Bài tập vận dụng tính chất hình chữ nhật lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên MN = PQ, MQ = NP, MP = NQ.

Đáp án đúng là: C

MNPQ là hình chữ nhật nên MQ = NP = 6 cm.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình chữ nhật nên

AD = BC = 3 cm, AB = DC = 5 cm, AC = BD = 5 cm.

Đáp án đúng là: B

Hình chữ nhật có bốn góc vuông, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.

Hình có bốn đỉnh chưa chắc là hình chữ nhật.

Đáp án đúng là: B

Dùng êke kiểm tra các góc vuông, ta thấy:

Hình 1 có 4 góc vuông nên hình 1 là hình chữ nhật.

Hình 2 không có góc vuông nên hình 2 không là hình chữ nhật.

Hình 1 có 4 góc vuông nên hình 3 là hình chữ nhật.

Hình 4 có 2 góc vuông nên hình 4 là hình thang vuông.

Đáp án đúng là: D

Hình chữ nhật có bốn góc vuông, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Đáp án đúng là: D

ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC và AC = BD.

I là trung điểm của AC và BD nên IA = IC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD = IB = ID.

Xét ΔABD và ΔBAC có:

AB chung

AD = BC

BD = AC

Do đó, ΔABD = ΔBAC (c.c.c).

Xét ΔIAD và ΔIBC có:

IA = IB

AD = BC

ID = IC

Do đó ΔIAD = ΔIBC (c.c.c).

Xét ΔIAB và ΔICD có:

IA = IC

IB = ID

AB = CD

Do đó ΔIAB = ΔICD (c.c.c).

Tam giác IAB và tam giác IAD chỉ có IA chung, không có các yếu tố khác bằng nhau nên hai tam giác này không bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có: MP$^{2}$ = MN$^{2}$ + NP$^{2}$

5$^{2}$ = 3$^{2}$ + NP$^{2}$

NP$^{2}$ = 5$^{2}$ – 3$^{2}$ = 16

NP = 4 (cm)

Vì MNPQ là hình chữ nhật nên NP = MQ = 4 (cm).

Đáp án đúng là: C

AM = 2,4AN = 2,4 . 5 = 12 (cm).

Vì tứ giác AMBN là hình chữ nhật nên

AN = MB = 5 cm, AM = BN = 12 cm.

Chu vi tam giác MBN là:

MB + BN + MN = 12 + 5 + 13 = 30 (cm).

Vậy chu vi tam giác MBN là 30 cm.

Đáp án đúng là: D

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó, I là trung điểm của AC.

AC = 2.IA = 2.5 = 10 (cm).

Theo đề bài, ta có: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$

10$^{2}$ = 8$^{2}$ + BC$^{2}$

BC$^{2}$ = 10$^{2}$ – 8$^{2}$ = 64

BC = 8 (cm).

Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (AB + BC).2 = (8 + 6).2 = 28 (cm).

Vậy chu vi hình chữ nhật ABCD là 28 cm.

Đáp án đúng là: C

Dựa vào tính chất của hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AC = BD và OA = OB = OC = OD.

Tuy nhiên, hai đường chéo của hình chữ nhật không nhất thiết phải vuông góc với nhau (chỉ vuông góc khi đó là hình vuông). Do đó khẳng định C là sai.

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất của hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Suy ra OA = OB = AC : 2 = 10 : 2 = 5 cm.

Tam giác OAB có OA = OB nên tam giác OAB cân tại O.

Mặt khác, $\widehat {AOB} = 60^\circ$ nên tam giác OAB là tam giác đều.

Suy ra AB = OA = OB = 5 cm.

Chu vi tam giác OAB là: OA + OB + AB = 5 + 5 + 5 = 15 cm.

Đáp án đúng là: B

Chu vi ∆OAB là OA + OB + AB = 18 cm.

Thay AB = 8 cm vào, ta có: OA + OB = 10 cm.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do đó OA = OB.

Suy ra 2OA = 10 cm hay OA = 5 cm.

Độ dài đường chéo AC = 2OA = 10 cm.

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó OA = OB = OC = OD.

Chu vi ∆OBC là: OB + OC + BC.

Chu vi ∆OAB là: OA + OB + AB.

