Bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo km. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan và một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (30; 20; −15). Khoảng cách theo đơn vị km từ chiếc ra đa và một chiếc tàu thám hiểm (kết quả làm tròn lấy một chữ số thập phân).

Với hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O nằm trên mặt nước, mặt phẳng (Oxy) là mặt nước, trục Oz hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang ở vị trí cách mặt nước 2 m, cách mặt phẳng (Oxz), (Oyz) lần lượt là 3m và 1m phóng thẳng xuống vị trí con cá, biết con cá cách mặt nước 50 cm, cách mặt phẳng (Oxz), (Oyz) lần lượt là 1m và 1,5m. Tìm tọa độ điểm B lúc chim bói cá vừa tiếp xúc với mặt nước.

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt S(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là A(−2; 0; 0), $B\left( {1;\sqrt 3 ;0} \right)$, $C\left( {1; - \sqrt 3 ;0} \right)$. Biết rằng trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là 30 N và được phân bố thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}}$ có độ lớn bằng nhau như hình dưới. Tính tích vô hướng của $\overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {{F_2}}$.

Một chiếc máy ảnh được đặt trên giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0; 0; 8) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là A$_{1}$(0; 1; 0), ${A_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right),{A_3}\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0} \right)$.

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 10 m, chiều rộng là 8 m và chiều cao là 4 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét.

Tính khoảng cách từ điểm treo bóng đèn đến góc phòng học (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Để chuẩn bị cho một buổi triển lãm quốc tế, các trang sức có giá trị lớn được đặt bảo mật trong các khối chóp tứ giác đều S.ABCD và đặt lên phía trên một trụ hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông (như hình vẽ bên).

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét) sao cho A'(0; 0; 0), A(0; 0; 1), $B\left( {0;\frac{1}{2};1} \right)$. Biết rằng, ban tổ chức sự kiện dự định dùng các tấm kính cường lực hình tam giác cân có cạnh bên là 60 cm để ráp lại thành khối chóp nói trên. Khi đó, tọa độ điểm S(a; b; c). Tính giá trị của a + b + c (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một trường học định lắp thêm một chiếc thang máy trong nhà, cabin của thang máy có dạng như hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông như hình vẽ. Biết rằng công ty cung cấp thang máy cho biết thể tích khoang carbin là 5,4 m$^{3}$và diện tích toàn phần của nó là 18,9 m$^{2}$. Gia đình định lắp một chiếc camera ở vị trí trần cabin (điểm P), gần một góc vuông sao cho nó cách hai vách đứng của khoang cabin đều là 10 cm (hình vẽ). Chọn hệ trục như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là 10 cm. Hãy tìm toạ độ của điểm P, biết rằng cạnh của đáy carbin không tới 2 m?

Một thiết bị thăm dò đáy đại dương đang lặn với vectơ vận tốc của thiết bị khi biển đứng yên là $\overrightarrow v = \left( {11;7; - 4} \right)$ (đơn vị: km/h). Cho biết vectơ vận tốc của dòng hải lưu của vùng biển là $\overrightarrow {\rm{w}} = \left( {4;2;0} \right)$ (đơn vị: km/h). Tính vận tốc của thiết bị trong điều kiện của dòng hải lưu, các yếu tố khác không đáng kể (đơn vị km/h, làm tròn đến hàng phần chục).

Hình minh hoạ sơ đồ một ngôi nhà trong không gian Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

Khi đó:

Một tháp trung tâm kiểm soát không lưu ở sân bay cao 80m sử dụng ra đa có phạm vi theo dõi 500 km được đặt trên đỉnh tháp. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí chân tháp, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất sao cho trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam, trục Oz hướng thẳng đứng lên phía trên (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét). Một máy bay tại vị trí A cách mặt đất 10 km, cách 300 km về phía đông và 200 km về phía bắc so với tháp trung tâm kiểm soát không lưu.

Khi đó:

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9 giờ 30 phút. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

Khi đó:

Một chiếc máy bay đang bay trên không trung. Xét hệ trục toạ độ Oxyz được gần như hình vẽ, trong đó gốc O là vị trí của trạm kiểm soát không lưu và M(x; y; z) (km) biểu diễn vị trí máy bay trên không trung. Tại thời điểm 8 giờ máy bay đang ở vị trí (50; 120; 4) và chuyển động với vận tốc $\overrightarrow v = \left( {300;400;3} \right)$ (km/h).

Khi đó:

Hình vẽ mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như hình dưới đây (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sử AB là một trụ cầu lông để căng lưới.

Khi đó:

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800; 450; 7) đến điểm B(1000; 550; 9) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì sau bao nhiêu phút, máy bay bay từ điểm A đến điểm C(1100; 600; 10).

Tính công (đơn vị J) sinh ra bởi lực $\overrightarrow F \left( {6;8; - 10} \right)$ tạo bởi một drone giao hàng khi thực hiện một độ dịch chuyển $\overrightarrow d \left( {100;200;200} \right)$.

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz, có ba drone giao hàng A, B, C như hình vẽ dưới, đang có toạ độ là A(1; 1; 1), B(5; 8; 9), C(9; 11; 12). Điểm giao hàng của drone là điểm D thoả mãn tứ giác ABCD là hình bình hành. Khi đó tung độ của điểm D là?

Một chiếc máy ảnh được đặt trên giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0; 0; 8) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượtb là A1(0; 1; 0), ${A_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2};0} \right)$ ,${A_3}\left( {\frac{{ - \sqrt 3 }}{2};\frac{{ - 1}}{2};0} \right)$. Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 240N. Toạ độ của các lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow {{F_3}} = \left( {x\sqrt 5 ;y;z} \right)$. Tính giá trị của biểu thức x + y + z?