Bài tập Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). Cần chú ý về các khoảng và đoạn khi xác định số nghiệm của phương trình.

Đáp án đúng là: C

Do chưa có thông tin về tính liên tục của f(x) tại x = 1 nên chưa thể đưa ra kết luận về tính liên tục của f(x).

Đáp án đúng là: C

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 3x$^{2023}$ – 8x + 4.

Hàm số liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên đoạn [0; 1].

f(0) = 4; f(1) = ‒1 nên f(0) . f(1) < 0.

Vậy phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = 2x$^{4}$ – 5x$^{2}$ + x + 1.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒2) = 11; f(‒1) = ‒3; f(0) = 1; f(1) = ‒1; f(2) = 15.

Ta thấy f(‒2) . f(‒1) < 0; f(‒1) . f(0) < 0; f(0) . f(1) < 0 ; f(1) . f(2) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (‒2; ‒1); (‒1; 0); (0; 1) và (1; 2).

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ – 1000x$^{2}$ + 0,01.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒1) = ‒1000,99; f(0) = 0,01; f(1) = ‒998,99.

Ta thấy f(‒1) . f(0) < 0; f(0) . f(1) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (‒1; 0) và (0; 1).

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 2x$^{3}$ – 6x + 3.

Hàm số liên tục trên ℝ.

f(‒2) = ‒1; f(‒1) = 7; f(1) = ‒1; f(2) = 7.

Ta thấy f(‒2) . f(‒1) < 0; f(‒1) . f(1) < 0 và f(1) . f(2) < 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng (–2; ‒1); (‒1; 1) và (1; 2).

Vậy phương trình có 3 nghiệm trên khoảng (–2; 2).

Đáp án đúng là: D

Xét hàm số f(x) = 2x$^{2}$ + 6x + 4.

Hàm số liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên $[-3;-\frac{3}{2}]$.

f(‒3) = 4; $f(-\frac{3}{2})$= $-\frac{1}{2}$.

Ta thấy f(‒3) . $f(-\frac{3}{2})$< 0 nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trong các khoảng $(-3;-\frac{3}{2})$.

Vậy đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ – 5x$^{2}$ +7 và g(x) = x$^{5}$ + x – 3.

Hàm số f(x) và g(x) liên tục trên ℝ.

f(‒1) = 1; f(‒2) = ‒21, vì f(‒1) . f(‒2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (‒1; ‒2).

g(1) = ‒1; g(2) = 31, vì vì g(1) . g(2) < 0 nên phương trình g(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).

Vậy đáp án C đúng.

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số f(x) = m(x ‒ 1)(x + 2) + 2x + 1.

Hàm số f(x) liên tục trên ℝ nên cũng liên tục trên (‒2;1).

Ta có f(‒2) = ‒3; f(1) = 3, vì f(‒2) . f(1) < 0.

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (‒2; 1).

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: f(x) = 5 $\Leftrightarrow$ f(x) – 5 = 0. Đặt g(x) = f(x) – 5.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) - 5 = 2 - 5 = - 3\\g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) - 5 = 7 - 5 = 2\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 1} \right)g\left( 4 \right) < 0$.

Vậy phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4) hay phương trình f(x) = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f(x) = 2x$^{4}$ – 4x$^{3}$– 3 liên tục trên ℝ nên liên tục đoạn [-3; 0];

Ta có: f(-3) = 267; f(0) = -3 nên f(-3).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-3; 0).

Trên các khoảng (0; 1); (1; 2); $\left( {\frac{3}{2};2} \right)$ thì f(x) = 2x$^{4}$ – 4x$^{3}$ – 3 luôn nhận giá trị âm nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

A, Phương trình 2x$^{2}$ – 3x + 4 = 0 vô nghiệm

B, Phương trình 3x$^{4}$ – 4x$^{2}$ + 5 = 0 vô nghiệm

Xét hàm số f(x) = (x – 1)$^{5}$ – x$^{7}$ – 2

Hàm số liên tục trên đoạn [0; 1]

Ta có: f(0) = -3; f(1) = -3 nên f(1).f(0) > 0. Khi đó ta chưa kết luận được số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trong khoảng (0; 1). Vậy đáp án C sai

Xét hàm số f(x) = 3x$^{2023}$ – 8x + 4

Hàm số liên tục trên đoạn [0; 1].

