Bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt{n+5}-\sqrt{n+1})=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n+5-n-1}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n+1}}=0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt{{n}^{2}-n+1}-n)=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{2}-n+1-{n}^{2}}{\sqrt{{n}^{2}-n+1}+n}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-n+1}{\sqrt{{n}^{2}-n+1}+n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{1}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}+1}=-\frac{1}{2}.$

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt{{n}^{2}-2n+3}-n)=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-2n+3}{\sqrt{{n}^{2}-2n+3}+n}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{2}{n}+\frac{3}{{n}^{2}}}+1}=\frac{-2}{1+1}=-1.$

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt[3]{{n}^{3}+1}-\sqrt[3]{{n}^{3}+2})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{-1}{\sqrt[3]{{({n}^{3}+1)}^{2}}+\sqrt[3]{{n}^{3}+1}.\sqrt[3]{{n}^{3}+2}+\sqrt[3]{{({n}^{3}+2)}^{2}}}=0.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt[3]{{n}^{2}-{n}^{3}}+n)$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{2}}{\sqrt[3]{{({n}^{2}-{n}^{3})}^{2}}-n.\sqrt[3]{{n}^{2}-{n}^{3}}+{n}^{2}}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{{(\frac{1}{n}-1)}^{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{n}-1}+1}=\frac{1}{3}.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9{n}^{2}-n}-\sqrt{n+2}}{3n-2}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9-\frac{1}{n}}-\sqrt{1+\frac{2}{{n}^{2}}}}{3-\frac{2}{n}}=\frac{\sqrt{9}}{3}=1.$

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{{n}^{2}+2}-\sqrt{{n}^{2}+4}}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }-\frac{\sqrt{{n}^{2}+2}+\sqrt{{n}^{2}+4}}{2}=-\infty .$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bậc cao nhất của tử và mẫu đều là 1 (vì $\sqrt {{n^2}} = n$).

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n} }}{{2n - 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4 + \frac{1}{n}} }}{{2 - \frac{1}{n}}}$ = $\frac{{\sqrt {4 + 0} }}{{2 - 0}} = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Nhân và chia biểu thức với lượng liên hợp $\sqrt {{n^2} + 4n} + n$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 4n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 4n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4n}}{{\sqrt {{n^2} + 4n} + n}}$= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{4}{n}} + 1}} = \frac{4}{{1 + 1}} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {9{n^2} + 1} - 3n} \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{9{n^2} + 1 - 9{n^2}}}{{\sqrt {9{n^2} + 1} + 3n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{\sqrt {9{n^2} + 1} + 3n}} = 0$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 6n} - \sqrt {{n^2} + 2n} } \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + 6n - \left( {{n^2} + 2n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + \sqrt {{n^2} + 2n} }}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{4n}}{{\sqrt {{n^2} + 6n} + \sqrt {{n^2} + 2n} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{4}{{\sqrt {1 + \frac{6}{n}} + \sqrt {1 + \frac{2}{n}} }} = \frac{4}{{1 + 1}} = 2.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bậc cao nhất của n ở tử và mẫu đều là bậc 1.

Chia cả tử và mẫu cho n, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} + \sqrt {4 + \frac{1}{{{n^2}}}} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 4 }} = \frac{1}{3}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

Chia tử số cho n, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {a + \frac{1}{{{n^2}}}} - 1} \right)$.

a) Đúng. Khi a = 1, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\sqrt 1 - 1 = 0$.

b) Sai. Khi a = 4, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\sqrt 4 - 1 = 1$ (không phải 2).

c) Đúng. Để $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = 3 thì $\sqrt a - 1$ = 3 ⇒ $\sqrt a$ = 4 nên a = 16.

d) Sai. Khi a < 0, biểu thức trong căn an$^{2}$ + 1 sẽ mang giá trị âm khi n đủ lớn, do đó dãy số không xác định.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

Nhân lượng liên hợp $\left( {\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} } \right)$ ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} + an} - \sqrt {{n^2} + bn} } \right)\left( {\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} } \right)}}{{\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} }}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + an} \right) - \left( {{n^2} + bn} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2} + an - {n^2} - bn}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{a}{n}} \right)} + \sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{b}{n}} \right)} }}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {a - b} \right)}}{{n\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + n\sqrt {1 + \frac{b}{n}} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n(a - b)}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + \sqrt {1 + \frac{b}{n}} } \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a - b}}{{\sqrt {1 + \frac{a}{n}} + \sqrt {1 + \frac{b}{n}} }}$ = $\frac{{a - b}}{{\sqrt {1 + 0} + \sqrt {1 + 0} }} = \frac{{a - b}}{2}$.

a) Đúng. Do giới hạn có dạng vô định (∞ - ∞) biểu thức liên hợp cần sử dụng để nhân và chia nhằm khử dạng vô định là $\sqrt {{n^2} + an} + \sqrt {{n^2} + bn}$.

b) Đúng. Giới hạn bằng $\frac{{a - b}}{2}$ ⇒ phụ thuộc cả a và b.

c) Đúng. Nếu b = 0, ta có $\frac{a}{2}$ = 3 ⇒ a = 6.