Theo đề bài, chu vi ∆OBC lớn hơn chu vi ∆OAB là 4 cm, ta có:

(OB + OC + BC) – (OA + OB + AB) = 4 (cm)

OB + OC + BC – OA – OB – AB = 4

BC – AB = 4 (vì OC = OA)

Mặt khác, chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 28 cm nên nửa chu vi của hình chữ nhật là:

AB + BC = 28 : 2 = 14 (cm).

Suy ra: (BC – AB) + (AB + BC) = 4 + 14

2BC = 18

BC = 9 cm.

Suy ra AB = 14 – BC = 14 – 9 = 5 (cm).

Vậy AB = 5 cm và BC = 9 cm.

Đáp án đúng là: B

Vì ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo có độ dài bằng nhau.

Ta có: AC = BD

Suy ra: 2x + 4 = 4x – 6

2x = 10

x = 5

Thay x = 5, ta tính được độ dài đường chéo AC = 2 ∙ 5 + 4 = 14 (cm).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Do ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra OA = OB. Do đó tam giác OAB cân tại O.

b) Sai. Vì tam giác OAB cân tại O nên $\widehat {OAB} = \widehat {OBA}$.

Mà $\widehat {OBA}$ chính là $\widehat {ABD} = 30^\circ$, nên $\widehat {OAB} = 30^\circ$.

c) Đúng. Trong ∆OAB có tổng ba góc bằng 180°, suy ra

$\widehat {AOB} = 180^\circ - \widehat {OAB} - \widehat {OBA} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.

d) Sai. Ta có $\widehat {COD} = \widehat {AOB} = 120^\circ$ (đối đỉnh).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat {BAC} = 90^\circ$, suy ra $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat {ABC} < 90^\circ .$

b) Sai. Theo giả thiết, điểm D nằm trên tia đối của tia MA và cách M một khoảng bằng MA (MD = MA).

Như vậy, M mới là trung điểm của đoạn thẳng AD.

Điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AM nên không thể là trung điểm của AM.

c) Đúng. Xét tứ giác ABDC, ta có:

M là trung điểm của BC (do AM là trung tuyến).

M là trung điểm của AD (do MD = MA).

Khi đó, hai đường chéo BC và AD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Như vậy, tứ giác ABDC là hình bình hành.

Mà $\widehat {BAC} = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A) nên tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

d) Đúng. Vì ABDC là hình chữ nhật nên $\widehat {BDC} = 90^\circ$ hay ∆BDC vuông tại D.

Lại có M là trung điểm của BC nên ∆BDC vuông tại D có DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Do đó $DM = \frac{1}{2}BC$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Theo tính chất hình chữ nhật, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau nên OA = OB.

Chu vi ∆OAB là OA + OB + AB = 25 (cm).

Suy ra OA + OA = 25 – AB = 25 – 12 = 13 (cm).

Hay 2OA = 13 (cm)

Vậy $OA = OB = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$ (cm).

b) Sai. Do ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm AC.

AC = 2OA = 2 ∙ 6,5 = 13 (cm).

c) Đúng. Xét ∆ABC vuông tại B có AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ (theo nội dung định lí Pythagore trong giả thiết).

Vậy $BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}} = \sqrt {25} = 5$ (cm).

d) Sai. S$_{ABCD}$ = AB ∙ BC = 12 ∙ 5 = 60 (cm$^{2}$).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Xét ∆ADH vuông tại H, suy ra $\widehat {DAH} + \widehat {HDA} = 90^\circ$.

Vậy $\widehat {ADH} = 90^\circ - \widehat {DAH} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

b) Sai. Vì ABCD là hình chữ nhật nên O là trung điểm của AC và BD.

Suy ra OA = OD. Suy ra ∆OAD cân tại O.

Theo a) có $\widehat {ADB} = 60^\circ$, nên ∆OAD là tam giác đều.

c) Đúng. Theo c) có ∆OAD là tam giác đều nên $\widehat {AOH} = 60^\circ$.

d) Sai. Xét ∆AHO vuông tại O, có M là trung điểm của cạnh huyền OA nên $HM = \frac{1}{2}OA$

M là trung điểm OA nên $MO = AM = \frac{1}{2}OA$. Suy ra HM = OM.

Xét ∆OMH có HM = OM và $\widehat {AOH} = 60^\circ$ (theo c) nên ∆OMH là tam giác đều.