Ta có: f(0) = 4; f(1) = -1 nên f(1).f(0) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số f(x) = 3x$^{5}$ + 5x$^{3}$ + 10

Hàm số liên tục trong đoạn [-2; -1]

Ta có: f(-2) = 126; f(-1) = 2 nên f(-2).f(-1) < 0. Khi đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1).

Trên các khoảng (-1; 0); (0; 1) thì f(x) = 3x$^{5}$ + 5x$^{3}$ + 10 luôn nhận giá trị dương nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Trên khoảng (-10; -2) thì f(x) = 3x$^{5}$ + 5x$^{3}$ + 10 luôn nhận giá trị âm nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $x \le \frac{3}{2}$. Phương trình $\Leftrightarrow$ ${x^3} + 2x - 4 - 3\sqrt {3 - 2x} = 0$.

Ta có hàm số f(x) = ${x^3} + 2x - 4 - 3\sqrt {3 - 2x}$ liên tục trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right]$

Ta có: f(0) < 0, $f\left( {\frac{3}{2}} \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( {\frac{3}{2}} \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm

Giả sử phương trình có 2 nghiệm a, b và f(a) – f(b) = 0

$\Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }}} \right) = 0$

Do ${a^2} + ab + {b^2} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }}$

$= {\left( {a + \frac{b}{2}} \right)^2} + \frac{{3{b^2}}}{4} + 2 + \frac{6}{{\sqrt {3 - 2a} + \sqrt {3 - 2b} }} > 0$ với "a, b < $\frac{3}{2}$ $\Rightarrow$ a = b.

Vậy phương trình có đúng một nghiệm nên hàm số liên tục trên khoảng (0; +$\infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số y = f(x) = 2x$^{3}$ – 8x – 1 là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

b) Sai. Hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ nên hàm số liên tục trên [-5; -1].

Lại có f(-5) = -211 và f(-1) = 5. Khi đó f(-5).f(-1) < 0. Vậy phương trình (1) đã cho có nghiệm trong khoảng (-5; -1).

c) Đúng. Hàm số f(x) = 2x$^{3}$ – 8x – 1 liên tục trên ℝ.

Ta có: f(-5) = -211 < 0; f(-1) = 5 > 0 ; f(2) = -1 < 0 ; f(3) = 29 > 0. Nên phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm trên (-5; -1), (-1; 2) và (2; 3).

Mà phương trình bậc ba có tối đa 3 nghiệm nên phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên ℝ

d) Sai. $f\left( {\sin x} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 8\sin x = 0$

$\Leftrightarrow 2\sin x\left( {{{\sin }^2}x - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0 \in \left[ { - 1;1} \right]\\\sin x = 2 \notin \left[ { - 1;1} \right]\\\sin x = - 2 \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Mà $x \in \left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {0;\pi ;2\pi } \right\}$.

Vậy phương trình $f\left( {\sin x} \right) + 1 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt trên đoạn $\left[ {0;\frac{{5\pi }}{2}} \right]$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện xác định của phương trình (1) là x $\ge$ -1.

b) Đúng. Ta có (1) $\Leftrightarrow$ ${x^2} - \sqrt {x + 1} \,\, = 0$. Đặt $f\left( x \right) = {x^2} - \sqrt {x + 1} \,\,$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 1 - \sqrt 2 < 0\\f\left( 2 \right) = 4 - \sqrt 3 > 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0$

Hàm số y = f(x) liên tục trên (-1; +$\infty$) do đó liên tục trên đoạn [1; 2].

Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Đặt g(x) = x$^{3}$ – 3x + 1. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = - 1\\g\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 1 \right) \cdot g\left( 2 \right) < 0$

Hàm số y = g(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ do đó liên tục trên [1; 2].

Phương trình g(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (1; 2).

c) Sai. Xét trên khoảng (-1; 0).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 1\\f\left( 0 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 0).

Xét khoảng (-2; 1).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 2} \right) = - 1\\g\left( 1 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( { - 2} \right) \cdot g\left( 1 \right) < 0$ nên phương g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

Xét khoảng (0; 1).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = 1\\g\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 0 \right) \cdot g\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

Xét khoảng (1; 2).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}g\left( 1 \right) = - 1\\g\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow g\left( 1 \right) \cdot g\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình g(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Phương trình g(x) = 0 có nghiệm trên các khoảng (-2; -1); (0; 1), (1; 2).