d) Sai. Phương trình $\frac{{a - b}}{2}$ = 3 ⇒ a - b = 6 ⇒ Có vô số cặp số (a; b) thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 2n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 + \frac{2}{n}} \right)} + n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{2n}}{{n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1}} = \frac{2}{2} = 1$.

b) Đúng.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$v$_{n}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + 8n} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + 8n} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + 8n} + 2n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {4{n^2} + 8n} \right) - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2}\left( {1 + \frac{8}{{4n}}} \right)} + 2n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8n}}{{2n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 2n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{8n}}{{2n\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{8}{{2\left( {\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1} \right)}} = \frac{8}{{2\left( {\sqrt {1 + 0} + 1} \right)}} = 2$.

c) Đúng. Theo quy tắc tính giới hạn: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$(u$_{n}$ + v$_{n}$) = 1 + 2 = 3.

d) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ = $\frac{1}{2}$ = 2 (không phải 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Nếu a < 0 thì -an > 0,

L = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - an} \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right)$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right)} \right]$

Ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } n = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right) = \sqrt {1 - 0 + 0} - a = 1 - a$

Theo giả thiết câu a), vì a < 0 ⇒ (1 – a) > 0. Do đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - an} \right) = + \infty$.

b) Sai. Khi a = 1, nhân liên hợp ta có:

L = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} \right)}}{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} - n + 1} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) + n} }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{ - n + 1}}{{n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( { - 1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( { - 1 + \frac{1}{n}} \right)}}{{\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}} = \frac{{ - 1 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0} + 1}} = - \frac{1}{2}$.

c) Đúng. Khi a = 1, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right) = \infty - \infty$ ⇒ Phải nhân lượng liên hợp để khử.

d) Đúng.

L = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2}\left( {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)} - an} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {n\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - an} \right)$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {n\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right)} \right]$

n → +∞; $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} - a} \right) = 1 - a$.

Nếu 1 – a ≠ 0 ⇒ a ≠ 1, giới hạn L = ±∞ tùy thuộc vào dấu của (1 – a).

Để L thoát khỏi kết quả vô cực và thu được một số thực hữu hạn ⇒ 1 – a = 0 ⇒ a = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Tử số có chứa $n\sqrt n$ = ${n^{\frac{3}{2}}}$.

b) Sai. Mẫu số có chứa $\sqrt {{n^3}}$ = ${n^{\frac{3}{2}}}$, nên bậc cao nhất là $\frac{3}{2}$.

c) Đúng. $n\sqrt n$ chính là lũy thừa cao nhất ở cả tử và mẫu.

d) Đúng. Chia tử mẫu cho $n\sqrt n$ ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{n\sqrt {n + 1} + 1}}{{\sqrt {{n^3} + 2n} + n}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {1 + \frac{1}{n}} + \frac{1}{{n\sqrt n }}}}{{\sqrt {1 + \frac{2}{{{n^2}}}} + \frac{1}{{\sqrt n }}}} = \frac{1}{1} = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\left[ {2n\left( {\sqrt {{n^2} + 1} - n} \right)} \right]$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{2n\left( {{n^2} + 1 - {n^2}} \right)}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + n}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} + n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1}} = \frac{2}{2} = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} - n}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{\frac{3}{{\sqrt {4{n^2} + 3} + 2n}}}}{{\frac{1}{{\sqrt {{n^2} + 1} + n}}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{3\left( {\sqrt {{n^2} + 1} + n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + 3} + 2n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{3\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} + 1} \right)}}{{\sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{{3\left( {1 + 1} \right)}}{{2 + 2}} = \frac{6}{4} = 1{,}5$.

⇒ 10 ∙$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} - 2n}}{{\sqrt {{n^2} + 1} - n}}$ = 10∙1,5 = 15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có biểu thức trên tử số là tổng của một cấp số cộng:

1 + 2 + 3 + ... + n = $\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = \frac{{{n^2} + n}}{2}$.

⇒ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{n^2} + n}}{{2\sqrt {9{n^4} + 1} }}$ = $\frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2\sqrt {9 + \frac{1}{{{n^4}}}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{6}$.

⇒ 12 ∙$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$= $12 \cdot \frac{1}{6} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 40

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\left( {\sqrt {16{n^2} + an + 5} - 4n} \right)$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{16{n^2} + an + 5 - 16{n^2}}}{{\sqrt {16{n^2} + an + 5} + 4n}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{an + 5}}{{\sqrt {16{n^2} + an + 5} + 4n}}$= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{a + \frac{5}{n}}}{{\sqrt {16 + \frac{a}{n} + \frac{5}{{{n^2}}}} + 4}} = \frac{a}{{4 + 4}} = \frac{a}{8}$

Ta có: $\frac{a}{8} = 5$ ⇒ a = 40.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Trục căn thức ở mẫu cho từng số hạng của tổng:

$\frac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \frac{{\sqrt {k + 1} - \sqrt k }}{{k + 1 - k}} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k$.

⇒ u$_{n}$ = $\left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right) = \sqrt {n + 1} - 1$.

Khi đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{u_n}}}{{\sqrt n }}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{\sqrt {n + 1} - 1}}{{\sqrt n }}$.

= $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\left( {\sqrt {1 + \frac{1}{n}} - \frac{1}{{\sqrt n }}} \right)$ = 1 – 0 = 1.