB nhỏ hơn bán kính AI của đường tròn đường kính BC.

Vậy đường tròn đường kính BC cắt đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 24

Kẻ OC ^ AB tại C, khi đó OC là khoảng cách từ O đến đường thẳng d nên OC = 16 cm.

Vì OA = OB (= bán kính của (O; OA)) nên DAOB cân tại O. Suy ra OC là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Suy ra AB = 2AC.

Áp dụng định lý Pythagore vào DACO vuông tại C ta có:

AC$^{2}$ + OC$^{2}$ = AO$^{2}$ nên AC = $\sqrt {{\rm{A}}{{\rm{O}}^2} - {\rm{O}}{{\rm{C}}^2}} = \sqrt {{{20}^2} - {{16}^2}} = 12\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Suy ra: AB = 2AC = 24 cm. Vậy AB = 24 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Kẻ IH ^ d tại H. Vì điểm I cách đường thẳng d một khoảng bằng 20 cm nên HI = 20 cm.

Bán kính của đường tròn (I) là: R = 36 : 2 = 18 (cm).

Vì HI > R (do 20 cm > 18 cm) nên đường thẳng d và đường tròn (I) không cắt nhau.

Vậy đường thẳng d và đường tròn (I) không có điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Kẻ IH ^ d tại H.

Vì a và b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng bằng 9 cm; I thuộc đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến đường thẳng b là IH = 9 cm.

Vì IH < 10,5 cm nên đường thẳng b cắt đường tròn (I; 10,5 cm). Vậy số điểm chung của (I; 10,5 cm) và đường thẳng b là 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Dựa vào đồ thị ta có:

Khoảng cách từ M(2; 3) đến trục Ox là MA = 3 (đvđd).

Khoảng cách từ M(2; 3) đến trục Oy là MB = 2 (đvđd).

Vì đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox nên bán kính của đường tròn đó là R = MA = 3 (đvđd).

Vì MB < R nên đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox cắt trục Oy.

Vậy trục Oy và đường tròn tâm M tiếp xúc với trục Ox có 2 điểm chung.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Ta có: $\widehat {{\rm{AOB}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$= 60$^{o}$.

Kẻ OE ^ AB tại E, khi đó OE là khoảng cách từ O đến đường thẳng d.

Vì OA = OB (= bán kính của (O; OA)) nên DAOB cân tại O. Mà $\widehat {{\rm{AOB}}}$ = 60$^{o}$ nên DAOB đều. Suy ra AB = OA = 6 cm.

Vì DAOB đều nên OE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Suy ra AE = $\frac{1}{2}{\rm{AB}}$= 3 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào DAEO vuông tại E ta có:

AE$^{2}$ + OE$^{2}$ = AO$^{2}$ nên OE = $\sqrt {{\rm{A}}{{\rm{O}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3 \approx 5\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d bằng khoảng 5 cm.