Bài tập Vectơ có đáp án

Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là:

- Khối lượng của hàng là đại lượng chỉ có độ lớn vì hàng trên tàu có khối lượng 500 tấn. Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng vô hướng.

- Độ dịch chuyển của tàu là đại lượng bao gồm cả độ lớn và hướng vì con tàu có độ dịch chuyển dài 500 km theo hướng từ A đến B.

Ta gọi đại lượng dạng này là đại lượng có hướng.

Vectơ $\overrightarrow{CH}$ có điểm đầu là C, điểm cuối là H và có giá là đường thẳng CH (hay chính là đường thẳng BC).

Vectơ $\overrightarrow{CB}$ có điểm đầu là C, điểm cuối là B và có giá là đường thẳng BC.

Vectơ $\overrightarrow{HA}$ có điểm đầu là H, điểm cuối là A và có giá là đường thẳng AH.

Do H là trung điểm của BC nên CH = $\frac{1}{2}BC$= $\frac{1}{2}.2=1$.

Theo Ví dụ 1, ta có AH = $\sqrt{3}$.

Suy ra $|\overrightarrow{CH}|=CH=1,\ |\overrightarrow{CB}|=CB=2,\ |\overrightarrow{HA}|=HA=AH=\sqrt{3}$

Do ABCD là hình vuông nên góc ADC là góc vuông.

Xét tam giác ADC vuông tại D, theo định lí Pythagore ta có:

AC$^{2}$ = AD$^{2}$ + DC$^{2}$$_{2}$$^{2}$

Suy ra $AC=\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}=\sqrt{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}+{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}=1$.

Do ABCD là hình vuông nên hai đường chéo AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nên AC = BD và O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: BD = AC = 1 và OA = AO = $\frac{1}{2}AC$ = $\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$.

Suy ra: $|\overrightarrow{AC}|=1,\ |\overrightarrow{BD}|=1,\ |\overrightarrow{OA}|=\frac{1}{2},\ |\overrightarrow{AO}|=\frac{1}{2}$.

+ Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{CD}$ là đường thẳng CD.

Quan sát Hình 6 ta thấy hai đường thẳng AB, CD là trùng nhau.

Do đó giá của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là trùng nhau.

+ Giá của vectơ $\overrightarrow{PQ}$ là đường thẳng PQ, giá của vectơ $\overrightarrow{RS}$ là đường thẳng RS.

Quan sát Hình 6 ta thất hai đường thẳng PQ và RS song song với nhau.

Do đó giá của hai vectơ $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{RS}$ là song song với nhau.

Quan sát Hình 8 ta thấy:

a) Vectơ $\overrightarrow{\text{w}}$ có giá trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{x}$, vectơ $\overrightarrow{y}$ có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{x}$, vectơ $\overrightarrow{z}$ có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{x}$.

Vậy các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow{x}$ là vectơ $\overrightarrow{y},\ \overrightarrow{\text{w}},\ \overrightarrow{z}$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ có giá song song với nhau nên chúng cùng phương.

Lại có hai vectơ này có cùng hướng đi từ trên chéo xuống dưới.

Vậy vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ là vectơ $\overrightarrow{b}$.

c) Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ có giá song song với nhau nên chúng cùng phương.

Lại có hai vectơ này có hướng ngược nhau.

Vậy vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$ là vectơ $\overrightarrow{v}$.

Khẳng định trên là sai.

Vì nếu ta cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng và điểm A nằm giữa B và C thì hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ngược hướng.

Do ABCD là hình bình hành nên AB // = DC, AD // = CB.

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ có giá lần lượt là đường thẳng AB và đường thẳng DC song song với nhau và có cùng hướng đi từ trái sang phải.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Hơn nữa, $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ (do AB = CD).

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ có giá song song với nhau và có hướng ngược nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CB}$ ngược hướng.

Hơn nữa, $|\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{CB}|$ (do AD = CB).

a) Tam giác ABC có F và E lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Do đó EF là đường trung bình của tam giác ABC nên EF // = $\frac{1}{2}$ BC.