Mặt khác, phương trình (2) là phương trình bậc 3 nên có nhiều nhất 3 nghiệm phân biệt và (-2; -1); (0; 1), (1; 2) là các khoảng rời nhau. Do đó, phương trình (2) có nghiệm phân biệt thuộc 3 khoảng này.

Phương trình (2) không có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).

d) Sai. Từ ý b và c suy ra: phương trình (1) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có hàm số f(x) = x$^{3}$ - 3x$^{2}$ + 2 liên tục trên ℝ.

Suy ra hàm số liên tục trên [-2; 0].

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 18\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; 0).

b) Đúng. Ta có hàm số f(x) = x$^{3}$ - 3x$^{2}$ + 2 liên tục trên ℝ.

Suy ra hàm số liên tục trên [-2; 3].

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 18\\f\left( 0 \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; 0).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 2\\f\left( 2 \right) = - 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2).

Do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-2; 3).

c) Sai. Đặt f(x) = x$^{3}$ + ax$^{2}$ + bx + c. Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = 8 + 4a + 2b + c < 0\\f\left( { - 2} \right) = - 8 + 4a - 2b + c > 0\end{array} \right.$

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) < 0\\f\left( { - 2} \right) > 0\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) \cdot f\left( { - 2} \right) < 0$ $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (-2; 2).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (2; +$\infty$).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) > 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại ít nhất một điểm trong khoảng (-$\infty$; -2).

Mà hàm số f(x) là hàm bậc 3 nên đồ thị của nó cắt trục Ox tối đa tại 3 điểm.

Vậy đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại đúng 3 điểm.

d) Đúng. Vì hàm số đã cho là hàm đa thức bậc 3 nên đồ thị hàm số liên tục trên ℝ và số giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox nhiều nhất là 3.

Theo đề bài, ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty$

y(-1) = a + c – b > 1, y(1) = a + b + c + 1 < 0.

Do đó, hàm số đã cho có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (-$\infty$; -1); (-1; 1), (1; +$\infty$).

Từ đó suy ra số giao điểm cần tìm là 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Với mọi m thì y = f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ

b) Sai. Khi $m = \frac{1}{2}$ ta có y = f(x) = $- \frac{1}{2}{x^3} + 2x + 1$ đây là hàm liên tục trên [-1; 0] và [0; 3].

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2}\\f\left( 0 \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1; 0).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 3 \right) = - \frac{{13}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 3 \right) < 0$ nên f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0; 3).

Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất hai nghiệm trên (-1; 3).

c) Đúng. Hàm số y = f(x) là hàm liên tục trên ℝ

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - m\\f\left( 1 \right) = m + 2\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 1 \right) = - m\left( {m + 2} \right) < 0,\forall m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$

Suy ra f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1; 1) với mọi $m \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$

d) Đúng. Hàm số y = f(x) là hàm liên tục ℝ và f(0) = 1 > 0.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {m - 1} \right){x^3} + 2x + 1} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {m - 1 + \frac{2}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty$ do m < 1

Khi đó, tồn tại số a > 0 sao cho f(a) < 0

Suy ra f(0).f(a) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0; a).

Suy ra m < 1 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm dương.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

Hàm số f(x) = 2x$^{4}$ – 5x$^{2}$ + x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là ℝ nên liên tục trên ℝ.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 11\\f\left( { - 1} \right) = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( { - 1} \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-2; -1).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( { - 1} \right) = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (-1; 0).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 2 \right) = 15\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).

Vậy phương trình f(x) = 0 đã cho có nghiệm thuộc khoảng (-2; -1); (-1; 0); (0; 1) và (1; 2).

a) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 0) và (0; 1) nên phương trình có nghiệm trong khoảng (-1; 1).

b) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; -1) và (-1; 0) nên phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; 0).

c) Sai. Vì phương trình có nghiệm trong khoảng (-2; -1); (-1; 0) và (0; 1) nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; 1).

d) Đúng. Vì phương trình có một nghiệm trong khoảng (0; 1) và một nghiệm trong khoảng (1; 2) nên phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Xét f(x) = 2x$^{3}$ – 6x + 1trên khoảng [-2; 2]. Ta có f(x) liên tục trên đoạn [-2; 2].