Vậy $\widehat {OMH} = 60^\circ$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD

Có E là trung điểm AB, F là trung điểm CD nên AE = DF.

b) Đúng. Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD hay AE // DF.

Lại có AE = DF nên AEFD là hình bình hành.

Lại có $\widehat A = 90^\circ$ (do ABCD là hình chữ nhật) nên AEFD là hình chữ nhật.

c) Sai. Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, hai đường chéo chỉ vuông góc khi nó là hình vuông.

d) Đúng. Do AEFD là hình chữ nhật, hai đường chéo AF và DE bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm I.

Suy ra IA = IE, do đó ∆IAE là tam giác cân tại I.

Đáp án: 40.

Tứ giác OMBN có:

$\widehat {OMB} = 90^\circ$ (do OM vuông góc với AB);

$\widehat {MBN} = 90^\circ$ (do ABCD là hình chữ nhật);

$\widehat {ONB} = 90^\circ$ (do ON vuông góc với BC).

Suy ra $\widehat {MON} = 90^\circ$

Tứ giác OMBN có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra MB = ON = 6 cm và NB = OM = 4 cm.

Do ABCD là hình chữ nhật nên OA = OB = OC = OD.

⦁ Xét ∆OAB có OA = OB nên ∆OAB cân tại O.

Đường cao OM trong tam giác cân OAB đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm của AB. Do đó AB = 2 ∙ MB = 2 ∙ 6 = 12 cm.

⦁ Xét ∆OBC có OB = OC nên ∆OBC cân tại O.

Đường cao ON trong tam giác cân OBC đồng thời là đường trung tuyến.

Suy ra N là trung điểm của BC. Do đó BC = 2 ∙ NB = 2 ∙ 4 = 8 cm.

Chu vi hình chữ nhật ABCD là: 2 ∙ (12 + 8) = 40 cm.

Đáp án: 24

Nửa chu vi của hình chữ nhật ABCD là: 28 : 2 = 14 (cm).

Suy ra AB + AD = 14 cm.

Theo giả thiết: AB – AD = 2 cm.

Suy ra: $AB = \frac{{14 + 2}}{2} = 8$ (cm); $AD = \frac{{14 - 2}}{2} = 6$ (cm).

Tam giác ABD là tam giác vuông tại A. Diện tích ∆ABD bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông:

${S_{ABD}} = \frac{1}{2}AB \cdot AD{\rm{ }} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6{\rm{ }} = {\rm{ }}24\;$ (cm$^{2}$).

Đáp án: 10.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên các cặp cạnh đối bằng nhau: AB = CD và BC = AD.

Chu vi của hình chữ nhật ABCD là:

AB + BC + CD + AD = 28 (cm).

Ta có:

Chu vi ∆ABC = AB + BC + AC.

Chu vi ∆ADC = AD + CD + AC.

Tổng chu vi của ∆ABC và ∆ADC là:

(AB + BC + AC) + (AD + CD + AC)

= (AB + BC + CD + AD) + 2AC

= (Chu vi hình chữ nhật ABCD) + 2AC.

Thay các giá trị đã biết vào biểu thức trên, ta được:

48 = 28 + 2 ∙ AC

2 ∙ AC = 48 – 28

2 ∙ AC = 20

AC = 10 (cm).

Vậy AC = 10 cm.

Đáp án: 6,5.

Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng một nửa cạnh huyền.

Do đó, $AM = \frac{{BC}}{2} = \frac{{13}}{2} = 6{,}5$ (cm).

Đáp án: 80

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat A = \widehat D = 90^\circ$ và AB // CD.

Do AM là tia phân giác của góc A nên $\widehat {DAM} = \widehat {MAB} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Xét ∆ADM có $\widehat D = 90^\circ$ và $\widehat {DAM} = 45^\circ$.

Suy ra ∆ADM là tam giác vuông cân tại D, do đó AD = DM.

Ta có CD = DM + MC, tức là CD = AD + 2.

Chu vi hình chữ nhật là 2(AD + CD) = 2(AD + AD + 2) = 4AD + 4 = 36.

Suy ra: 4AD = 32, suy ra AD = 8 (cm).

Do đó CD = 8 + 2 = 10 (cm).

Diện tích hình chữ nhật ABCD = AD. CD = 8 ∙ 10 = 80 (cm$^{2}$).