Do D là trung điểm của BC nên BD = DC = $\frac{1}{2}BC$.

Suy ra EF = BD = DC và EF // BD, EF // DC.

Hai vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{DB}$ có giá song song với nhau, có cùng hướng đi từ phải qua trái nên hai vectơ này cùng hướng, hơn nữa $|\overrightarrow{EF}|=|\overrightarrow{DB}|$.

Do đó $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DB}$.

Tương tự ta có: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$ (do chúng cùng hướng và cùng độ dài).

b) Ta có FD là đường trung bình của tam giác ABC nên FD // = $\frac{1}{2}$AC.

Mà E là trung điểm của AC nên AE = EC = $\frac{1}{2}AC$.

Do đó: AE = EC = FD.

Hai vectơ $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{DF}$ có giá song song và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa $|\overrightarrow{EC}|=|\overrightarrow{DF}|$.

Do đó $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{DF}$ là hai vectơ đối nhau hay $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{DF}$.

Hai vectơ $\overrightarrow{EA}$ và $\overrightarrow{EC}$ có giá trùng nhau và có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng. Hơn nữa $|\overrightarrow{EA}|=|\overrightarrow{EC}|$.

Do đó $\overrightarrow{EC}$ và $\overrightarrow{EA}$ là hai vectơ đối nhau hay $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{EA}$.

Ngoài ra, ta còn có $\overrightarrow{EC}=-\overrightarrow{CE}$.

Các vectơ $\overrightarrow{0}$ có độ dài bằng 0.

Do đó: $|\overrightarrow{EE}|=|\overrightarrow{MM}|=|\overrightarrow{FF}|=0$.

Ta có: $|\overrightarrow{EF}|=EF=2$.

M là trung điểm của EF nên EM = $\frac{1}{2}$EF = $\frac{1}{2}.2$ = 1.

Do đó: $|\overrightarrow{EM}|=EM=1$.

a) Sự khác biệt giữa hai đại lượng đã cho là:

- Bác Ba có số tiền là 20 triệu đồng, đại lượng này là một đại lượng vô hướng vì nó chỉ số tiền nên nó chỉ có độ lớn.

- Một cơn bão di chuyển với vận tốc 20 km/h theo hướng đông bắc, đại lượng này là một đại lượng có hướng vì nó có đề cập đến độ lớn và hướng.

b) Trong các đại lượng đã cho, các đại lượng lực, độ dịch chuyển, vận tốc là các đại lượng có hướng, chúng bao gồm cả độ lớn và hướng nên các đại lượng đó cần được biểu diễn bởi vectơ.

Do ABCD là hình thang có hai đáy là AB và DC nên AB // DC.

Lại có M nằm trên đoạn DC nên DM // AB, MC // AB.

a) Các vectơ $\overrightarrow{DM},\ \overrightarrow{MC},\ \overrightarrow{DC}$ đều có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ nên chúng cùng phương, hơn nữa chúng đều có hướng đi từ trái qua phải.

Do đó các vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{DM},\ \overrightarrow{MC},\ \overrightarrow{DC}$.

b) Vectơ $\overrightarrow{DM}$ và $\overrightarrow{BA}$ có giá song song với nhau nên chúng cùng phương, mà chúng có hướng ngược nhau nên hai vectơ này ngược hướng.

Các vectơ $\overrightarrow{CM},\ \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{MD}$ có giá trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{DM}$ (đều là đường thẳng DC) nên chúng cùng phương.

Lại có các vectơ $\overrightarrow{CM},\ \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{MD}$ có hướng ngược với vectơ $\overrightarrow{DM}$.

Do đó các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{DM}$ là: $\overrightarrow{CM},\ \overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{MD}$ và $\overrightarrow{BA}$.

Do ABCD là hình vuông nên tam giác ABD vuông cân tại A, theo định lí Pythagore, ta có: BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

Suy ra: BD = $a\sqrt{2}$.

Do đó: AC = BD = $a\sqrt{2}$ (hai đường chéo của hình vuông bằng nhau).