Hàm số f(x) lên tục trên đoạn [-2; 0] và $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 3\\f\left( 0 \right) = 1\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right) \cdot f\left( 0 \right) < 0$ nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên khoảng (-2; 0).

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1).

Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 2] và $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 3\\f\left( 2 \right) = 5\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 1 \right) \cdot f\left( 2 \right) < 0$ nên phương trình đã cho có ít nhất trên một khoảng (1; 2).

Vì phương trình đã cho là phương trình bậc ba có nhiều nhất 3 nghiệm nên phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (-2; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ + ax$^{2}$ + bx + c là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$ và f(-1) = a – b + c – 1 > 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-$\infty$; -1).

f(-1)×f(2) = (a – b + c – 1)(4a + 2b + c + 8) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-1; 2).

f(2) = 4a + 2b + c + 8 < 0 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (2; +$\infty$).

Mà phương trình là phương trình bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm. Vậy phương trình có 3 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,2.

Điều kiện cần:

Đặt f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + (2m – 2)x + m – 3, hàm số liên tục trên ℝ.

Giả sử phương trình f(x) = 0 có 3 nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$, x$_{3}$ thỏa mãn x$_{1}$ < -1 < x$_{2}$ < x$_{3}$

Ta có: f(x) = (x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$)(x – x$_{3}$), suy ra f(x) > 0 khi x$_{1}$ < x < x$_{2}$

Suy ra f(-1) > 0 $\Leftrightarrow$ -m – 5 > 0 $\Leftrightarrow$ m < -5.

Điều kiện đủ: Với m < -5 ta có:

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty$ nên tồn tại a < -1 sao cho f(a) < 0.

Mặt khác f(-1) = -m – 5 > 0. Suy ra f(a).f(-1) < 0

Do đó tồn tại x$_{1}$ $\in$ (a; -1) sao cho f(x$_{1}$) = 0.

+) f(0) = m – 3 < 0, f(-1) > 0. Suy ra f(0).f(-1) < 0

Do đó, tồn tại x$_{2}$ $\in$ (-1; 0) sao cho f(x$_{2}$) = 0.

+) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty$ nên tồn tại b > 0 sao cho f(b) > 0.

Mặt khác f(0) < 0. Suy ra f(0).f(b) < 0

Do đó, tồn tại x$_{3}$ $\in$ (0; b) sao cho f(x$_{3}$) = 0.

Vậy m < -5 để phương trình có nghiệm.

Do m $\in$ [-10; 0] và m $\in$ ℤ nên m $\in$ {-10; -9; -8; -7; -6}.

Vậy có 5 giá trị của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13.

Xét hàm số f(x) = 3x$^{3}$ + 4x$^{2}$ – 5, hàm số liên tục trên đoạn [0; 1].

Ta có: f(1) = 2; f(0) = -5 nên f(1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

Trên các khoảng (-2; -1); (-1; 0) thì f(x) = 3x$^{3}$ + 4x$^{2}$ – 5 luôn nhận giá trị âm nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Trên khoảng (1; 2) thì f(x) = 3x$^{3}$ + 4x$^{2}$ – 5 luôn nhận giá trị dương nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm.

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Do đó, a = 0, b = 1 $\Rightarrow$ T = a + 3b = 0 + 3×1 = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Xét hàm số f(x) = x$^{3}$ – 1000x$^{2}$ + 0,01 liên tục trên ℝ nên liên tục trên các đoạn

[-1; 0]; [0; 1]; [1; 2]; [2; 1000]

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 1000{,}99\\f\left( 0 \right) = 0{,}01\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( { - 1} \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (-1; 0).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 998{,}99\\f\left( 0 \right) = 0{,}01\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 0 \right) \cdot f\left( 1 \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (0; 1).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 998{,}99\\f\left( 2 \right) = - 3991{,}99\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) \cdot f\left( 1 \right) > 0$. Khi đó ta chưa kết luận được số nghiệm của phương trình f(x) = 0 trên (1; 2).

$\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = - 3991{,}99\\f\left( {1000} \right) = 0{,}01\end{array} \right. \Rightarrow f\left( 2 \right) \cdot f\left( {1000} \right) < 0$ nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên (2; 1000).

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc các khoảng (-1; 0); (0; 1); (2; 10000).