O là tâm của hình vuông ABCD nên O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, đồng thời là trung điểm của mỗi đường.

Do đó: AO = OC = $\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$; BO = OD = $\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

a) Hai vectơ $\overrightarrow{AO}$ và $\overrightarrow{OC}$ cùng phương và cùng hướng, hơn nữa $|\overrightarrow{AO}|=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $|\overrightarrow{OC}|=OC=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, nên $|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{OC}|$.

Do đó: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{OC}$ và $|\overrightarrow{AO}|=|\overrightarrow{OC}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Ngoài ra, có thể tìm được các cặp vectơ bằng nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ khác như sau:

+) $\overrightarrow{CO}=\overrightarrow{OA}$ và $|\overrightarrow{CO}|=|\overrightarrow{OA}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}$ và $|\overrightarrow{DO}|=|\overrightarrow{OB}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

+) $\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{OD}$ và $|\overrightarrow{BO}|=|\overrightarrow{OD}|=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

b) Trong hình đã cho chỉ có hai cạnh AC và BD là bằng nhau và bằng $a\sqrt{2}$. Tuy nhiên hai cạnh này cắt nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ không cùng phương nên chúng không đối nhau.

Vậy không có hai vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Giả sử ABCD là hình bình hành. Khi đó AB // DC và AB = DC.

Vì AB // DC nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Từ hình vẽ dễ thấy $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng.

Vì AB = DC nên $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$.

Vậy $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.

+) Giả sử $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$. Khi đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$.

Từ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng suy ra chúng cùng phương, hay AB // DC.

Từ $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$ suy ra AB = DC.

Vậy ABCD là hình bình hành.

Vậy tứ giác ABCD là một hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Quan sát Hình 17, ta thấy:

+) Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương (do có giá song song) và có cùng hướng.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ cùng phương (do có giá song song) và ngược hướng nhau.

+) Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ cùng phương (do có giá song song) và cùng hướng. Hơn nữa, độ dài vectơ $\overrightarrow{u}$ bằng độ dài vectơ $\overrightarrow{v}$. Do đó: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}$.

Vậy trong Hình 17 có: cặp vectơ cùng hướng là $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$; cặp vectơ ngược hướng là $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$; cặp vectơ bằng nhau là $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

a) Do ABCDEF là hình lục giác đều nên OA // EF // BC.

Suy ra các vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{CB}$ có giá song song với giá của vectơ $\overrightarrow{OA}$ nên chúng cùng phương.

Mà các vectơ $\overrightarrow{EF}$ và $\overrightarrow{CB}$ đều cùng hướng đi từ dưới chéo lên trên với vectơ $\overrightarrow{OA}$ nên chúng cùng hướng.

Mặt khác, các vectơ $\overrightarrow{DO}$ và $\overrightarrow{DA}$ có giá trùng với giá của vectơ $\overrightarrow{OA}$ (đều là đường thẳng AD) nên chúng cùng phương, hơn nữa các vectơ này cùng hướng.

Vậy các khác vectơ $\overrightarrow{0}$ và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{OA}$ là: $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{DO}$ và $\overrightarrow{DA}$.

b) Do ABCDEF là hình lục giác đều nên AB // = ED.

ABOF là hình thoi nên AB // = FO

ABCO là hình thoi nên AB // = OC

Khi đó, các vectơ $\overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{FO}$ và $\overrightarrow{OC}$ đều cùng phương và cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Mà chúng lại có độ dài bằng nhau.

Vậy các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: $\overrightarrow{ED},\ \overrightarrow{FO}$ và $\overrightarrow{OC}$.

Ta có thể viết: $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{ED}=\ \overrightarrow{FO}$ = $\overrightarrow{OC}$.

+) Trong Hình 18 a), hai lực đẩy $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng (hai lực có giá song song và hai bạn tác động lực lên bàn đẩy về cùng 1 hướng).

+) Trong Hình 18b), hai lực đẩy $\overrightarrow{c}$ và $\overrightarrow{d}$ ngược hướng (hai lực có giá song song và hai bạn tác động lực lên bàn đẩy ngược hướng nhau).